数学(高2下B版学生用书2007)/高中同步学习导与练 (平装)

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出版者:陕西人民教育出版社
作者:刘玲
出品人:
页数:146 页
译者:
出版时间:2006年09月
价格:14.0
装帧:平装
isbn号码:9787541969096
丛书系列:
图书标签:
  • 陪我走过高中
  • 数学
  • 高中数学
  • 同步学习
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  • 高二
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  • 2007
  • 学生用书
  • 教材辅导
  • 平装
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具体描述

《高等代数基础:理论与应用》 面向对象: 本书主要面向高等院校数学专业本科生,同时也适合对现代数学理论有浓厚兴趣的理工科其他专业学生以及研究生作为参考读物。它旨在系统、深入地介绍高等代数的核心概念、基本理论及其在不同领域的应用。 核心内容聚焦: 本书严格遵循数学学科的逻辑发展脉络,从集合论和数理逻辑的基础出发,逐步深入到抽象代数的核心领域。全书分为六大部分,结构严谨,层层递进。 第一部分:线性代数基础回顾与深化 虽然本书的重点在于抽象代数,但稳固的线性代数基础是理解后续内容的关键。本部分首先对向量空间、线性变换、矩阵理论(包括行列式、特征值与特征向量)进行系统的回顾和提升。重点将放在向量空间的结构定理、内积空间上的谱理论,以及 Jordan 标准型的深入讨论,为过渡到更抽象的模(Module)理论打下坚实的基础。我们强调向量空间是所有代数结构中最直观、应用最广的模型,理解其内部结构至关重要。 第二部分:群论——代数结构的骨架 群论是抽象代数中最基础也是最核心的部分。本章从群的定义、子群、陪集和正规子群开始,构建了群论的基本框架。随后,我们深入探讨同态与同构,引入同余关系在群结构中的体现——商群。 群的分类与结构: 详细分析有限群的结构,着重讲解 Sylow 定理及其在判断群的结构、判断群是否为可解群中的应用。 特殊群的深入研究: 阐述循环群、二面体群、对称群($S_n$)的性质。特别是对置换群的分解和交错群($A_n$)的性质进行了细致的分析,为伽罗瓦理论做铺垫。 作用与应用: 探讨群在集合上的作用(Action),并利用轨道-稳定子定理解决计数问题,展示群论在几何和组合学中的实际威力。 第三部分:环论——带有运算的代数结构 环是比群多了一种运算(乘法)的代数结构。本部分从环、子环、环同态开始,引入了更精细的内部结构概念。 理想与商环: 理想在环论中的地位等同于正规子群在群论中的地位,是构造商环的关键。我们详细区分了左、右理想与双边理想,并重点研究主理想、素理想和极大理想的性质。 整环与域: 定义整环和域,探讨积分域上的多项式环,着重讲解域的构造,如有理数域 $mathbb{Q}$、实数域 $mathbb{R}$ 和复数域 $mathbb{C}$ 的建立。 经典环结构: 深入讨论唯一因子分解整环(UFDs)、主理想整环(PIDs)和欧几里得整环(EDs)之间的包含关系和具体实例。例如,对 $mathbb{Z}[sqrt{-5}]$ 这样的非 UFD 环进行剖析,加深对唯一分解重要性的理解。 第四部分:域论与伽罗瓦理论的基石 域论是连接代数与方程求解的桥梁。本章是全书难度较高但理论价值极高的部分。 域的扩张: 定义域扩张、扩张次数,引入代数元和超越元。核心是构建扩域(如从 $mathbb{Q}$ 到 $mathbb{Q}(sqrt{2})$)。 最小多项式与代数闭包: 详细阐述最小多项式的唯一性和性质,并引出代数闭包的概念,证明每个域都存在代数闭包。 伽罗瓦理论入门: 介绍域的伽罗瓦扩张、伽罗瓦群的概念。重点阐述基本定理——伽罗瓦对应定理,该定理精妙地揭示了域扩张链与子群链之间的精确对应关系。 可解性问题: 利用伽罗瓦理论的工具,严谨地证明五次及以上代数方程没有一般的根式解(即不可解性),这是对经典数学难题的终极解答。 第五部分:模论——线性代数的广义化 模是线性代数中“向量空间”概念的推广,将标量域替换为环。这使得我们可以用统一的框架处理非域上的线性结构。 模的定义与基本性质: 介绍左模和右模,模同态,子模,商模的概念。 自由模与秩: 探讨自由模(Free Modules)的性质,特别是对于不同的环,自由模的基可能不唯一,引入模的秩的概念。 有限生成模: 重点分析在 PID 上的有限生成模的结构定理。此定理是抽象代数中最强大的结构定理之一,它表明任何有限生成模都可以分解为一系列“基本模”的直和。这极大地简化了对复杂模的研究。 第六部分:专题探索与进阶方向 本部分作为选读或深入研究部分,提供了代数在其他领域的接口。 有限域: 专门讨论有限域(Galois Fields)的存在性、唯一性及其结构(必是 $GF(p^n)$),并介绍它们在编码理论和密码学中的应用实例。 半简单环与艺术兰环: 简要介绍这些更一般的环结构,为后续学习环表示论打下初步基础。 教材特色与教学理念: 1. 理论深度与广度兼顾: 本书力求在保持理论严谨性的同时,不回避现代抽象代数的深刻概念,确保读者能够真正掌握代数思维。 2. 清晰的定义与详尽的证明: 所有核心定理均提供清晰、无遗漏的证明步骤。对于复杂的推理,辅以详细的中间步骤说明。 3. 丰富的例题与反例: 每一个新概念的引入,都伴随着具体、易懂的例子。同时,精心挑选的反例用于澄清概念的边界条件,例如,展示非交换环的复杂性,或非 UFD 环的存在。 4. 结构化习题体系: 习题分为基础巩固、计算能力训练和理论探究三类。基础题保证计算熟练度;中级题要求灵活运用定理;高级题则引导学生进行小规模的理论延伸和证明。 通过对本书的学习,读者将不仅掌握代数结构的基本工具箱,更重要的是,培养出使用公理化、抽象化方法进行数学研究的能力,为未来在纯数学、应用数学、理论物理或计算机科学等领域进行深入学习奠定坚实的代数基础。本书强调“为什么是这样”,而非仅仅“是什么”,旨在培养真正的代数洞察力。

