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出版者:Elsevier Science & Technology

作者:F. Cucker

出品人:

页数:536

译者:

出版时间:2003-05-01

价格:USD 159.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780444512475

丛书系列:

图书标签:

• 金融计算
• 数值分析
• 计算方法
• 数学
• 科学计算
• 算法
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好的，以下是根据您的要求撰写的一份图书简介，聚焦于其他相关领域的数值分析著作，旨在避免提及您指定的书名《Handbook of Numerical Analysis》及其内容： --- 现代计算科学前沿：数值方法的深度探索与应用 导言：计算范式的演进与核心挑战 在当代科学研究与工程实践中，数值分析已不再是单纯的数学分支，而是驱动跨学科创新的核心引擎。从模拟复杂的流体力学过程到优化大规模机器学习模型，精确、高效的数值算法构成了现代计算科学的基石。本书聚焦于当前计算领域中最具挑战性、最前沿的数值方法体系，旨在为高级研究人员、专业工程师以及有志于深入理解计算本质的学者提供一份全面的、侧重于理论深度与实际鲁棒性的参考指南。 我们所处的时代，数据规模与系统复杂性以前所未有的速度增长，这使得传统的解析方法日益捉襟见肘。因此，对算法稳定性的严格检验、对收敛速度的极限追求，以及如何将高维、非光滑问题转化为可解的算子方程，成为决定研究项目成败的关键。本书将系统地梳理并深入探讨这些核心议题，构建一套严谨的数值计算知识框架。 第一部分：偏微分方程的数值求解：从理论到实践的飞跃 偏微分方程（PDEs）是描述自然界宏观现象（如热传导、波传播、流体运动）的基本语言。高效、准确地求解这些方程是计算物理和工程模拟的重中之重。 1. 有限元方法的深入剖析与高阶技术： 本书将超越标准线性元基础，重点探讨非线性有限元的稳定化技术。我们将详细分析处理对流占优问题时的间断伽辽金（DG）方法和混合有限元方法。DG 方法因其在处理高精度需求和复杂几何体上的优势，是当前计算流体力学（CFD）和电磁学模拟的热点。我们将深入研究其时间离散化策略（如隐式/显式Runge-Kutta）及其在非结构化网格上的实现细节，特别是质量守恒和熵条件的数值保证。此外，对自适应网格加密（h/p-FEM）的理论基础和高效数据结构（如四叉树/八叉树管理）进行详尽阐述，以实现计算资源的优化分配。 2. 有限差分法的现代扩展与谱方法： 虽然有限差分法（FDM）在简单几何体上应用广泛，但其在高阶精度和处理复杂边界方面的局限性日益凸显。本书将展示如何通过紧致差分格式和边界积分方法来克服这些限制。更重要的是，我们将详细介绍谱方法（Spectral Methods），包括傅里叶谱方法和切比雪夫配置法。对于解析函数，谱方法的指数级收敛速度是无与伦比的。我们会详细分析其在快速傅里叶变换（FFT）加速下的应用，并讨论其在周期性边界条件下的优势与在非周期问题中引入的伪谱误差分析。 3. 离散化误差控制与后处理技术： 求解本身只是第一步，验证和量化误差是工程可信度的保证。我们将引入残差估计和双重加权残值（DWR）等技术，用于后验误差估计。这些工具对于指导自适应细化至关重要。