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出版者:华中科技大学出版社

作者:肖攸安

出品人:

页数:248

译者:

出版时间:2006-10

价格:15.00元

装帧:简裝本

isbn号码:9787560938585

丛书系列:

图书标签:

• 椭圆曲线密码学
• 密码学
• 信息安全
• 椭圆曲线
• 公钥密码系统
• 加密算法
• 数学密码学
• 安全通信
• 现代密码学
• ECC

图书简介：离散对数难题与计算复杂性理论的深度探索 本书旨在为研究者和高阶学习者提供一个深入、全面且具有前瞻性的视角，聚焦于现代密码学基石——离散对数问题（DLP）的理论基础、计算复杂性分析及其在信息安全领域的实际应用。本书不涉及椭圆曲线密码体制的具体构造、代数几何基础或点群操作，而是将目光聚焦于支撑其安全性的数论难题本身，并扩展至更广阔的计算复杂性理论框架下进行考察。 全书结构清晰，逻辑严谨，分为四个主要部分，共计二十余章。 --- 第一部分：数论基础与离散对数问题的严格定义（约占总篇幅 25%） 本部分为后续深入分析奠定坚实的数论基础，并对 DLP 及其变体进行精确的数学建模。 第一章：有限域与代数结构回顾 本章首先复习了模运算、欧拉定理、费马小定理在有限域 $mathbb{Z}_p^$ 上的应用。随后，对乘法群的结构进行了详细分析，特别是循环群的生成元性质、阶的概念以及子群的结构（Lagrange 定理的直接应用）。重点讨论了素数阶群与合数阶群在密码学应用中的差异，强调了素数阶群（或具有大素数因子阶的群）的必要性。 第二章：经典离散对数问题（DLP）的形式化 本章严格定义了标准 DLP：给定一个有限域 $F$，一个生成元 $g$，以及一个目标值 $h in F^$，求解整数 $x$ 使得 $g^x = h pmod{p}$。本书重点分析了在不同底层群结构下（如 $mathbb{Z}_p^$ 和特定的有限域 $mathbb{F}_{p^k}$）DLP 的数学等价性与差异。我们深入探讨了索引微积分（Index Calculus）方法对 $mathbb{Z}_p^$ 的攻击潜力，并将其作为后续对比的基准。 第三章：关联的数论难题：因子分解与椭圆曲线离散对数（ECDL P）的抽象对比 为了不局限于椭圆曲线的细节，本章将 DLP 与大整数因子分解问题（IFP）进行抽象层面的对比，探讨它们在“硬度”上的关系。虽然不深入讨论椭圆曲线的算术，但会明确指出 ECDLP 在计算上被认为比 $mathbb{Z}_p^$ 上的 DLP 更难的理论原因，即缺乏普适性的、类似于索引微积分的亚指数时间算法。这一对比旨在凸显 DLP 作为核心难题的地位，而非讨论其具体实现载体。 --- 第二部分：离散对数问题的经典与现代求解算法（约占总篇幅 35%） 本部分集中探讨解决 DLP 的所有主要算法范式，从基于“搜索”的暴力方法到复杂的“代数”方法。 第四章：遍历搜索算法 详述了最基本的求解方法：暴力搜索（Brute Force）和 Babystep-Giantstep (BSGS) 算法。BSGS 算法的复杂度分析是本章的重点，精确推导了其 $O(sqrt{N})$ 的时间复杂度，并讨论了空间换时间的优化策略。此外，还包含了 Pollard's Rho 算法，从随机游走的角度解释了其优于 BSGS 的空间优势，并分析了其期望时间复杂度。 第五章：索引微积分（Index Calculus）方法详解 本章是解决 $mathbb{Z}_p^$ 上 DLP 的核心。详细解释了索引微积分方法的三个阶段：基（Factor Base）的选择、方程的收集与线性代数求解。