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出版者:中国科学技术大学出版社

作者:俞诗秋

出品人:

页数:410

译者:

出版时间:2006-9

价格:16.00元

装帧:

isbn号码:9787312020032

丛书系列:

图书标签:

• 微积分
• 高等数学
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好的，这是一份关于一本名为《微积分同步辅导与习题精解》的图书的简介。 --- 《微积分同步辅导与习题精解》内容导读 本书旨在为高等院校理工科、经济管理类等专业学生的微积分学习提供系统而深入的辅助支持。作为一本紧密围绕主流微积分教材体系构建的辅导与习题解析用书，我们力求在理论概念的清晰阐述、计算技巧的精妙展示以及习题类型的全面覆盖上，实现深度与广度的平衡。全书严格遵循微积分课程的逻辑脉络，从基础概念的建立到高级应用的拓展，为学习者构建起一座坚实的知识阶梯。 第一部分：函数与极限——构建微积分的基石 本部分着重夯实微积分学习的起点。在函数与图像的章节中，我们不仅复习了中学阶段的代数基础知识，更深入探讨了函数的性质，如单调性、奇偶性、有界性等。我们特别关注了初等函数的深入分析，包括有理函数、指数函数、对数函数和三角函数及其反函数在特定区间内的行为特征。通过大量的图示和实例分析，帮助读者建立直观的函数图像感知能力。 进入极限的章节，这是理解连续性的核心。我们详细剖析了 $varepsilon - N$ 和 $varepsilon - delta$ 语言的严格定义，并辅以直观的几何解释，旨在克服初学者对极限概念抽象性的畏惧。在求极限的技巧上，我们系统梳理了利用洛必达法则、等价无穷小替换、定积分定义求极限等多种方法，并针对含有参数或涉及三角函数、指数函数组合的复杂极限类型，提供了详尽的解题步骤和技巧归纳。 连续性的讨论紧密承接极限。我们清晰区分了函数在点、区间上的连续性，并详细阐述了闭区间上连续函数的重要性质，如有界性、最值定理和介值定理。这些性质不仅是理论证明的基石，也是后续积分理论建立的逻辑前提。 第二部分：导数——变化的度量 导数是微积分的第一个核心工具，本部分聚焦于导数的概念、求法与应用。 导数的概念与几何意义被置于首位，通过切线斜率和瞬时变化率的物理模型引入，使读者理解导数并非孤立的数学符号，而是描述动态过程的有力工具。我们详细推导了基本初等函数的导数公式，并系统性地总结了求导法则，包括乘法法则、除法法则、链式法则。对于高阶导数的求解，特别是复合函数和参数方程的二阶导数，我们提供了详细的运算流程。 微分的概念作为导数的线性近似形式被引入，强调了微分在数值计算中的实用价值。 导数的应用是本部分内容最丰富、技巧性最强的领域。我们系统涵盖了： 1. 利用导数研究函数的性质：包括单调性、极值、拐点、凹凸性，以及如何利用这些信息精确描绘函数的完整图像，包括渐近线的判定。 2. 中值定理：罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理的证明和应用，特别是拉格朗日定理在不等式证明和误差分析中的体现。 3. 洛必达法则的深入应用：将不定式类型细分为 $frac{0}{0}, frac{infty}{infty}, 0 cdot infty, infty^0, 1^infty, 0^0$，并针对每种类型提供专门的转化策略。 4. 曲率与曲率半径：在几何应用中，我们详细介绍了曲率的计算方法及其在曲线形态分析中的作用。 第三部分：定积分——累积与面积 本部分将焦点从“变化率”转向“累积量”。 定积分的概念从黎曼和的定义出发，强调了积分是对有限个微小量累加的精确化过程。我们详细分析了可积性的充分条件，特别是连续函数和单调函数的可积性。 微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式）的引入，将导数与积分紧密联系起来，标志着微积分理论的成熟。我们强调了原函数（不定积分）的求解技巧，包括： 1. 直接积分法与凑微分法：适用于直接套用基本积分公式的场合。 2. 分部积分法：详细总结了适用场景（如 $P(x)e^{ax}, P(x)sin(ax), x^n ln x$ 型）和迭代技巧。 3. 三角代换与三角函数降幂公式：针对根式和三角函数形式的积分。 4. 欧拉-梯次法（或称万能代换）：应用于有理三角函数。 5. 有理函数积分：通过待定系数法进行部分分式分解的详细步骤和常见分解模式。 定积分的应用拓展到几何和物理领域：包括计算平面图形的面积、旋转体的体积、弧长、曲面的面积以及质心、转动惯量等。对于复杂边界曲线下的面积计算，我们提供了坐标系选择的指导原则。 第四部分：不定积分与微分方程的初步 本部分作为对积分技巧的深化和对动态系统描述的引入。 不定积分的系统性解题策略：我们针对不同形式的被积函数，提炼出“先观察，再尝试代换，最后考虑分部积分”的解题流程图。对几种特殊积分（如 $int sqrt{a^2 pm x^2} dx$ 和 $int sqrt{ax^2+bx+c} dx$）提供了标准的三角代换或配方法处理流程。 微分方程初步：我们引入了一阶常微分方程的概念，并系统讲解了解法： 1. 变量可分离方程的求解步骤。 2. 一阶线性微分方程（包括伯努利方程的降阶法）。 3. 全微分方程的判定与求解。 本节旨在为学生后续学习更复杂的微分方程打下坚实的基础。 第五部分：多元函数微积分基础 进入多维空间，本部分侧重于偏导数的概念和梯度向量场的初步应用。 空间直角坐标系下的函数：引入偏导数、全微分和方向导数的定义，重点在于理解偏导数是对单个变量求导的局部特性，而全微分是对函数在多点线性近似的整体描述。方向导数则将变化率的概念推广到任意方向。 极值理论：讨论二元函数的极值条件（一阶导数等于零），并详细阐述了二阶偏导数判别法（Hessian矩阵的应用），以区分极大值、极小值和鞍点。 多元函数的积分：我们引入了二重积分的概念，侧重于直角坐标系和极坐标系下的计算。如何根据积分区域的形状选择合适的坐标系，以及如何进行坐标变换（雅可比行列式的引入），是本章节的难点和重点。通过实例，展示了二重积分在计算曲面面积和质量分布上的应用。 --- 全书的编排特点在于：每节内容后都配有难度梯度合理、覆盖知识点全面的习题集。对于所有习题，特别是计算题和证明题，我们提供了详尽的解题思路、规范的推导过程以及最终答案。这种“理论讲解—例题演示—同步练习—精解剖析”的学习闭环，确保学习者能够及时检验和巩固所学知识，真正做到“学以致用，精益求精”。 本书适合作为全国高校微积分课程的同步辅导材料，特别适合需要强化计算能力和深入理解理论概念的自学者使用。

