Central Simple Algebras and Galois Cohomology pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:Cambridge University Press

作者:Philippe Gille

出品人:

页数:356

译者:

出版时间:2006-9-11

价格:723.20元

装帧:Hardcover

isbn号码:9780521861038

丛书系列:

图书标签:

数学
代数
结合代数
Galois 上同调
中心单代数
域论
代数几何
代数数论
表示论
Hopf 代数
K 理论

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具体描述

This book is the first comprehensive, modern introduction to the theory of central simple algebras over arbitrary fields. Starting from the basics, it reaches such advanced results as the Merkurjev-Suslin theorem. This theorem is both the culmination of work initiated by Brauer, Noether, Hasse and Albert and the starting point of current research in motivic cohomology theory by Voevodsky, Suslin, Rost and others. Assuming only a solid background in algebra, but no homological algebra, the book covers the basic theory of central simple algebras, methods of Galois descent and Galois cohomology, Severi-Brauer varieties, residue maps and, finally, Milnor K-theory and K-cohomology. The last chapter rounds off the theory by presenting the results in positive characteristic, including the theorem of Bloch-Gabber-Kato. The book is suitable as a textbook for graduate students and as a reference for researchers working in algebra, algebraic geometry or K-theory.

《中央简单代数与伽罗瓦上同调》导读本书旨在为读者深入探讨代数数论中的两个核心概念——中央简单代数与伽罗瓦上同调，并阐述它们之间深刻而精妙的联系。我们将从基础概念出发，逐步构建起理论的宏伟大厦，最终带领读者领略这一数学分支的独特魅力与强大应用。第一部分：中央简单代数的基础我们将从介绍代数（Algebra）这一基本概念开始。什么是代数？它是一个结合了向量空间和环的代数结构。在此基础上，我们将重点关注单代数（Simple Algebra）。一个代数被称作单代数，如果它除了零向量和自身之外，不存在非平凡的两个侧理想。单代数的结构性非常强，其重要性不亚于我们熟悉的域。接着，我们将引入中心（Center）的概念。代数的中心是指与代数中所有元素都可交换的元素构成的集合。一个代数的中心可以是一个域。当一个代数的中心恰好是一个域时，我们称之为中心代数（Central Algebra）。将这两个概念结合起来，我们便得到了本书的核心研究对象——中央简单代数（Central Simple Algebra）。我们将深入分析中央简单代数的结构定理，揭示它们可以被构造为矩阵代数与域的张量积的形式。这一结构定理是理解中央简单代数性质的关键，它将抽象的代数结构与更为具体的矩阵联系起来，为后续的理论发展奠定了坚实的基础。在这一部分，我们还会介绍代数上的分裂域（Splitting Field）的概念。一个分裂域是一个域的扩张，使得在扩张域上，中央简单代数可以退化为矩阵代数。分裂域的存在性以及其性质，对于理解中央简单代数的分类至关重要。我们将探讨最小分裂域以及它与伽罗瓦理论的初步联系。第二部分：伽罗瓦理论与伽罗瓦扩张在深入探讨伽罗瓦上同调之前，理解伽罗瓦理论（Galois Theory）及其核心概念是必不可少的。我们将回顾域扩张的基本知识，重点关注可分扩张（Separable Extension）与正规扩张（Normal Extension）。可分扩张：一个域扩张 $L/K$ 是可分的，如果 $L$ 中的每个元素都是 $K$ 上某个可分多项式的根。我们将阐述可分性的定义及其等价条件。