此外，如何从离散化的近似解中恢复出高精度梯度信息（如应力、通量）的超收敛技术也将被纳入讨论范畴。 第二部分：大规模矩阵的计算：求解器的性能瓶颈 无论是有限元还是有限差分的离散化，最终都归结为求解超大型线性或非线性代数方程组。面对数百万甚至数十亿自由度的模型，求解器的效率直接决定了计算的可行性。 1. 迭代求解器的理论与实践深度优化： 直接求解器因其计算成本与内存需求爆炸式增长，在超大规模问题中几乎不可用。本书的核心篇幅将献给迭代求解器。我们将系统梳理Krylov子空间方法，从基础的CG、MINRES到针对非对称系统和广义特征值问题的GMRES、Lanczos变体。关键在于预处理器（Preconditioning）的设计。我们将详细比较代数多重网格（AMG）的构建策略（如Smoothed Aggregation, Semi-Coarsening）、不完全LU分解（ILU族）的稀疏模式选择，以及如何利用矩阵代数结构（如代数多尺度分解）来加速收敛。 2. 非线性方程组的求解策略： 工程模拟中绝大多数问题是非线性的（如材料非线性、大变形）。我们将深入研究牛顿法的变体，特别是如何高效地求解或近似求解雅可比矩阵。对于大规模问题，拟牛顿法（Quasi-Newton Methods，如BFGS的分布式版本）和阻尼牛顿法的鲁棒性处理是讨论的重点。我们将探讨线搜索方法（Line Search）的最新进展，以确保全局收敛性，避免陷入鞍点或局部最小值。 3. 并行计算与分布式内存架构： 现代高性能计算（HPC）环境要求算法具备卓越的并行扩展性。我们将聚焦于分布式内存并行化。对于稀疏矩阵求解，域分解法（Domain Decomposition Methods，如FETI/DE-FETI）因其出色的可扩展性，将得到详尽的介绍。同时，我们将讨论如何设计内存访问模式，以最大化缓存局部性，并利用向量化指令（SIMD）和GPU加速来优化基础的BLAS/LAPACK操作。 第三部分：特征值问题的计算与动态系统的求解 许多物理模型依赖于对系统的固有模式（特征值）的分析，或需要追踪时间演化的轨迹。 1. 大型稀疏特征值问题的计算： 计算结构模态、量子化学基态等需要求解大规模的特征值问题。本书将侧重于处理广义特征值问题（$Ax = lambda Bx$）。我们将详细分析Lanczos算法在寻找最少数特征值上的高效性，并探讨其再启动策略和屏蔽技术（Filtering Techniques）以提高计算的针对性。对于需要计算多个特征值的情况，迭代重构法（IRAM/IRAM-plus）和Davidson方法的理论基础和收敛行为将被深入剖析。 2. 时滞与随机系统的数值处理： 处理时间依赖性系统需要特定的时间积分器。对于常微分方程（ODEs），我们将比较隐式Runge-Kutta方法与线性多步法（BDF）在刚性（Stiffness）问题下的性能。对于具有随机扰动的系统（随机微分方程，SDEs），我们需要特别关注Milstein和Euler-Maruyama方案的收敛阶，以及如何处理非光滑的随机路径。 结论：数值分析的未来方向 本书的最终目标是培养读者批判性地选择、修改和设计数值算法的能力。未来的数值分析将更紧密地与数据驱动模型和可解释性相结合。我们展望了基于数据训练的预处理器、基于神经网络的张量分解技术在解决高维PDE问题中的潜力，以及计算验证（Verification & Validation）在确保科学计算结果可靠性方面日益重要的地位。本书为读者提供了坚实的数学和计算工具箱，以迎接下一代科学计算的挑战。