重点分析了基的大小对算法整体复杂度（如亚指数时间 $L_p[1/3, c]$）的影响，并讨论了如何优化矩阵求解的效率。本章深入讨论了算法中涉及到的小素数筛选和矩阵稀疏性的优化技术。 第六章：有限域 $mathbb{F}_{p^k}$ 上的求解技术 扩展到一般有限域的情况。本章介绍了 Pohlig-Hellman 算法，阐明了当群的阶 $N$ 具有小素数因子时，DLP 如何被分解为解决小阶群上的 DLP 问题，以及其对 $N$ 的最大素因子 $P_{max}$ 的依赖性：复杂度为 $O(log N + sqrt{P_{max}})$。此外，还初步探讨了针对特定有限域代数结构（如高斯整数环或特定素数域上的嵌入）可能存在的特定加速算法，但避免提及任何特定于椭圆曲线的域结构。 --- 第三部分：计算复杂性理论视角下的 DLP 硬度分析（约占总篇幅 25%） 本部分将 DLP 置于计算复杂性理论的宏大背景下，探讨其被认为是困难的深层原因。 第七章：P、NP 与计算难题的分类 回顾了 P 类、NP 类、随机多项式时间（ZPP）和 Probabilistic Polynomial Time (BPP) 的定义。将 DLP 归类为“相信是困难的问题”，并讨论了缺乏多项式时间算法（P）的证据。重点讨论了 NP-Intermediate 问题的概念，尽管 DLP 目前未被严格证明属于 NP-Intermediate，但其结构暗示了其难度可能介于 P 和 NP-Complete 之间。 第八章：随机化与不可证明的硬度 深入探讨了密码学所依赖的随机预言模型（Random Oracle Model）和标准模型下的安全证明差异。分析了为什么算法的平均情况（Average Case）难度对于密码学至关重要，而 DLP 被认为是平均情况困难的典型代表。讨论了基于“单向函数”的构造理论，并将 DLP 视为一种强大的单向陷门函数（尽管不是陷门函数本身，但其反演困难）。 第九章：量子计算的威胁：Shor 算法的理论冲击 本章专注于量子计算对 DLP 的理论影响。详细阐述了 Shor 算法如何利用量子傅里叶变换（QFT）在多项式时间内解决 DLP 和 IFP。分析了 Shor 算法的复杂度 $O((log N)^3)$，并强调了这是对经典计算复杂性理论的一个根本性挑战。本章仅讨论算法原理和对安全性的颠覆性影响，不涉及任何量子硬件实现细节。 --- 第四部分：密码学应用中的安全需求与度量（约占总篇幅 15%） 本部分从应用需求反推对 DLP 困难度的具体指标要求。 第十章：安全参数的选取与密钥长度 讨论了如何根据当前已知的最快算法（包括亚指数级的经典算法和潜在的量子算法）来反推所需的密钥长度（模数 $N$ 的比特数）。详细分析了例如 128 位、256 位安全级别的定义，以及它们对应于多大的模数 $p$ 或群阶 $N$。强调了密钥长度并非线性的安全增长，而是与最佳攻击算法的复杂度相关。 第十一章：差分攻击与安全性分析的局限性 探讨了针对特定群结构（如素数阶群）进行侧信道攻击和差分分析的理论基础，虽然本书聚焦于数学难题，但需要理解实际实现中的弱点。本章主要关注假设的泄露，即攻击者获得部分计算信息或计算过程中的错误信息时，DLP 求解难度如何变化，从而指导实际系统设计中对计算过程的保护需求。 结语：面向未来的计算难题 总结了 DLP 在信息安全领域的核心地位，并展望了寻找比 DLP 及其变体更困难的数学难题的研究方向，以应对量子计算的威胁。 --- 目标读者： 本书适合密码学研究生、数论研究人员、以及希望从底层原理理解公钥基础设施（PKI）数学基础的资深软件工程师和安全架构师。阅读本书需要扎实的抽象代数和数论基础。

