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出版者:

作者:Woods, Frederick S

出品人:

页数:423

译者:

出版时间:2005-5

价格:$ 73.45

装帧:

isbn号码:9780486441504

丛书系列:

图书标签:

• 几何学
• 代数几何
• 高等数学
• 数学史
• 经典数学
• 数学理论
• 拓扑学
• 微分几何
• 抽象代数
• 数学

《空间几何的探索与应用》 本书是一本深度剖析三维空间几何的专著，旨在为读者提供一个清晰、系统且富有启发性的学习框架。我们抛弃了繁琐冗余的推导，专注于几何概念的本质，并着重于其在现代科学和工程领域中的实际应用。 第一部分：基础概念与欧氏空间 本部分从最基础的公理化体系出发，逐步建立起我们对三维空间的直观认识。我们将详细阐述点、直线、平面等基本元素的定义及其相互关系，并深入探讨公理化几何的严谨性与优雅。在此基础上，本书将重点介绍向量空间的概念，包括向量的加法、数乘、点积和叉积等基本运算。我们将展示这些代数工具如何有效地描述和操作几何对象，例如直线方程、平面方程的推导，以及点到直线、点到平面、直线与直线之间距离的计算。 此外，我们还将详细讨论欧氏空间中的度量概念，包括距离、角度、曲率等，并探讨这些度量如何影响我们对形状和位置的理解。本部分将通过大量的几何实例，帮助读者将抽象的数学概念与具体的空间形态联系起来，培养空间想象能力和几何推理能力。 第二部分：曲线与曲面 本部分将视野从简单的直线和平面扩展到更复杂的三维几何对象——曲线与曲面。我们将首先介绍参数方程和隐函数方程在描述曲线和曲面中的作用，并通过具体的例子，如圆锥曲线、球面、柱面、锥面等的方程形式，加深读者对这些基本形状的理解。 接着，我们将深入研究曲线的微分几何。读者将学习到切线、法线、曲率、挠率等概念，理解曲线在空间中的弯曲程度和扭转程度。这些概念不仅是理解曲线性质的关键，也是后续学习更高级几何理论的基础。 在曲面几何方面，本书将重点介绍曲面的参数表示法，以及如何使用切平面、法向量、第一基本形式和第二基本形式来分析曲面的局部性质。读者将能够理解曲面的光滑性、曲率分布，以及如何通过这些性质来分类和识别不同的曲面。我们将分析许多重要的曲面类型，如平面、二次曲面（椭球面、双曲抛物面等）、旋转曲面以及参数化曲面。 第三部分：几何变换与度量 本部分将探讨几何对象在空间中的运动和形变。我们将详细介绍刚体变换，包括平移、旋转和反射，并阐述它们在齐次坐标下的矩阵表示。读者将学会如何通过矩阵运算实现几何对象的变换，理解变换对坐标和几何性质的影响。 我们将进一步讨论相似变换和仿射变换。相似变换在保持角度不变的同时，允许进行缩放，这在计算机图形学和图像处理中有着广泛应用。仿射变换则更为通用，它能保持直线平行性，并且是线性变换与平移的组合。我们将分析仿射变换如何改变形状和尺寸，以及它们在几何建模和坐标系转换中的作用。 本部分还将深入探讨度量张量，它是描述空间几何性质的关键工具。我们将解释度量张量如何定义距离和角度，以及它在黎曼几何中的重要性。通过学习度量张量，读者将能够理解曲面上的测地线，以及曲率如何由度量张量导出。 第四部分：拓扑学基础及其与几何的联系 虽然本专著的核心是度量几何，但我们也认识到拓扑学在理解空间整体结构方面的重要性。本部分将简要介绍拓扑学的基本概念，如开集、闭集、连续映射、同胚等，并强调拓扑性质在几何变换中的不变性。 我们将探讨拓扑等价的概念，以及拓扑学如何帮助我们区分在度量上可能差异很大但具有相同“形状”的物体。例如，一个杯子和一个甜甜圈在拓扑上是等价的，尽管它们的几何形状差异显著。我们将简要讨论一些简单的拓扑不变量，如连通性、孔洞的数量等。 本书将通过分析一些例子，展示拓扑学和度量几何之间的联系，例如，理解流形的拓扑性质是研究其度量性质的前提。 第五部分：现代应用与前沿展望 本部分将聚焦于 Higher Geometry 的实际应用，展示其在各个领域的强大生命力。我们将深入探讨计算机图形学中三维建模、渲染和动画的几何原理，包括多边形网格、曲面重建、纹理映射等。 在计算机视觉领域，本书将介绍几何在物体识别、姿态估计、三维重建等任务中的作用，例如，透视投影、对极几何和三角测量等概念。 在机器人学和自动驾驶领域，我们将讨论路径规划、运动控制、传感器融合等问题背后的几何学原理。例如，机器人臂的运动学和动力学分析，以及SLAM（同时定位与地图构建）算法中的几何优化。 此外，我们还将简要提及 Higher Geometry 在物理学（如广义相对论中的黎曼几何）、生物学（如分子结构分析）和数据科学（如流形学习）等领域中的应用。 本书的最后，我们将对 Higher Geometry 的发展趋势进行展望，包括对更一般几何空间的探索，如微分流形、黎曼流形等，以及计算几何和代数几何等交叉学科的前沿研究方向。 学习目标： 完成本书的学习后，读者将能够： 理解三维空间的基本几何概念和公理体系。 熟练运用向量代数解决几何问题。 掌握描述和分析曲线与曲面的方法。 理解并应用各种几何变换。 认识到度量张量在定义几何性质中的核心作用。 理解拓扑学与度量几何的基本联系。 了解 Higher Geometry 在现代科技领域的广泛应用。 本书适合于对数学、物理、计算机科学、工程学等领域感兴趣的学生、研究人员和从业者，尤其适合于希望深入理解三维空间几何及其应用的读者。我们力求以一种直观且富有洞察力的方式呈现复杂的几何概念，激发读者对这个迷人领域的探索热情。