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书中的“多元函数微积分”章节，对我来说，曾经是学习的重灾区。原本以为复杂的概念会更加令人头疼，但《微积分同步辅导与习题精解》的讲解方式，却大大减轻了我的负担。作者在介绍偏导数、梯度、方向导数等概念时，依然延续了其生动形象的风格。比如，在讲解“梯度”时，作者将其比作“最陡峭的上坡方向”，并用一个生动的山坡模型来辅助说明。这让我一下子就理解了梯度的几何意义，而不仅仅是机械地去计算。书中的习题设计也非常有层次感，从最基本的计算偏导数，到求解二重积分、三重积分，再到应用题，每一步都踩得很扎实。我尤其喜欢书中对于“曲面积分”和“体积分”的讲解，作者通过大量的三维图形演示，帮助我建立起空间想象能力，从而更好地理解这些复杂的概念。

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总的来说，《微积分同步辅导与习题精解》不仅仅是一本习题集，更像是一位循循善诱的老师。它在知识点的梳理上，脉络清晰，重点突出；在习题的编排上，由浅入深，难度递进；在解题的讲解上，思路明确，步骤详尽。这本书最让我欣喜的是，它能够将微积分这样一门抽象的学科，变得生动有趣，并且富有应用性。我不再觉得微积分是枯燥的数字和公式的堆砌，而是能够感受到它背后所蕴含的逻辑美和解决问题的强大力量。这本书的语言风格，既有学术的严谨，又不失通俗易懂的亲切感。它就像是为你量身定制的微积分学习伙伴，能够在你遇到困难时给予及时的帮助，在你迷茫时指引正确的方向。我真心觉得，这本书能够帮助很多像我一样，在微积分学习过程中遇到瓶颈的同学，找到突破口，最终掌握这门重要的学科。