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读后感

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用户评价

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值得一提的是,这本书在考点把握上也做得非常精准。作为一本同步学习的教材,它能够准确地抓住高中数学教学大纲和历年高考真题的重点和难点。在每一个章节的开头,都会有“本章考点梳理”,清晰地列出本章需要掌握的关键知识点和考试要求。在题目的选择上,也充分考虑了高考的趋势和热点。比如,在涉及到立体几何部分,书中就包含了大量关于空间向量、面面角、线面角等高考常考的题型,并且题目难度覆盖了基础、中等和拔高三个层次。通过这本书的学习,我感觉自己对高考数学的考查方向有了更清晰的认识,也更有针对性地进行复习,大大提高了备考效率,让我少走了很多弯路。

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另一个让我印象深刻的地方,是本书在例题和习题的难度梯度控制上做得非常到位。它不是那种一本厚厚的书,题目却都差不多,要么太简单,要么就超纲的教辅。它遵循了循序渐进的学习规律,从最基础的、能帮助你快速建立信心的小题开始,一步步引导你进入更复杂的综合题。对于很多初次接触某个新概念的学生来说,一个循序渐进的过程至关重要。我曾尝试过一些题目难度跳跃太大的教辅,结果往往是前面几道题还行,后面就完全跟不上,打击了学习积极性。而这本书,仿佛一位经验丰富的老师,知道在你能力范围内,如何一点点地挑战你,让你在不知不觉中提升。尤其是在解答题部分,它会先给出一些简单的应用题,然后慢慢过渡到需要多步推理、多知识点融合的综合题,让你在解题的过程中,能够不断地将新学的知识点与旧知识融会贯通,形成一个完整的知识网络。