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尽管我本人并未直接阅读《Handbook of Numerical Analysis》中的任何一个字，但我对它所代表的学术高度，却是深感钦佩。我的另一位教授，一位在人工智能领域享有盛誉的专家，曾在一次研讨会上，毫不吝啬地赞扬了这本书的卓越贡献。他提到，在他研究的某个高度复杂的机器学习算法时，很多核心的数值方法都离不开这本书的指引。他形容这本书就像一本“算法宝典”，能够帮助研究人员快速找到解决计算难题的金钥匙。教授在讲解时，眼中流露出对作者们的敬意，以及对书中思想的深刻理解。他时常会引用书中的一些概念，即使我听得云里雾里，也能感受到其中蕴含的强大力量。我能想象，这本书对于那些从事前沿科学研究的学者来说，是多么重要的参考资料，它不仅提供了解决具体问题的方案，更重要的是，它塑造了一种严谨的学术态度和对计算数学深刻的理解。

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我与《Handbook of Numerical Analysis》的缘分，更多地体现在一种间接的“听说”和“感触”之中。我的一位朋友，他目前正在攻读应用数学博士学位，而这本书，便成为了他近期科研工作的“灵魂伴侣”。他几乎每天都会在我面前提起这本书，有时是兴奋地分享他从中找到的一个巧妙的积分方法，有时是苦恼于某个算法的收敛性问题，并希望在书中找到答案。我能从他的言谈中感受到，这本书不仅仅是一本教材，更像是他科研道路上的一个智慧伙伴，一个可以随时求助的导师。他告诉我，书中对各种数值算法的阐述，既有理论的深度，又不失实践的指导意义，能够帮助他更好地理解和应用那些抽象的数学工具。虽然我对其具体内容所知甚少，但从朋友的学习状态和成就感中，我能真切地感受到这本书的价值和影响力。

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我必须坦承，我与《Handbook of Numerical Analysis》的交集，更像是遥远的仰望，而非近距离的探讨。我在一次偶然的机会，在一位资深研究员的书架上瞥见了它厚重的身躯，当时的我，还是一名对数值分析初出茅庐的学生。我对它感到一种莫名的敬畏，仿佛它承载着整个计算数学的精髓。虽然我没有机会逐页细读，甚至连目录都未曾仔细浏览，但它散发出的那种严谨、系统的气息，足以让我感受到其分量。我猜测，这本书中一定蕴含着解决各种复杂数值问题的详尽方法，从理论推导到实际应用，无所不包。它或许是为那些需要在科研一线直面挑战的工程师和科学家量身定做的，提供了一个坚实的理论基础和丰富的实践指导。虽然我目前还未能完全理解它的精髓，但它的存在本身，就如同一个巨大的知识宝库，在我的想象中熠熠生辉，激励着我不断前进，去探索更深层次的学术奥秘。

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我曾在一场学术会议的茶歇时间，无意间听到几位资深学者在热烈地讨论一本名为《Handbook of Numerical Analysis》的书。他们言谈中充满了对这本书的赞赏，仿佛它是一个里程碑式的著作。其中一位教授，语气激动地描述了书中某个关于迭代求解的章节，认为它极大地推动了他们研究领域的发展。他提到，这本书的编撰者们，汇聚了全球最顶尖的数值分析专家，每一章节都经过了严格的审阅和打磨，力求达到最高的水准。尽管我当时无法深入他们的讨论，但我能感受到他们对这本书的敬意，以及这本书在学术界所占据的崇高地位。从他们的对话中，我能推断出，这本书涵盖了数值分析的方方面面，为解决各种科学计算问题提供了坚实的理论基础和实用的技术指导，对于任何希望在这个领域做出贡献的人来说，它都是一本必不可少的参考书。

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这本书的光辉，在我粗略翻阅之后，便如同黑夜中的星辰般闪耀。我并非直接从书中汲取了理论的养分，而是通过我那在学术界颇有名气的导师，间接感受到了它深邃的智慧。他曾提及，这本书是理解数值分析领域最前沿挑战的基石，是那些渴望在复杂计算和模型中寻求解脱的学者的灯塔。我曾亲眼目睹他在解一道棘手的偏微分方程问题时，眼神中闪烁着对书中某个精妙算法的若有所思，那种沉浸于理论与实践交融的专注，让我对这本书产生了无限的遐想。虽然我尚未有幸深入研读其每一个公式和证明，但仅凭导师的赞誉和他在学术会议上对该书的引用，我便能断定，这是一部凝聚了无数智慧结晶的巨著，对于任何想要在计算科学领域有所建树的人来说，它都是一份不可或缺的宝贵财富。它所代表的，不仅仅是知识的堆叠，更是一种解决问题的思维方式和对数学精妙之处的深度洞察。

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