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出版者:辽宁东北大学

作者:石辅天，杨中兵，

出品人:

页数:214

译者:

出版时间:2006-8

价格:23.00元

装帧:

isbn号码:9787811022865

丛书系列:

图书标签:

• 高等数学
• 数学
• 微积分
• 线性代数
• 概率论
• 解析几何
• 函数
• 极限
• 导数
• 积分

《高等数学》是一部内容详实、条理清晰的数学著作，专为求知若渴的读者精心打造。本书深入浅出地阐述了数学这一迷人学科的核心概念和理论，为读者构建起坚实的知识体系。 导读：数学世界的基石 本书的开篇，我们将在引人入胜的导读中，为读者揭示数学的本质和其在人类文明发展中的重要地位。我们将从数学的起源讲起，追溯其在古希腊、古代中国等文明中的早期发展，例如欧几里得《几何原本》的严谨逻辑，以及祖冲之对圆周率的精确计算。随后，我们将探讨数学如何在近代科学革命中扮演核心角色，从牛顿和莱布尼茨的微积分发明，到高斯对数论和几何学的贡献，以及拉格朗日、欧拉等大师的开创性工作。导读的目的是激发读者对数学的兴趣，让他们明白数学并非枯燥的公式堆砌，而是理解和探索世界的强大工具。我们将强调数学的抽象思维能力、逻辑推理能力以及解决实际问题的能力，为后续的学习奠定思想基础。 第一章：函数与极限——变化的奥秘 本章将深入探讨函数这一数学中最基本、最重要的概念。我们将从函数的定义、性质（如单调性、奇偶性、周期性）以及常见的函数类型（多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数）入手，通过大量的实例和图形来帮助读者理解。我们将详细讲解函数的图像绘制，以及如何通过图像分析函数的行为。 随后，我们将进入函数与变化最核心的议题：极限。极限是理解微积分的基础，也是数学分析的起点。我们将从直观的“无限接近”概念出发，逐步引入ε-δ语言的严谨定义，使读者能够理解并运用极限的定义来证明一些基本定理。本章将重点讲解几种重要的极限（如夹逼定理、单调有界定理），并介绍求极限的各种技巧和方法，包括代数方法、洛必达法则等。我们将分析当变量趋于无穷大或某个常数时的函数行为，以及无穷小量和无穷大量。通过对极限的透彻理解，读者将能够把握事物发展的趋势和变化的速度。 第二章：导数与微分——瞬息万变的律动 在本章中，我们将迎来微积分的另一大基石：导数。导数是描述函数瞬时变化率的概念，它在物理学、经济学、工程学等众多领域都有着极其广泛的应用。我们将从导数的定义出发，将其与极限的概念紧密联系起来，理解导数就是函数在某一点的切线斜率。 本章将详细介绍导数的计算方法，包括基本初等函数的导数公式，以及导数的四则运算、复合函数求导法则（链式法则）、反函数求导法则等。我们将重点讲解高阶导数及其应用，以及隐函数求导。 导数的应用是本章的重头戏。我们将利用导数来分析函数的单调性、求函数的极值（局部最大值和最小值）、判断函数的凹凸性以及寻找拐点。这些工具能够帮助我们绘制出函数的精确图像，深入理解函数的几何形状和变化趋势。此外，我们还将介绍曲率、法线、切线等几何应用，以及洛必达法则在处理未定式极限时的威力。通过本章的学习，读者将能够用数学的语言精确描述和分析事物的变化规律。 第三章：积分与微分方程——累积与演化的力量 本章将带领读者进入积分的世界。积分是微积分的另一半，它本质上是求导的逆运算，用于计算曲线下面积、体积、弧长等。