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拿到《椭圆曲线密码体系研究》这本书，我最先被吸引的是其标题所传达的专业性和深度。阅读过程中，我逐渐发现这本书远不止于表面上的专业，更在于它所呈现出的严谨逻辑和全面性。作者从密码学的发展历程讲起，简要回顾了RSA等公钥密码体制的原理和局限性，为引入椭圆曲线密码学奠定了历史和技术背景。他清晰地阐述了为何需要一种新的、更高效的公钥密码体制，并巧妙地引出了椭圆曲线的数学基础。书中对有限域上的椭圆曲线群的结构进行了详尽的描述，特别是对离散对数问题的困难性进行了深入的探讨，这是椭圆曲线密码学安全性的核心所在。作者通过数学证明的方式，说明了在椭圆曲线上求解离散对数问题的难度，并将其与有限域上的离散对数问题进行比较，突出了椭圆曲线密码学在相同安全级别下密钥长度更短的优势。这对于我理解其在实际应用中的重要性至关重要。此外，书中还详细介绍了基于椭圆曲线的几种经典密码协议，例如密钥交换协议（ECDH）和数字签名协议（ECDSA）。他对这些协议的数学原理、安全性和具体实现细节都做了深入的剖析，让我能够真正理解这些协议是如何工作的，以及它们在现代通信安全中的关键作用。本书的结构安排合理，过渡自然，使得整个阅读过程既充满了挑战，又不至于令人望而却步。作者的写作风格，严谨而不失灵动，总能在我感到困惑时，提供恰到好处的解释或类比，让我受益匪浅。

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《椭圆曲线密码体系研究》这本书，是一次让我印象深刻的学术之旅。作者在开篇便为我描绘了密码学发展的宏大图景，从历史的演变到现代公钥密码体系的出现，他都做了细致的梳理，这为我理解椭圆曲线密码学的出现和重要性提供了良好的背景。令我特别赞赏的是，书中对有限域上椭圆曲线的数学基础进行了深入浅出的讲解。作者并没有简单地给出公式，而是通过大量的图示和直观的解释，让我能够理解点加法运算的几何意义，以及如何在有限域上执行这些运算。他对“群”的概念在椭圆曲线上的应用，以及基点和阶的选取，都进行了详尽的阐述。我尤其对书中关于“椭圆曲线离散对数问题”的困难性分析印象深刻。作者通过严谨的数学证明，说明了在椭圆曲线上求解离散对数问题的计算复杂性，并以此为基础，解释了椭圆曲线密码学为何能在更短的密钥长度下提供与传统公钥密码学相当甚至更高的安全性。书中对几种主流的椭圆曲线密码学协议，例如ECDH（椭圆曲线Diffie-Hellman）密钥交换协议和ECDSA（椭圆曲线数字签名算法）的介绍，更是让我学到了很多。作者对这些协议的数学原理、安全模型和具体实现细节都做了详尽的剖析，让我能够真正理解它们是如何保证通信的机密性和完整性的。这本书不仅让我掌握了椭圆曲线密码学的核心理论，更让我对其在实际应用中的重要性有了深刻的认识。

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当我开始阅读《椭圆曲线密码体系研究》这本书时，我原本预设这是一本晦涩难懂的学术专著，但令我意外的是，作者以一种极其巧妙和富有条理的方式，将复杂的数学理论转化为易于理解的概念。书的开头，作者并没有直接进入椭圆曲线的讨论，而是首先回顾了密码学的发展史，并阐述了公钥密码体制的出现及其重要性，这为引入椭圆曲线密码学奠定了坚实的基础。我对书中关于有限域上的椭圆曲线群的构造部分印象尤为深刻。作者不仅仅给出了抽象的数学定义，更通过大量的图示，形象地展示了不同参数下椭圆曲线的形态，以及点加法运算的几何意义。这使得原本抽象的代数概念变得具体可感。我特别欣赏作者对“椭圆曲线离散对数问题”的详细阐述。他通过数学证明，有力地说明了在椭圆曲线上求解离散对数问题的计算难度，这是椭圆曲线密码学安全性的核心。他也清晰地对比了与有限域离散对数问题的难度，解释了为何椭圆曲线密码学能够在更短的密钥长度下提供同等级别的安全性。书中对几种经典的椭圆曲线密码学协议，如ECDH（椭圆曲线Diffie-Hellman）密钥交换协议和ECDSA（椭圆曲线数字签名算法）的介绍，更是让我大开眼界。作者对这些协议的数学原理、安全模型和具体实现细节都做了详尽的剖析，让我能够清晰地理解它们的工作机制以及在现代通信安全中的重要作用。这本书不仅提供了扎实的理论知识，更蕴含着对实际应用和未来发展的思考，让我对密码学这一领域有了更深刻的认识和更大的热情。

