Flips, Turns, and Area (Investigations in Number, Data, and Space) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Scott Foresman

作者:Douglas H. Clements

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:2004

价格:0

装帧:Paperback

isbn号码:9780201378238

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 小学数学
• 几何
• 面积
• 数据分析
• 空间推理
• 翻转对称
• 教学资源
• STEM教育
• 动手实践

深入探索几何变换与面积的奥秘：基础概念、应用与实践指南 图书名称： 几何变换与面积：从基础到进阶的系统学习 图书定位： 本书旨在为初中及高中阶段的学生、教师以及对基础几何学有浓厚兴趣的自学者，提供一套全面、深入且易于理解的关于二维图形的变换（平移、旋转、反射）和面积计算的系统性教材。本书强调理论与实践相结合，通过大量的实例和探究活动，帮助读者建立坚实的几何直觉和分析能力。 --- 第一部分：二维空间中的运动——几何变换基础 本部分聚焦于欧几里得几何中的刚体变换，这些变换保持图形的形状和大小不变，是理解对称性、全等性和几何证明的关键。 第一章：平移——穿越空间的一致性 1.1 平移的基本概念： 定义向量平移，理解其方向和大小的决定性作用。引入坐标系下的平移规则，即点坐标的简单加减运算。 1.2 平移的性质与应用： 探讨平移保持的几何属性（如线段长度、角度大小、平行性）。分析平移在网格纸上绘制图形的简化过程，以及在工程图纸和艺术设计中的实际应用。 1.3 复合变换： 讨论连续进行两次或多次平移的等效性，证明两次平移的复合操作仍旧是一次平移。 第二章：旋转——围绕中心的动态变化 2.1 旋转的定义与要素： 明确旋转的中心点、旋转角度和旋转方向（顺时针或逆时针）这三个决定性要素。 2.2 坐标系中的旋转规则： 详细推导并应用绕原点旋转90°、180°和270°时的坐标变化公式。对于任意角度的旋转，引入三角函数概念辅助理解。 2.3 旋转的性质与中心对称： 探究旋转保持的性质，特别是旋转如何与中心对称联系起来——180°的旋转即为中心对称。讨论旋转在分形几何（如Koch曲线的构建初期步骤）中的初步作用。 第三章：反射——镜面之下的对称世界 3.1 反射的几何定义： 解释反射是关于一条“反射轴”的变换，强调反射轴是连接原点和像点垂直平分线。 3.2 常见反射轴的运用： 重点分析关于坐标轴（x轴和y轴）的反射规则，以及关于直线 $y=x$ 或 $y=-x$ 的反射，这些是解决坐标几何问题的基础。 3.3 反射与轴对称： 将反射操作与图形的轴对称性进行严格的几何定义和判断，探讨具有多重反射对称的规律图形（如正多边形）。 第四章：复合变换与刚体运动的本质 4.1 组合变换的序列： 学习如何系统地分析一系列变换（如先旋转后平移）的最终效果。例如，证明任意刚体运动都可以分解为一次旋转和一次平移（或一次反射和一次平移）。 4.2 全等性与变换： 建立几何图形全等性的严格定义：如果一个图形可以通过有限次的刚体变换（平移、旋转、反射）与另一个图形完全重合，则两者全等。这为平面几何的证明提供了操作性基础。 --- 第二部分：测量平面——面积的精确计算 本部分将面积的计算从直观概念提升到严谨的公式推导和复杂图形的分解应用，侧重于欧几里得平面图形的量化。 第五章：基础多边形的面积公式推导 5.1 矩形与正方形： 从单位正方形的计数出发，推导出 $A = 长 imes 宽$ 的基本原理，并讨论其在网格中的直观验证。 5.2 平行四边形与三角形： 平行四边形： 通过“剪切-平移”法，将平行四边形转化为等面积的矩形，推导出 $A = 底 imes 高$。 三角形： 证明任意三角形的面积是与其等底等高的平行四边形面积的一半，推导出 $A = frac{1}{2} imes 底 imes 高$。 5.3 特殊三角形的面积计算： 探讨直角三角形、等腰三角形和等边三角形的特殊面积公式，特别是利用勾股定理求解高。 第六章：复杂多边形与非标准图形的面积求解 6.1 梯形面积的构建： 利用两个全等的三角形（或一个矩形与两个三角形）组合的方法，推导出梯形的面积公式 $A = frac{1}{2} (上底 + 下底) imes 高$，并解释公式的几何意义。 6.2 不规则多边形的分割与测量： 介绍“割补法”和“坐标法”（鞋带公式的几何前身）来求解任意简单多边形的面积。重点讲解如何将复杂图形分解为矩形、三角形和梯形的组合。 6.3 多边形中的内角和与面积关系： 探讨多边形的内角和与求面积之间的间接联系，为理解更高维度的几何概念做铺垫。 第七章：圆与扇形的面积 7.1 圆的周长与面积的极限逼近： 回顾圆周率 $pi$ 的定义，通过内接与外切正多边形的面积逼近法，直观理解圆面积公式 $A = pi r^2$ 的由来。 7.2 扇形与弓形的计算： 扇形面积： 根据圆心角的大小比例，推导出扇形面积公式 $A = frac{ heta}{360^circ} imes pi r^2$（或使用弧长 $s$ 时的 $A = frac{1}{2} rs$）。 弓形面积： 解释弓形面积的求解是通过扇形面积减去相应三角形面积的方法实现的，强调不同几何图形组合的应用。 --- 第三部分：综合应用与实践挑战 本部分将前两部分的知识融会贯通，解决涉及变换与面积计算的综合性问题，培养解决实际问题的能力。 第八章：在变换中保持面积不变性 8.1 刚体变换对面积的影响： 严谨论证平移、旋转和反射这些刚体变换不改变任何图形的面积。通过坐标变换后，重新计算新图形的面积，证明与原图形面积一致。 8.2 缩放变换的面积变化率： 作为对比，引入比例变换（缩放），解释当线性尺寸按比例 $k$ 缩放时，面积会按 $k^2$ 变化，这是理解相似图形面积关系的基础。 第九章：几何谜题与优化问题 9.1 最小化周长与最大化面积： 探讨在固定周长下，如何构造出面积最大的多边形（引向正多边形和圆的结论）。 9.2 tiling（密铺）与几何填充： 分析哪些图形可以进行平面密铺（如正三角形、正方形、正六边形），以及如何利用平移和旋转的组合来构造复杂的密铺图案，同时计算出所覆盖的总面积。 9.3 图形切割与重组： 解决将一个复杂形状切割成若干小块后，通过平移和旋转重新拼合成一个特定形状（例如，将一个不规则的L形拼成一个矩形）的问题，涉及对面积守恒的精确运用。 --- 本书特色： 几何直觉培养： 强调动手操作和可视化，鼓励读者使用几何画板等工具进行验证。 严谨的逻辑链条： 从最基本的定义出发，逐步构建起变换群论和面积测量的完整数学框架。 丰富的图示： 包含数百张清晰的几何图形示意图，帮助读者分解复杂的问题结构。 本书是构建坚实初等几何基础的理想读物，为未来学习解析几何、线性代数中的空间变换打下坚实的基础。