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作为一个在高中数学学习道路上摸爬滚打多年的学生,我一直都在寻找能够真正帮助我理解概念、巩固知识,甚至在考场上也能给我带来信心的学习材料。接触过不少教辅书,有的过于浅显,有的又过于晦涩,真正能做到“刚刚好”的,少之又少。这本《数学(高2下B版学生用书2007)/高中同步学习导与练》就是其中一本让我颇有感触的。 最初拿到这本书,是被它“学生用书”和“同步学习导与练”的组合所吸引。我理解这意味着它不仅仅是知识点的堆砌,更是在课堂学习的基础上,提供了一个系统性的练习和巩固平台。打开书,首先映入眼帘的是清晰的目录,将高二下学期的数学知识点按照课本的章节顺序一一罗列,这对于我这种需要明确学习路径的学生来说,无疑是颗定心丸。翻阅内容,发现每个知识点都配有详尽的讲解,并非简单地照搬课本,而是用更加生活化、易于理解的语言进行阐述,甚至会引用一些我平时生活中可能遇到的例子来辅助理解,这一点我非常欣赏。比如,在讲解到某些函数性质时,作者并没有直接给出枯燥的定义,而是先通过一个场景的模拟,让我体会到这个性质在现实中的应用,然后再引出数学上的严谨表述。这种“由浅入深,由实到虚”的讲解方式,极大地降低了我对抽象数学概念的畏惧感,让我觉得数学并非高高在上,而是与我们的生活息息相关的。

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我一直认为,一个好的数学教辅,不仅仅是提供题目和答案,更应该在解题思路和方法上给予指导。这本书在这方面做得非常出色。对于很多压轴题或者竞赛题型的题目,它会提供多种解法,并且详细分析每种解法的优劣,以及适用场景。比如,在解答一道函数与方程综合题时,它可能既给出了代数法的解法,又指导了图像法的思路,甚至还提及了构造辅助函数的方法。这种多维度的解题指导,极大地开阔了我的解题视野,让我学会了从不同的角度去审视问题,寻找最佳的解题路径。我曾多次在解题过程中陷入困境,而翻阅本书的解题思路分析,总能给我带来新的启发,让我豁然开朗。这不仅仅是题目上的帮助,更是思维方式的提升。

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我发现这本书在处理一些容易混淆的概念时,做得格外细致。比如,在涉及到三角函数中的周期性问题时,很多学生容易把最小正周期和普通周期搞混,甚至会混淆正弦函数和余弦函数的图像。这本书在这方面就提供了非常清晰的对比和辨析。它会先详细讲解周期性的定义,然后通过列表对比的方式,列出正弦函数、余弦函数、正切函数的最小正周期,并配以精美的图像,让读者一目了然。更重要的是,它还会设计一些题目,专门用来考察学生对这部分内容的理解程度,比如要求找出某个三角函数的“所有周期”,或者在给定区间内求解满足条件的周期数。这种针对性的设计,直接击中了我们学生学习中的痛点。我曾多次因为这些细节概念的模糊而失分,而这本书的出现,让我觉得我可以告别这种“低级错误”了。它不仅仅是知识的传递,更是对学生思维方式的引导,让我学会如何去区分和辨析那些似是而非的数学概念。

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这本书的排版和设计也相当人性化,这一点在长时间的学习过程中显得尤为重要。纸张的质量很好,不会出现字迹晕染的情况,而且字体大小适中,不会过于拥挤,也不会显得过于稀疏,长时间阅读眼睛不易疲劳。每个知识点、例题、习题都划分清晰,章节之间的过渡自然流畅,页眉页脚的提示信息也非常实用,方便我快速定位到想要查找的内容。我曾经用过一些排版混乱、字体过小的教辅,每次翻阅都像是在“寻宝”,极大地影响了学习效率。而这本《数学(高2下B版学生用书2007)/高中同步学习导与练》在细节上的考究,让我能够更加专注于学习内容本身,而不是被外在形式所干扰,这无疑为我的学习体验加分不少。