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拿到《椭圆曲线密码体系研究》这本书，我抱着学习新知识的态度，却意外地获得了一次思维的洗礼。作者在开篇部分，并没有直接进入椭圆曲线的数学理论，而是先为我构建了一个密码学发展的宏大叙事。从历史上早期的加密方法，到公钥密码体制的革命性突破，再到为什么我们需要比RSA更高效的加密算法，作者层层递进，逻辑清晰，让我对密码学的发展脉络有了更深刻的理解，也为接下来的椭圆曲线密码学学习打下了坚实的基础。令我印象最为深刻的是，书中对于有限域上椭圆曲线数学性质的讲解。作者不仅仅是简单地给出椭圆曲线的方程，更是通过大量的图示和生动的比喻，让我能够直观地理解点加法运算的几何意义，以及如何在有限域上执行这些运算。我对“群”的概念如何巧妙地应用于椭圆曲线，以及“基点”和“阶”的重要性，都进行了细致的学习。书中对“椭圆曲线离散对数问题”的探讨，更是让我认识到其安全性的来源。作者用严谨的数学语言，阐述了在椭圆曲线上求解离散对数问题的计算难度，并清晰地对比了与传统公钥密码学中离散对数问题的难度差异，解释了为何椭圆曲线密码学能够以更短的密钥长度实现更高的安全性。书中对ECDH（椭圆曲线Diffie-Hellman）密钥交换协议和ECDSA（椭圆曲线数字签名算法）的详细介绍，让我对这些在实际生活中无处不在的安全协议有了更深入的了解。作者对这些协议的数学原理、安全模型和实现细节都做了详尽的剖析，让我真正理解了它们是如何工作的。这本书的价值，不仅在于其提供了坚实的理论知识，更在于它激发了我对信息安全领域更深入探索的兴趣。

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《椭圆曲线密码体系研究》这本书，给我带来了前所未有的学习体验。作者在开篇就以一种极其引人入胜的方式，为我勾勒出了密码学发展的壮丽画卷。他从历史上那些古老而有趣的加密方法谈起，然后顺理成章地过渡到现代公钥密码体制的出现，并清晰地阐述了RSA等传统加密算法的原理和局限性，这为我理解为何需要更先进的加密技术——椭圆曲线密码学，提供了充分的铺垫。我尤其欣赏作者在数学理论讲解上的严谨与细致。在介绍有限域上椭圆曲线的数学基础时，他并没有简单地罗列公式，而是通过大量的图示和形象的类比，将抽象的代数运算过程具象化，让我能够直观地理解点加法运算的几何含义，以及如何在有限域中执行这些运算。我对“群”的概念如何应用于椭圆曲线，以及“基点”和“阶”在密码学中的重要性，都进行了深入的学习。书中对“椭圆曲线离散对数问题”的深入探讨，更是让我茅塞顿开。作者通过严谨的数学证明，清晰地说明了在椭圆曲线上求解离散对数问题的计算难度，并将其与传统公钥密码学中离散对数问题的难度进行了对比，从而有力地解释了椭圆曲线密码学为何能在更短的密钥长度下提供同等级别甚至更高的安全性。书中对ECDH（椭圆曲线Diffie-Hellman）密钥交换协议和ECDSA（椭圆曲线数字签名算法）的详细介绍，让我对这些在现代网络安全中至关重要的协议有了更深刻的认识。作者对这些协议的数学原理、安全模型和具体实现细节都做了详尽的剖析，让我能够真正理解它们是如何工作的，以及它们如何保障我们的数字通信安全。这本书不仅提供了扎实的理论知识，更重要的是，它激发了我对信息安全领域更深层次的求知欲。