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从纯粹的数学严谨性角度来看，这本书几乎无可挑剔。作者在引用和论证过程中展现出的对细节的极致把控，令人叹服。每一个定义都被精确地限定，每一个定理的证明都遵循着清晰的逻辑链条，几乎没有留下任何可以被质疑的“模糊地带”。我特别欣赏作者在处理一些公认的困难证明时所采用的“模块化”方式。他将一个冗长复杂的证明拆解成若干个独立且易于理解的小引理，然后依次攻克。这种结构化的证明思路，使得读者在跟随推导时，不会因为中间环节的复杂性而迷失方向。相比于一些追求捷径、省略关键步骤的论著，这本书更像是一位耐心且一丝不苟的导师，确保学生每一步都走得扎实。对于严肃的数学学习者而言，这种无可指摘的严谨性，是衡量一本参考书是否“可靠”的黄金标准。

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这本书的练习题和附录部分，是其价值的另一个重要体现。通常，教材的习题要么过于简单，要么难度陡增，让学习者感到无所适从。然而，这本书的习题设计呈现出一种完美的梯度。基础练习旨在巩固对核心定义的理解，它们短小精悍，但直击要害。中等难度的题目则要求读者进行多步骤的逻辑组合，真正考验了对章节内容的掌握程度。最令人称道的是那些“探索性问题”，它们往往不直接出现在正文的推导中，但却是通往更深层次概念的桥梁。更值得一提的是，有些探索性问题后面附带了简短的“背景提示”，而不是直接给出解法，这极大地鼓励了读者独立思考和查阅扩展资料的积极性。这使得这本书不仅是一个学习工具，更像是一个自我驱动的研究伙伴，迫使读者不断走出舒适区，真正成为知识的建构者。

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我对书中对“空间”这个核心概念的哲学探讨印象最为深刻。它远超出了三维笛卡尔坐标系的限制，深入到拓扑学和微分几何的交叉地带，展现了现代数学家如何不断拓展我们对“实在”的理解边界。书中关于流形理论的入门章节，处理得极为精妙。作者并没有一上来就用复杂的拓扑语言轰炸读者，而是通过一系列精心设计的类比——比如将弯曲的球面想象成可以被局部平铺的微小平面——来建立直观的理解。然后，他才逐步引入切空间、度量张量等正式工具。这种由浅入深，从直觉到形式化的路径规划，体现了作者深厚的教学功底。读到那里，我仿佛站在一个高处俯瞰整个数学大厦的结构，明白了为什么几何学不再仅仅是关于形状和位置，而成为了描述物理世界和抽象结构的最根本语言之一。这种宏大的视野是其他同类书籍难以提供的。

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初读这本著作，我立刻被作者那独特的叙事风格所吸引。他似乎并不满足于仅仅罗列定理和证明，而是将整个几何学的演进过程描绘成了一部引人入胜的历史剧。作者在引入新概念时，总是习惯性地追溯其历史渊源，探讨不同数学家在解决同一问题时所采用的不同视角和路径。这种“带着故事讲知识”的方法，极大地降低了抽象概念的门槛。例如，在阐述某一非欧几何结构时，作者并没有直接抛出公理系统，而是先回顾了欧几里得公设面临的挑战，用非常生动的语言描述了哥白尼、罗巴切夫斯基等人在思想突破时的挣扎与喜悦。这种叙事上的张力，让原本枯燥的逻辑推演变得鲜活起来。我发现自己不再是单纯地在“学习”几何，而更像是在“见证”一场思想的革命。这种人文化和历史感的融入，使得这本书的阅读体验远超出了我预期的学术参考书的范畴。

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这本书的装帧设计真是让人眼前一亮，封面那种深邃的蓝色调，配上烫金的字体，一下子就抓住了我的眼球。那种古典与现代交织的美感，让人忍不住想一探究竟。拿在手里沉甸甸的质感，也让人感觉到作者和出版方对内容的尊重。我特别喜欢书脊上的那种简约处理，既有设计感又不失学术的庄重。翻开内页，纸张的质量也相当不错，印刷清晰，字迹锐利，即便是复杂的数学符号也能看得一清二楚，这对于阅读一本专业的书籍来说至关重要。排版上采用了大量的留白，使得阅读过程非常舒适，不会有视觉疲劳的感觉，这在很多同类书籍中是比较少见的。整体来看，这本书的物理呈现本身就是一种享受，它仿佛在告诉你，你即将阅读的知识是经过精心打磨和呈现的艺术品。这种对细节的关注，已经为接下来的阅读体验打下了非常好的基础，让人对内容充满期待，希望能和作者一起踏入一个严谨而又充满美感的数学世界。

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