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最后,我认为这本书最大的价值在于它能够真正地引导学生进行思考。它不仅仅是提供解题答案,更重要的是在解题过程中,引导学生去思考“为什么这么做”、“有没有其他方法”、“这个方法适用于哪些情况”等问题。书中很多题目都带有“思考”、“拓展”、“点拨”等小栏目,引导学生深入理解知识点背后的数学思想和方法。例如,在讲解到数列的递推关系时,它会引导学生思考如何将递推关系转化为通项公式,以及在转化过程中可能遇到的困难和解决方法。这种对学生思维能力的培养,是我在其他教辅书上较少看到的。通过这本书的学习,我感觉自己不再是被动地接受知识,而是开始主动地思考和探索,这对于我未来的数学学习乃至整个人生都将受益匪浅。

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在学习过程中,我经常会遇到一些“似曾相识”但又感觉掌握不牢的知识点,尤其是那些公式推导过程比较复杂,或者性质比较容易遗忘的。这本书在这方面也给了我很大的帮助。它在讲解完某个公式或定理后,并不会就此打住,而是会花一部分篇幅去详细解释这个公式是如何推导出来的,推导过程中运用了哪些关键的数学思想和方法。比如,在讲解到数列的求和公式时,它不仅给出了常用的求和公式,还会追溯到等差数列和等比数列的定义,以及它们是如何通过裂项相消、错位相减等方法推导出来的。这种“追根溯源”的讲解方式,对于我理解数学的内在逻辑非常有帮助,也让我更容易记住这些公式,并且在遇到变形题时,也能灵活运用。我不再只是机械地记忆公式,而是开始理解它们背后的数学原理,这让我的学习变得更加主动和高效。

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另外,这本书的语言风格也很值得称赞。它在保持数学严谨性的同时,又充满了人情味。作者并没有使用过于生硬、枯燥的学术术语,而是力求用更通俗易懂的语言来解释复杂的概念。在讲解某些容易出错的地方,作者还会用一些带有善意提醒的语气,仿佛是一位耐心的老师在耳边细语。我曾遇到过一些教辅,语言风格过于冷淡,让人感觉自己在与一本冰冷的工具书对话,而这本书则让我感觉像是在和一位朋友交流,它鼓励我,引导我,让我觉得学习数学是一件有趣的事情。比如,在讲解到一些容易让学生感到挫败的难题时,作者会鼓励大家不要灰心,要相信自己,坚持下去,这种积极的心理暗示,对于正在经历高考压力的我们来说,尤为宝贵。

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接下来,我更深入地研究了这本书的练习部分,这是我认为它最核心的价值所在。与市面上很多教辅书千篇一律的题目类型不同,这本《数学(高2下B版学生用书2007)/高中同步学习导与练》在题目设计上显得尤为用心。它严格遵循了“由易到难,由基础到综合”的原则,每一类题型都从最基础的填空题、选择题开始,逐步过渡到解答题。更让我惊喜的是,它并没有简单地重复练习,而是针对同一个知识点,设计了多种不同角度、不同侧重点的题目。比如,在学习导数应用的时候,书中不仅有求切线方程、单调性判断、极值最值等经典题型,还涉及到一些稍有难度的优化问题,甚至会引导我思考导数在图像分析中的作用。而且,对于一些相对复杂的题目,书后还会给出详细的解题步骤和思路分析,这对于我这种“思路卡壳”的学生来说,简直是雪中送炭。我尤其喜欢那些“变式训练”板块,它们能帮助我看到同一个知识点在不同题型中的灵活运用,从而加深我对知识的理解和掌握,而不是死记硬背公式。

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