我们将从定积分的概念开始，通过黎曼和的定义来理解积分的几何意义。 本章将详细介绍不定积分的求解方法，包括基本积分公式、线性性质、换元积分法（第一类和第二类）、分部积分法等。我们将重点讲解定积分的计算，以及牛顿-莱布尼茨公式的运用。 积分的应用是极为广泛的。我们将展示如何利用定积分计算平面图形的面积、旋转体的体积、曲线的弧长。此外，我们还将触及更复杂的应用，如求变速直线运动的路程，或者在物理学中计算功、质心等。 紧接着，我们将引入微分方程这个强大的数学工具。微分方程是含有未知函数及其导数的方程，它们是描述自然界和工程领域中各种动态过程的数学模型。我们将从简单的微分方程入手，介绍其基本概念和分类，例如一阶线性微分方程、可分离变量微分方程、齐次方程、伯努利方程等。本章将重点介绍求解这些方程的经典方法，以及二阶常系数线性微分方程的求解。通过学习微分方程，读者将能够建立数学模型来描述和预测系统的演变，理解事物的演化过程。 第四章：多元函数——超越平面，进入空间 在前面的章节中，我们主要关注的是单变量函数。本章将把我们的视野拓展到多元函数，即含有两个或多个自变量的函数。我们将学习如何描述和分析这些函数，例如二元函数的图像（曲面）以及等高线。 本章将重点介绍多元函数的极限和连续性，并引入偏导数和方向导数，这些概念可以看作是多元函数在不同方向上的变化率。我们将详细讲解全微分和高阶偏导数，以及雅可比矩阵和海森矩阵在描述函数局部性质中的作用。 多元函数的积分，即重积分（二重积分和三重积分），将是本章的另一个重要主题。我们将学习如何计算重积分，以及通过变量替换（如极坐标、柱坐标、球坐标）来简化计算。重积分的应用包括计算面积、体积、重心、转动惯量等。 此外，本章还将触及多元函数的最优化问题，即利用多元函数的导数来寻找函数的极值点（包括局部极值和全局极值），以及拉格朗日乘数法用于带约束条件的极值问题。这些工具对于解决实际中的优化问题至关重要。 第五章：向量分析与场——勾勒连续世界的脉络 本章将带领读者进入向量分析的领域，这是一种用于描述和分析三维空间中向量场和标量场的强大数学语言。向量分析是物理学（如电磁学、流体力学）中的核心工具。 我们将从向量函数的概念出发，学习其求导和积分。随后，我们将深入探讨三种重要的微分算子：梯度、散度和旋度。梯度描述了标量场的增长方向和速率，散度衡量了向量场在某一点的“源”或“汇”的强度，而旋度则描述了向量场在某一点的“旋转”程度。 本章的另一大亮点是三大积分定理：格林公式、高斯散度定理和斯托克斯旋度定理。这些定理将线积分、面积分和体积分这看似不同的概念联系起来，揭示了向量场在不同维度上的深刻关系。例如，高斯散度定理将一个向量场在闭合曲面上的散度积分与该向量场在该曲面所围区域内的散度体积分联系起来；斯托克斯旋度定理则将向量场沿着一个闭合曲线的线积分与其在曲面上的旋度面积分联系起来。这些定理在理论推导和实际计算中都扮演着至关重要的角色。 结语：数学的远航 本书的结语将对高等数学的各个部分进行回顾和总结，重申其核心概念和方法。我们将强调高等数学并非孤立的知识点集合，而是相互关联、层层递进的有机整体。我们还将展望数学在更广泛领域中的应用，例如概率论、统计学、数值分析、微分几何、拓扑学等，并鼓励读者在掌握了高等数学的基础后，继续探索更广阔的数学天地。本书旨在为读者打下坚实的基础，激发他们用数学的视角去观察、理解和解决世界上的各种问题，从而开启一段充满智慧和发现的数学远航。