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坦白讲，我一直对密码学抱有一种敬畏感，总觉得那是只有数学天才才能驾驭的领域。然而，《椭圆曲线密码体系研究》这本书的出现，彻底打破了我的这种刻板印象。作者以极其耐心且循序渐进的方式，将我这个门外汉逐步引入了椭圆曲线密码学的世界。开篇的章节，作者并没有直接深入到密码学的具体应用，而是花费了大量篇幅来回顾和梳理读者可能需要的前置知识，比如群论、域理论以及基本的数论概念。这种“扫清障碍”的做法，对于像我这样背景相对薄弱的读者来说，简直是雪中送炭。他用通俗易懂的语言解释了群的性质，以及如何在有限域上定义运算，这为理解后续的椭圆曲线点运算打下了坚实的基础。尤其是在介绍有限域上的椭圆曲线方程时，作者通过大量的图示和具体例子，将抽象的数学表达式具象化，让我能够直观地理解曲线的形态以及点集结构。更重要的是，作者并没有回避算法的细节，他详细讲解了椭圆曲线上的点加法和点倍加算法，并且分析了这些算法的效率和安全性。我印象尤为深刻的是，书中对于如何选择椭圆曲线参数，例如基点、曲线方程系数等，进行了深入的讨论，并解释了这些参数的选择对整体安全性的影响。这种对细节的关注，以及对算法实现可行性的考量，都体现了作者深厚的理论功底和实践经验。通过这本书，我不仅学习到了椭圆曲线密码学的原理，更重要的是，我感受到了作者在知识传递上的匠心独运，他让我相信，只要有正确的引导，任何人都能够理解并掌握这些看似高深的知识。

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在翻阅《椭圆曲线密码体系研究》这本书的过程中，我深刻体会到了数学的魅力以及它在现代科技中的核心地位。作者在介绍椭圆曲线之前，并没有直接跳入主题，而是花了相当大的篇幅来回顾和讲解读者可能需要的数学基础知识，包括群论、环论和域论。这种细致的铺垫，对于像我这样数学背景并非特别扎实的读者来说，无疑是一份珍贵的礼物。作者对有限域上群的结构，以及椭圆曲线方程的构造，讲解得尤为透彻。我特别欣赏他对点加法运算几何解释的清晰度，以及他如何通过代数方法推导点倍加算法的整个过程。这使得原本看似复杂的运算，变得易于理解和掌握。书中对椭圆曲线离散对数问题的难度分析，是本书的另一个亮点。作者通过引入各种数学定理和证明，有力地证明了在椭圆曲线上求解离散对数问题的困难性，从而解释了为何椭圆曲线密码学能够以更短的密钥长度提供同等级别的安全性。我对书中介绍的几种主流的椭圆曲线密码学标准，例如NIST曲线和Brainpool曲线，以及对它们进行参数选择和安全评估的原则，都感到非常启发。这让我能够理解，在实际应用中，如何选择一个安全、高效且经过广泛验证的椭圆曲线参数集。此外，书中对一些具体的密码学应用，比如区块链中的数字签名，也进行了深入的探讨，这让我看到了椭圆曲线密码学在新兴技术领域的广阔前景。这本书不仅传授了知识，更培养了我对数学和密码学研究的兴趣。

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这本《椭圆曲线密码体系研究》确实让我大开眼界，原本以为密码学是个晦涩难懂的领域，但作者用一种非常生动且富有条理的方式，将那些抽象的概念一点点展现在我面前。首先，最令我印象深刻的是，作者并没有一开始就抛出复杂的数学公式，而是从椭圆曲线在几何学上的基本定义和性质入手，仿佛带领我走进了一个精美的几何世界。那些在平面上绘制出的光滑曲线，在作者的笔下不再是冰冷的数学符号，而是蕴含着深刻数学智慧的艺术品。他详细解释了群的概念如何巧妙地应用于椭圆曲线上，以及点加法运算的几何意义，这一过程的讲解细致入微，即使是初次接触这些概念的读者，也能凭借作者的引导，逐步理解其内在逻辑。更让我惊喜的是，作者并没有止步于理论的介绍，而是深入探讨了有限域上的椭圆曲线，这才是椭圆曲线密码学得以实现的关键。他对伽罗瓦域的构造，以及在这些域上点运算的算法实现，都做了非常详尽的阐述，让我得以窥见计算机如何能够真正地执行这些复杂的数学操作。书中对不同类型的有限域，例如二元域和素数域，以及它们在椭圆曲线密码学中的优劣势分析，也为我提供了一个更全面的视角，帮助我理解为何选择特定的有限域构造。总而言之，这本书不仅仅是关于密码学的，更是一次关于数学之美的探索之旅，它让我重新认识到数学的强大与优雅，以及它如何在现实世界中发挥着至关重要的作用。

