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出版者:高等教育出版社

作者:李忠范、黄万风、孙毅/国别：

出品人:

页数:573

译者:

出版时间:2006-5

价格:37.60元

装帧:简裝本

isbn号码:9787040193671

丛书系列:

图书标签:

• 线性代数
• 随机过程
• 概率论
• 数学学习
• 高等教育
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• 数值计算
• 数学分析

《矩阵的奥秘与概率的魅力：线性代数与随机数学习题精析》 本书旨在为学习者提供一套系统、深入的线性代数与随机数学习题辅导方案。我们将聚焦于这两个核心数学分支的关键概念、理论推导以及解题技巧，帮助您在理解原理的基础上，熟练掌握各类问题的解法，为进一步的专业学习和应用打下坚实基础。 第一部分：线性代数的基石与拓展 线性代数是现代数学的语言，也是众多学科的基石。在本部分，我们将从最基础的概念出发，循序渐进地引导您领略其精妙之处。 向量空间与线性变换： 我们将深入探讨向量空间的定义、基、维数以及子空间等核心概念。通过丰富的例题，解析线性无关、基的选取等关键问题。同时，将重点阐释线性变换的本质，包括核、像以及矩阵表示，并通过不同视角展示线性变换的几何意义。学习者将在此部分掌握构建向量空间模型，理解和操作线性映射的能力。 矩阵的运算与性质： 从矩阵的加减乘除、转置、逆，到行列式的计算与性质，我们将提供详尽的解析和技巧。重点关注矩阵秩的求法、可逆矩阵的判定条件，以及矩阵分解（如LU分解、QR分解）在解方程组和优化问题中的应用。大量的习题将帮助您熟练掌握矩阵的各项运算，理解矩阵在表示线性关系和解决问题中的强大作用。 线性方程组的求解： 高斯消元法、克拉默法则、矩阵求逆法等经典解法将得到细致讲解。我们将重点分析线性方程组解的存在性与唯一性，并引入向量方程和矩阵方程的概念，使您能够从更抽象的层面理解和求解问题。求解的效率与方法的选择也将是贯穿始终的讨论重点。 特征值与特征向量： 这是线性代数中一个极为重要的概念，它揭示了线性变换的本质“方向”与“伸缩因子”。我们将系统讲解特征值和特征向量的计算方法，并深入探讨其在线性代数和应用数学中的重要意义，例如矩阵的对角化、主成分分析等。通过对相关习题的深入剖析，帮助您理解其在数据分析、动力系统等领域的应用。 二次型与正定性： 二次型的标准形、化简方法以及正定性的判断将是本部分的重点。我们将通过具体的例子，展示二次型在优化问题、二次规划以及多元函数极值等方面的应用。 第二部分：随机数的生成与应用 随机数是模拟、统计、加密等领域不可或缺的工具。本部分将带您探索随机数的奥秘，从理论到实践。 概率论基础回顾： 在进入随机数专题之前，我们将快速回顾概率论的核心概念，包括随机事件、概率、条件概率、独立事件，以及重要的概率分布（如二项分布、泊松分布、指数分布、正态分布等）。这将为理解随机数的生成和分析提供必要的理论支撑。 伪随机数的生成： 伪随机数是计算机模拟的基础。我们将详细介绍几种经典的伪随机数生成算法，如线性同余发生器（LCG）、梅森旋转算法（Mersenne Twister）等。我们将分析这些算法的原理、优缺点以及评价标准（如统计均匀性、周期长度等），并通过习题帮助您理解和实现这些算法。 随机变量及其分布： 我们将深入探讨离散型和连续型随机变量的定义、概率质量函数（PMF）和概率密度函数（PDF），以及累积分布函数（CDF）。通过大量例题，我们将演示如何计算随机变量的期望、方差以及高阶矩。 随机变量的变换与组合： 学习如何处理随机变量的函数，例如两个独立随机变量的和、差、积、商的分布。我们将介绍卷积定理等关键工具，并结合具体分布，演示求解变换后随机变量分布的方法。 常用概率分布的性质与应用： 除了基础分布，我们将还会涉及一些更复杂的分布，如卡方分布、t分布、F分布等，并解释它们在统计推断中的作用。通过实例，我们将展示这些分布在实际问题中的应用，例如假设检验、置信区间估计等。 蒙特卡洛方法简介： 蒙特卡洛方法利用随机抽样来近似计算复杂的数学问题。我们将初步介绍蒙特卡洛方法的思想，以及它如何结合随机数生成技术，用于估算积分、求解方程、模拟物理过程等。 学习本书，您将获得： 扎实的理论基础： 清晰的概念解析和严谨的数学推导，帮助您建立对线性代数和随机数理论的深刻理解。 精湛的解题技巧： 大量精选习题，涵盖了从基础到进阶的各类问题，通过详尽的解题步骤和思路启发，助您掌握解决问题的多种策略。 融会贯通的视野： 通过将线性代数与随机数相联系，您将能更全面地认识这两个学科在现代科学技术中的重要地位和广泛应用。 本书力求以最清晰、最易懂的方式呈现复杂的数学概念，并通过大量的练习巩固和深化学习效果，无论您是数学专业的学生，还是其他领域需要应用线性代数和随机数的科研人员或工程师，相信本书都能成为您学习路上的得力助手。