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当我翻到《微积分同步辅导与习题精解》中的“导数应用”章节时，简直是如获至宝。之前的学习中，导数对我来说，更多的是一种计算的技巧，但它究竟能用来做什么，我一直没有一个清晰的概念。这本书在这个部分，真正让我体会到了微积分的强大和实用性。书中列举了非常多贴近实际生活的应用案例，比如如何利用导数来优化生产成本，如何分析股票市场的变化趋势，甚至是如何计算和预测抛物线的运动轨迹。作者不仅仅是给出了问题和结论，而是详细地分析了问题背景，如何将实际问题转化为数学模型，如何运用导数进行分析，以及最终如何解释数学结果的实际意义。我最喜欢的一道题，是关于如何根据用户的使用习惯，来预测其未来一段时间内的APP使用时长，这道题的讲解非常细致，将导数在预测和建模方面的应用展现得淋漓尽致。

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这本书在“微分方程”这一章节的安排上，也充满了智慧。微分方程一直是微积分学习中一个比较综合和应用性强的部分，而《微积分同步辅导与习题精解》在这方面做得非常到位。作者在讲解一阶微分方程时，就引入了非常多贴近生活的例子，比如人口增长模型、放射性衰变模型等，让我直观地感受到微分方程在描述自然现象和社会现象中的重要作用。在求解方法上，书中提供了多种常见微分方程的解法，并且对每种方法的适用范围和解题步骤都进行了清晰的阐述。我特别喜欢书中对于“高阶线性微分方程”的讲解，作者通过系统性的步骤，将复杂的解题过程分解，并且在每一步都给出了清晰的解释。而且，书中还穿插了一些关于微分方程在物理学、工程学等领域应用的案例，让我看到了学习微分方程的实际价值。

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《微积分同步辅导与习题精解》在“积分应用”这一章节的编排上，同样令人赞叹。我一直觉得，积分的概念比导数更加抽象和难以理解，尤其是在求解体积、面积、功等应用问题时，常常感到力不从心。这本书巧妙地化解了我的困境。作者将复杂的积分应用问题，分解成一个个小的、易于理解的步骤。比如，在求解旋转体的体积时，书中不仅给出了公式，更重要的是，详细地解释了“薄片法”或“圆盘法”的原理，并通过大量的图示，一步步展示了如何将三维图形分解成无数个微小的薄片，然后累积它们的体积。我印象最深的是，书中还穿插了一些历史故事，比如阿基米德如何利用“分割法”来计算圆的面积，这种将知识与历史相结合的方式，让学习过程变得更加有趣和生动。而且，对于每个应用题，书中都提供了多种解题方法，并比较它们的优劣，这对于我这个初学者来说，受益匪浅。

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不得不说，《微积分同步辅导与习题精解》在习题的编排上，展现出了极高的专业性和匠心。我一直觉得，学习微积分，习题是检验和巩固知识最直接有效的方式。这本书的习题部分，不仅仅是简单地罗列题目，而是进行了非常细致的分类和难度梯度设计。从最基础的计算题，到需要逻辑推理的应用题，再到一些更具挑战性的综合题，循序渐进，让我在做题的过程中，能够一步步提升自己的解题能力。最让我印象深刻的是，对于每一道习题，书中都提供了详尽的解题思路和步骤，而且不止一种解法。有时候，一道题可能有多种不同的角度去理解和解决，而作者会把这些不同的思路都清晰地呈现出来，并分析各自的优缺点。这种“授人以鱼不如授人以渔”的教学方式，让我不仅学会了如何解这道题，更重要的是，学会了如何去思考问题，如何分析问题，如何拆解问题。我尤其喜欢其中对一些经典错题的剖析，作者会深入分析考生常见的误区，指出错误的根源，并给出正确的解题思路。这对于我来说，简直是“及时雨”，避免了我走弯路，也让我对知识有了更深刻的理解。