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《椭圆曲线密码体系研究》这本书，是一次令人心潮澎湃的知识探索之旅。我原以为这是一本纯粹的理论书籍，没想到它所包含的实用性和前瞻性也同样令人印象深刻。作者在开篇便为读者勾勒出了密码学发展的大致图景，并精准地指出了传统密码学在某些方面存在的瓶颈，这为引入更先进的椭圆曲线密码学提供了强有力的论证。书中对椭圆曲线在有限域上的定义和性质的阐述，堪称是细致入微。作者不仅仅给出了数学公式，更重要的是，他通过大量图示，直观地展示了不同参数下椭圆曲线的形态，以及点加法运算在几何上的含义，这对于理解抽象的代数运算大有裨益。我对书中关于“阶”的概念以及生成元的选择部分尤为着迷。作者清晰地解释了如何选择一个合适的生成元，以及生成元的阶对密码学应用的重要性。他甚至还探讨了不同类型的椭圆曲线，例如Weierstrass方程、Montgomery曲线等，并分析了它们各自的优劣势，这让我对椭圆曲线的多样性和适用性有了更深的认识。更让我惊喜的是，书中还涉及到了一些实际的密码学应用场景，例如数字签名、密钥封装等，并且对这些应用的安全性和效率进行了详细的分析。作者对算法实现中的一些关键技术，如点压缩、高效的点倍加算法等，也做了介绍，这使得这本书既有理论深度，又不乏实践指导意义。它让我明白，椭圆曲线密码学并非空中楼阁，而是构建在坚实的数学基础之上，并且已经在现实世界中发挥着不可替代的作用。

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《椭圆曲线密码体系研究》这本书，就像一位技艺精湛的向导，带领我穿梭于抽象的数学概念和精密的密码学算法之间。作者在开篇就为我描绘了密码学的发展脉络，从古老的凯撒密码到现代的公钥体系，再到椭圆曲线密码学的崛起，他都做了简明扼要的梳理，这让我对密码学有了整体性的认识，并为深入理解椭圆曲线密码学打下了良好的基础。书中对有限域上椭圆曲线的定义和性质的阐述，堪称是教材级别的严谨。作者不仅仅列出了椭圆曲线方程，更重要的是，他通过详细的几何解释和代数推导，清晰地展示了点加法运算的含义，以及如何通过点倍加算法高效地执行多次点加。我尤其对书中关于“大整数整数分解”和“有限域离散对数”问题的难度比较印象深刻。作者用清晰的数学语言，说明了在相同的安全强度下，椭圆曲线密码学所需的密钥长度远小于RSA等传统公钥密码体制，这便是其核心优势所在。书中还对几种重要的椭圆曲线密码学协议，如ECDH密钥交换协议和ECDSA数字签名协议，进行了深入的分析。他对这些协议的数学原理、安全模型和具体实现细节，都做了非常详尽的介绍，让我能够理解它们在实际应用中的工作方式和重要性。此外，作者还探讨了椭圆曲线密码学在各种应用场景中的挑战和发展趋势，比如抗量子计算攻击的椭圆曲线密码学，这让我对这个领域的未来充满了期待。这本书的深度和广度，都让我受益匪浅，它不仅提升了我的专业知识，更激发了我对信息安全领域深入研究的兴趣。

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