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这本书给我的最深印象是它强烈的“计算导向”和“应用潜能”。它并没有将线性代数和随机数理论局限在纯数学的象牙塔内，而是始终着眼于如何用这些工具去解决实际问题。例如，在讲解特征分解时，书中立刻引出了关于求解常微分方程组的稳定性分析，这立刻让那些抽象的数值对获得了实际的物理意义——它们决定了系统的长期行为。而在随机数部分，它探讨了泊松过程在排队论中的基础应用，并展示了如何用矩阵方法来计算稳态分布，这对于任何从事运筹学或系统仿真的人来说都是非常宝贵的。我尤其欣赏书中关于矩阵的数值稳定性的讨论，虽然没有深入到高级的迭代算法细节，但它提醒了读者在计算机上进行实际计算时必须考虑浮点误差和病态矩阵的问题。这本书的习题集是其精华所在，我发现很多题目本身就是一个小型的研究课题，如果能独立完成，对相关领域的理解将会提升一个台阶。总而言之，这不仅仅是一本教材，更像是一份通往更高级研究领域的“操作指南”，它要求读者不仅要会“算”，更要懂得“为什么这么算”。

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拿到这本厚厚的《线性代数与随机数学习题课教程》，我心中是既期待又有些忐忑的。这本书的封面设计朴实无华，透着一股老派教材的严谨气息。我最近在准备一个涉及到大量数据建模和机器学习的项目，急需夯实基础，尤其是在特征值分解和蒙特卡洛模拟这些核心概念上。翻开第一章，内容从基础的向量空间和线性映射讲起，作者的处理方式非常注重几何直观的阐述，而不是一上来就堆砌复杂的符号运算。比如，对于基和维度的讨论，书中穿插了许多图形化的解释，这对我这种更偏向视觉学习的人来说，简直是福音。特别是讲解最小二乘法时，它没有仅仅停留在公式推导上，而是花了相当篇幅去解释它在投影几何中的意义，这让我豁然开朗。它不像有些教材那样把知识点孤立起来，而是努力构建一个完整的知识体系，让读者明白为什么需要这些工具，以及它们在真实世界中能解决什么样的问题。接下来的随机数部分，内容从均匀分布的生成讲到马尔可夫链的收敛性，深度适中，既保证了理论的严密性，又兼顾了工程应用的实际需求。我尤其欣赏作者对伪随机数生成器的批判性讨论，这让读者能更清醒地认识到“随机”在计算中的局限性。总的来说，这本书的开篇体验非常扎实，为接下来的深入学习打下了坚实的理论地基。

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坦白讲，我过去对“随机数”这个主题一直抱有一种敬而远之的态度，总觉得它太偏向概率论，和我的线性代数基础有些脱节。然而，这本书成功地将两者编织在了一起，展现了数学学科交叉的魅力。它在介绍随机过程时，引入了大量的矩阵指数和转移矩阵的概念，这使得原本模糊的随机演化过程变得可以通过确定的线性代数工具进行分析和预测。这种整合视角极其强大。我特别留意了书中关于蒙特卡洛方法在大规模积分计算中的应用实例，它没有仅仅展示代码片段，而是深入探讨了方差缩减技术和重要性抽样的理论基础。这种对底层机制的深入挖掘，是我在其他教材中很少见到的。此外，这本书在语言运用上呈现出一种非常克制和精确的风格，几乎没有使用任何口语化的表达，每一个词的选择都服务于数学概念的严谨定义。对于一个习惯了快速阅读和信息碎片化的学习者来说，阅读这本书需要一种沉静的心态，需要不断地回溯和咀嚼那些定义的精确性。它不迎合读者的惰性，而是要求读者投入相应的智力努力，但回报也是巨大的。

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这本书的排版和装帧，坦率地说，称不上是当代畅销书的风格，更像是一份精心编辑的工程手册，非常适合放在案头随时翻阅。我个人对那种花哨的彩色插图和过于现代的字体设计并不感冒，我更看重内容的密度和逻辑的连贯性。这本书在这方面做得非常出色。我翻阅了其中关于奇异值分解（SVD）的部分，发现它没有回避SVD在数据压缩和主成分分析（PCA）中的核心地位。作者用了整整一个章节来详细剖析SVD的每一步计算过程和其背后的矩阵分解理论，没有使用任何花哨的捷径。最让我印象深刻的是，它在讲解特征值问题时，引入了关于动力学系统稳定性的讨论，这立刻将抽象的代数概念与物理世界的演变联系了起来。而且，这本书的习题设置非常巧妙，它不是那种只要求套用公式的机械练习，而是包含了大量的论证题和需要一定创造性思维的建模小任务。比如，有一道题要求读者设计一个算法来判断一个给定的矩阵是否具有特定形式的特征向量，这绝对不是靠死记硬背就能解决的。我感觉这本书更像是一位经验丰富的老教授在指导你，他不会直接给你答案，而是引导你通过思考去发现知识的内在联系。对于那些希望真正掌握数学工具而非仅仅通过考试的人来说，这本书的价值是无可替代的。

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我对这本教材的深度和广度感到相当满意，特别是它处理那些容易引起混淆的概念时所展现出的细致入微。例如，在区分“相似矩阵”和“相似变换”时，很多教材会含糊其辞，但这本书明确指出了在不同向量空间下变换的本质区别，并通过合同变换（Congruence Transformation）进行了对比，这对于理解二次型和度量空间至关重要。再谈谈随机数部分，书中对中心极限定理的推导过程写得极为详尽，从矩生成函数到特征函数，每一步的逻辑跳跃都被充分填补了空白，这对于理解大数定律的严格证明非常有帮助。我尝试着去做几道关于高斯-赛德尔迭代收敛性的分析题，发现书中的例题不仅给出了答案，更关键的是，它对为什么某些参数下迭代会发散给出了直观的代数解释，这比单纯的“公式A不满足”要深刻得多。这本书的结构设计仿佛是一座精心搭建的脚手架，它允许学习者从不同的角度攀爬到知识的高处。它不是一本提供“即食”知识的读物，而更像是一本需要耐心“磨砺”自己的工具书。

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