正规扩张：一个域扩张 $L/K$ 是正规的，如果 $K$ 上的任意不可约多项式，若在 $L$ 中有一个根，则它在 $L$ 中必有全部根。我们将详细讨论正规扩张的性质，以及它们与代数闭包的关系。当一个域扩张同时是可分且正规的时，我们称之为伽罗瓦扩张（Galois Extension）。伽罗瓦扩张是伽罗瓦理论的舞台，其关键特征在于它的伽罗瓦群（Galois Group）。伽罗瓦群是指所有保持基域 $K$ 中元素不动的 $L$ 的自同构构成的群。我们将深入阐述伽罗瓦基本定理（Fundamental Theorem of Galois Theory）。这个定理建立了域扩张的子域和伽罗瓦群的子群之间的一一对应关系，是理解伽罗瓦理论的核心。它将抽象的域扩张问题转化为群论问题，极大地简化了对域扩张的研究。此外，我们还将讨论有限伽罗瓦扩张（Finite Galois Extension）及其重要的结构性质。第三部分：伽罗瓦上同调的引入在掌握了中央简单代数和伽罗瓦理论的基础后，我们现在可以引入伽罗瓦上同调（Galois Cohomology）这一强大的理论工具。伽罗瓦上同调理论将代数结构与群论的同调方法相结合，提供了一种研究代数对象性质的全新视角。我们将从群的上同调（Group Cohomology）概念出发。给定一个群 $G$ 和一个 $G$-模 $A$（即一个将群的元素作用于模中的元素的代数结构），群的上同调是关于 $G$ 和 $A$ 的一系列群，记作 $H^n(G, A)$。我们将解释 $H^0(G, A)$ 和 $H^1(G, A)$ 的定义，并初步阐述它们的组合意义。 $H^0(G, A)$ 刻画了 $A$ 中所有被 $G$ 中所有元素固定的元素，即 $A^G = {a in A mid ga = a ext{ for all } g in G}$。 $H^1(G, A)$ 刻画了 $G$ 在 $A$ 上的“1-截面”（1-cocycle）在“1-边界”（1-coboundary）意义下的等价类。这通常与 $G$ 在 $A$ 上的作用方式相关，例如表示某种形式的“分裂”。第四部分：中央简单代数与伽罗瓦上同调的交汇本书的核心章节将聚焦于将中央简单代数与伽罗瓦上同调联系起来。我们将探讨中央简单代数的一般分类（Classification of Central Simple Algebras）。例如，通过阿尔布隆-斯科特定理（Algebras-Scott Theorem），我们可以知道，给定一个域 $K$ 以及一个它的伽罗瓦扩张 $L$，域 $K$ 上的中央简单代数与 $L$ 上的分裂代数之间的关系。我们将引入投掷子（Brauer Group）的概念。阿尔布隆群（Brauer Group）$Br(K)$ 是一个域 $K$ 上的所有中央简单代数（在同构意义下）组成的集合，在张量积运算下构成一个群。这个群在分类中央简单代数中扮演着核心角色。更重要的是，我们将证明阿尔布隆群与第一伽罗瓦上同调群之间的同构关系。具体而言，对于一个域 $K$ 及其一个有限伽罗瓦扩张 $L$，我们有 $Br(K) cong H^2( ext{Gal}(L/K), L^ imes)$。这个惊人的结果将抽象的代数分类问题转化为对伽罗瓦群作用于域的乘法群的上同调计算。 $H^2( ext{Gal}(L/K), L^ imes)$ 的意义：第二上同调群 $H^2(G, A)$（当 $A$ 是一个交换群时）通常与 $G$ 的群扩张（Group Extension）概念密切相关。在这个上下文中，它描述了如何通过 $G$ 的作用在 $L^ imes$ 上“粘合”出新的代数结构，从而形成中央简单代数。我们将详细展示如何从 $H^2( ext{Gal}(L/K), L^ imes)$ 的元素构造出相应的中央简单代数，以及如何从一个中央简单代数找到其对应的上同调类。这个过程涉及到“左-右”代数（Left-Right Algebra）的构造，以及对代数中“非阿贝尔”2-截面的理解。第五部分：应用与进阶主题在建立起中央简单代数与伽罗瓦上同调之间的桥梁后，我们将探讨这一理论的广泛应用。数域的代数分类：我们将看到如何利用伽罗瓦上同调来理解和分类不同数域上的中央简单代数，例如，我们熟悉的复数域 $mathbb{C}$ 是实数域 $mathbb{R}$ 上的唯一非对角分裂的中央简单代数。代数数论中的问题：我们将讨论伽罗瓦上同调在解决代数数论中的一些经典问题中的作用，例如二次域的结构，以及域的扩张如何影响其上的代数分类。更一般的域：本书也将触及对更一般域（例如函数域）上的中央简单代数的研究，以及在这种情况下伽罗瓦上同调的推广。非阿贝尔上同调：我们还会初步介绍非阿贝尔伽罗瓦上同调的概念，它将用于研究那些中心不是域的更一般的代数结构。通过对《中央简单代数与伽罗瓦上同调》一书的学习，读者将能够： 1. 深入理解中央简单代数的结构及其分类。 2. 熟练掌握伽罗瓦理论的核心概念和工具。 3. 领会伽罗瓦上同调理论的精髓，并能进行基本的计算。 4. 清晰地认识到中央简单代数的分类与伽罗瓦上同调群之间的深刻联系。 5. 能够将这些理论应用于解决代数数论中的具体问题。本书力求以清晰的逻辑、严谨的论证，带领读者一步步深入数学的殿堂，发现抽象概念背后蕴含的美丽与力量。无论您是研究生、研究人员，还是对代数数论充满好奇的数学爱好者，本书都将为您提供一份宝贵的智力财富。