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与其他我曾接触过的同类书籍相比，这本书的习题设计达到了一个近乎“艺术品”的境界。我很少见到有哪本书能将基础巩固、能力提升和创新思维激发这三者平衡得如此恰到好处。基础题部分，讲解细致入微，甚至连最基础的运算步骤都标注得清清楚楚，确保了零基础读者的快速入门。而中等难度的综合应用题，则巧妙地将不同章节的知识点融会贯通，考察的不是死记硬背，而是对知识体系的整体把握能力。真正让我拍案叫绝的是那些“探索性”或“挑战性”的难题。它们往往不是单纯地加大计算量，而是设计了一个极具巧思的切入点，迫使你必须跳出固有的思维定势，去探索理论的边界。更重要的是，对于这些难题，它不像某些参考书那样只给一个冰冷的最终答案，而是提供了至少两种不同的解题思路，有时候甚至是启发性的提示，鼓励你独立完成证明。这种对思维过程的尊重和引导，远比直接给出答案要宝贵得多。

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我向来对那些晦涩难懂的理论书籍敬而远之，总觉得它们是知识的壁垒，而非桥梁。然而，这本书在阐述复杂概念时的那种细腻和耐心，简直是教科书级别的示范。它没有采取那种高高在上、冷冰冰的叙述方式，而是像一位经验丰富的老教授在跟你面对面交流。比如，在讲解某个看似深奥的定理时，作者会先用一个非常贴近生活的、甚至是略带幽默的比喻来打比方，先把那个抽象的框架给搭建起来。紧接着，才会引入严谨的数学符号和推导过程。最妙的是，每当推导到一个关键的转折点时，作者总会插入一段“思考提示”或者“陷阱提醒”，提前指出读者最容易在哪里犯迷糊，这种预判能力实在太强大了。读完一个章节后，你会有一种“原来如此，竟是如此简单”的豁然开朗感，而不是那种强行灌输后的疲惫。这种以学习者为中心的教学设计，彻底打破了我对传统学术著作的恐惧，让学习过程变成了一种享受，而非煎熬。

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这本书的装帧设计着实让人眼前一亮，硬壳封面采用了那种沉稳的墨绿色，配上烫金的字体，散发着一种低调的奢华感。拿到手里分量十足，感觉像是捧着一部沉甸甸的知识宝库。内页的纸张质量也相当不错，不是那种廉价的泛黄纸张，而是略带米白色的哑光纸，印刷清晰，字迹锐利，即便是长时间阅读也不会让眼睛感到过分疲劳。更值得称赞的是，编排的逻辑性极强，目录清晰明了，知识点的划分层次分明，让人一眼就能找到所需内容的大致位置。书本的开本适中，便于携带，无论是放在书包里通勤时翻阅，还是放在书桌上深入研读，都很合适。这种对手感的重视，体现了出版方对阅读体验的尊重，绝对不是那种粗制滥造的教材可以比拟的。初次翻阅时，那种对知识的敬畏感，很大一部分来自于它精美的外在包装，让人迫不及待地想要揭开它内在的神秘面纱，去探索其中蕴含的奥秘。可以说，光是放在书架上，它就已经是一件赏心悦目的艺术品了。

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这本书的知识覆盖面广得惊人，但同时又保持了极高的深度，这一点着实令人称奇。我原本以为，一本专注于核心概念的书，可能会在边缘或前沿领域有所取舍，但事实恰恰相反。它不仅对经典理论进行了扎实的回顾，对于近些年数学领域出现的一些重要新发展，也进行了适度的介绍和链接。例如，在涉及到某些现代优化问题的背景时，作者会非常简练地引出其在数据科学或机器学习中的实际应用案例，这让学习的动力瞬间飙升。这些“跨界”的连接，使得原本枯燥的符号推演立刻鲜活了起来，让人感受到理论的生命力。阅读过程中，我发现自己不再仅仅关注于“如何证明”，更多地开始思考“为什么需要这个工具”以及“它能解决什么问题”。这种从工具性到思想性的升华，是很多理论教材所缺失的维度，也让我对这个学科的宏大图景有了更立体的认知。

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这本书的行文风格有一种独特的、近乎散文般的流畅感，这在理工科著作中是极为罕见的。作者似乎非常注重语感的营造，遣词造句既严谨又不失灵动。比如，在引入新的抽象概念时，常常会使用一些富含画面感的词汇来辅助理解，而不是简单地堆砌术语。我注意到，书中的理论推导过程很少出现那种“此处略去三行”的傲慢跳跃，每一个逻辑的飞跃都被细致地衔接起来，如同大师级的编织，线索清晰可见。它让你感觉，你不是在被动地接受知识，而是在和作者一起，共同经历一次严谨的逻辑探索之旅。这种充满人文关怀的写作态度，极大地降低了阅读的心理门槛。当你合上书本，脑海中留下的不只是公式和定理，还有一种清晰、有条理的思维脉络，仿佛自己也沾染上了一种更具条理性的思考方式。这不仅仅是一本知识的载体，更像是一次对纯粹理性思维的深度浸润。

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