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这本书的语言风格，可以说是介于教科书的严谨和科普读物的生动之间，恰到好处地找到了一个平衡点。我之前读过一些微积分的辅导书，要么过于学术化，让人读起来昏昏欲睡，要么过于口语化，又显得不够专业。而《微积分同步辅导与习题精解》则恰恰避免了这些问题。作者在解释复杂的概念时，善于运用类比和比喻，将抽象的数学语言转化为更易于理解的形象描述。比如，在讲解“定积分”的概念时，作者将其比作“计算不规则图形的面积”，并配以精美的插图，让我一下子就抓住了核心要义。即使遇到一些比较难的定理，书中也提供了多种解释方式，力求从不同的角度让读者理解。我特别欣赏书中对于一些“为什么”的解答，不仅仅是给出了公式和结论，更重要的是解释了这些公式和结论是如何推导出来的，背后的逻辑是什么。这种深入的讲解，让我感觉自己不再是被动地接受知识，而是主动地去探索和理解。

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对于任何一本辅导书来说，解题思路的清晰和准确，都是至关重要的。《微积分同步辅导与习题精解》在这方面做得非常出色。我注意到，书中对于每一个习题的解答，都不仅仅是给出一个答案，而是提供了一个完整的解题过程，并且还会详细地解释每一步的逻辑依据。有时候，一道题可能涉及到好几个知识点，作者会将这些知识点清晰地串联起来，让我看到它们之间的内在联系。我特别喜欢的是，书中还会有一些“提示”和“注意”的部分，提醒我在解题过程中可能遇到的陷阱或者需要特别注意的地方。这让我在独立思考和做题的过程中，能够更有针对性，也能避免很多不必要的错误。我曾遇到一道关于洛必达法则的题目，起初我用了错误的方法去求解，后来对照书中的解答，才发现自己是在哪里出现了逻辑上的漏洞。书中对于这种常见错误的处理方式，做得非常到位，让我能够在错误中学习和成长。

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《微积分同步辅导与习题精解》在“级数”这一章节的处理上，可谓是点睛之笔。我之前学习级数时，常常被无穷级数的收敛性判定以及泰勒展开等概念搞得晕头转向。这本书的作者，非常巧妙地将这些抽象的理论，与实际应用联系起来。比如，在讲解“幂级数”时，书中就展示了如何利用幂级数来近似计算某些复杂的函数，以及如何在信号处理和数据压缩等领域发挥作用。我尤其欣赏的是，书中对于“收敛性判定”的讲解，提供了多种方法，并且详细地解释了每种方法的适用条件和局限性，还配有大量的例题进行巩固。让我印象深刻的是，书中还专门辟出了一部分，来讲解如何“构造”一个泰勒级数，以及如何利用泰勒级数来分析函数的局部性质。这种由浅入深，由易到难的讲解方式，让我对级数这一曾经让我头疼的部分，有了全新的认识。

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拿到这本《微积分同步辅导与习题精解》的时候，说实话，我的内心是有些许忐忑的。毕竟，微积分这门学科，在我过去的学习生涯中，一直像是一座难以逾越的高山，让我望而生畏。无数个夜晚，我都在试图理解那些抽象的符号和复杂的公式，但总感觉隔着一层纱，模糊不清。这次选择购买这本书，更多的是一种 desperate try，希望能在这个关键的学习阶段，找到一个能够真正引导我的良师益友。翻开书的第一页，首先映入眼帘的是清晰的排版和相对柔和的字体，这在一定程度上缓解了我之前对“厚重”和“枯燥”的担忧。作者在开篇就强调了微积分的核心思想，用了非常形象的比喻，比如将导数比作“瞬时变化的速度”，将积分比作“累积求和”，这些生动有趣的类比，立刻拉近了我与抽象概念之间的距离。我尤其喜欢其中对“极限”概念的阐述，不同于以往教材中过于理论化的定义，这本书通过大量的图示和生活中的实际案例，比如汽车速度的变化、水流的累积等，将“无限接近”这个抽象的概念具象化，让我第一次感受到了一种豁然开朗的明晰感。虽然还没深入到具体的习题部分，但仅仅是前导部分，就已经让我对微积分的学习产生了前所未有的信心。我隐隐感觉到，这本书或许能成为我攻克微积分这座高山的得力助手。

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