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我得承认，起初我对这类强调“探究式学习”的材料持保留态度，总觉得它们可能不够“扎实”，担心会遗漏掉一些基础知识点的系统讲解。然而，阅读完《Flips, Turns, and Area》的后续章节后，我的看法彻底改变了。它展示了一种更高层次的“扎实”——即对数学本质的深刻理解，而不是对公式的熟练应用。书中对于“区域覆盖”和“形状变换中的不变量”的讨论，是相当深入的，尽管语言面向儿童，但其背后的数学逻辑非常严谨。它教会孩子，无论你怎么翻转、旋转一个形状，总有一些属性是保持不变的（比如面积、边长等），这对于培养高级数学直觉至关重要。这种对数学本质的挖掘，让我相信这本书为孩子打下了非常坚实的概念基础，远比死记硬背规则要有效得多。这绝对是一本值得推荐给所有关注孩子数学思维培养的家长的优质读物。

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这本书的结构设计实在巧妙，它似乎在刻意避免使用那些让小学生望而生畏的专业术语，而是用更贴近生活的语言来描述复杂的数学概念。我尤其欣赏它在引入“面积”计算时所采取的渐进式策略。它首先从数方块开始，让孩子直观地感受到“数格子的数量就是面积”。接着，它引入了不规则图形，并巧妙地将这些图形分解成可以平移和旋转的、更小的、易于计算的单元。这不仅仅是关于“如何算面积”，更是关于“如何看待和重组一个整体”。书中对“度量衡”的探讨也极其细腻，它没有直接给出长方形面积公式，而是通过一系列的拼凑、切割和重组练习，让孩子自己“推导出”那个公式的合理性。这种自下而上的学习路径，确保了孩子对知识的理解是根深蒂固的，而不是表面的记忆。它培养的不是解题机器，而是能够用数学思维分析现实世界的思考者。

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当我第一次拿起这本书时，我最担心的是它对初学者是否友好。毕竟，“数据、数字和空间探索”这个书名听起来就挺学术的。然而，翻开几页后，我发现我的担忧完全是多余的。这本书的叙事风格非常具有启发性，它更像是一位经验丰富的老师，在你身旁，一步步引导你发现数学规律，而不是直接给你答案。它大量使用了视觉化的提示和需要动手操作的“小实验”。例如，在讲解对称性时，它不是直接给出镜面对称的定义，而是让孩子用一张纸对折，然后剪出一个形状，展开后自然而然地看到了对称的美感和原理。这种“做中学”的方法对于那些对传统数学感到畏惧的孩子来说，简直是一剂良药。它成功地将“思考”的过程变成了探索的乐趣。我们家孩子以前觉得数学很死板，但现在，每当我们一起做书里的活动时，他都充满了动力，总是抢着要看看“下一步会发现什么新东西”。这种主动求知的精神，比单纯学会一个知识点重要得多。这本书对培养批判性思维和空间想象力的贡献，是无法用分数衡量的。

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作为家长，我时常觉得很难找到既能提升孩子逻辑思维，又不至于让孩子感到压力太大的学习材料。这本书完美地平衡了这一点。它在处理“旋转”这个概念时，做得尤其出色。它没有局限于二维平面上的九十度或一百八十度旋转，而是通过搭建积木和使用影子游戏，悄悄地引入了三维空间的概念。比如，让孩子观察一个物体在不同光线下投射出的影子如何随着物体的旋转而变化。这种将平面几何与立体感知相结合的做法，极大地拓宽了我家孩子的空间认知范围。而且，书中的活动设计都非常适合小组合作或亲子共同完成，这提供了一个绝佳的家庭互动和交流数学想法的平台。我们不再是家长在检查作业，而是一起在探索一个未知的数学世界。这种学习体验的质量，是任何标准练习册都无法比拟的，它真正激发了孩子对探索未知领域的热情。

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这本《Flips, Turns, and Area (Investigations in Number, Data, and Space)》简直是为我家那个对几何空间充满好奇的小不点量身定做的！我本来以为它会像很多教科书一样，枯燥地罗列定义和公式，结果完全出乎意料。它不是那种让你死记硬背“什么是旋转、什么是平移”的书，而是用一系列引人入胜的小任务和实际操作来引导孩子理解这些概念。比如，书中有一个环节是让孩子想象把一块积木在桌面上移动，问他们是不是可以不改变朝向就到达另一个位置（平移），又或者必须转个方向才能放进去（旋转）。这种方式，让抽象的几何变换变得像搭乐高一样直观有趣。最让我惊喜的是，它把“面积”的概念融入到对图形操作的探索中。孩子们在进行各种翻转和旋转后，会自然而然地发现，图形的形状变了，但它所占据的空间大小（面积）并不会改变。这种将不同数学分支巧妙地编织在一起的教学法，极大地提升了孩子解决复杂问题的能力，而不是孤立地看待知识点。我已经看到我家孩子在日常生活中，走路时会不自觉地分析自己是不是在做平移，或者在摆放餐具时思考如何通过旋转达到最佳布局。这本书的价值，远超出了课堂教学本身。

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