Matrix Derivatives (Lecture Notes in Statistics Series, Vol 2) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Marcel Dekker Inc

作者:Gerald Stanley Rogers

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1980-11

价格:USD 65.00

装帧:Paperback

isbn号码:9780824772291

丛书系列:

图书标签:

• Matrix Calculus
• Derivative Matrices
• Linear Algebra
• Statistical Inference
• Mathematical Statistics
• Multivariate Analysis
• Optimization
• Probability
• Engineering Mathematics
• Applied Mathematics

矩阵微积分：从基础到前沿（示例） 本书旨在为读者提供一个全面而深入的矩阵微积分学习路径，涵盖从基础概念到现代应用的前沿技术。本书结构严谨，内容充实，适合作为高年级本科生、研究生以及需要深入理解矩阵微积分在统计学、优化理论、机器学习和计量经济学等领域应用的科研人员的参考教材。 --- 第一部分：基础回顾与矩阵代数核心概念 本部分旨在巩固读者对线性代数和多元微积分的理解，为后续的矩阵微积分学习打下坚实的基础。我们不会仅仅停留在公式的堆砌，而是强调概念之间的内在联系和几何直观。 第一章：线性代数基础的再审视 向量空间与子空间： 详细回顾向量空间的定义、基、维数，以及线性无关性。重点讨论欧几里得空间 $mathbb{R}^n$ 上的线性变换，并引入更抽象的向量空间概念，为处理无限维空间（如函数空间）做铺垫。 矩阵的分解与结构： 深入探讨矩阵的秩、零空间、列空间和行空间。着重讲解奇异值分解 (SVD)，阐述其在数据压缩、降维和数值稳定性中的核心地位。SVD 不仅是计算工具，更是理解矩阵几何特性的关键。 特征值问题： 重新审视特征值和特征向量的定义，探讨对称矩阵和一般方阵的对角化。引入舒尔分解 (Schur Decomposition)，强调其在数值计算中的重要性，尤其是在处理非对称矩阵时保证数值稳定性的优势。 第二章：多元微积分：标量函数与向量值函数 偏导数与方向导数： 系统复习偏导数的定义，并引入方向导数的概念，解释其在多维空间中函数变化率的几何意义。 梯度、Hessian 矩阵与高阶导数： 详细定义和计算梯度向量和 Hessian 矩阵。Hessian 矩阵作为二阶信息的载体，其正定性、半正定性与函数极值的关系将贯穿全书。 链式法则的扩展： 针对复合函数（包括向量值函数到标量函数的映射）的链式法则进行详尽的推导和应用示例，这是后续矩阵函数求导的关键工具。 --- 第二部分：矩阵函数的微积分——核心理论构建 本部分是全书的基石，专注于定义和推导矩阵的微分规则，这是理解矩阵微积分的本质所在。 第三章：标量函数对矩阵的微分 定义与符号约定： 严格定义矩阵微分的符号体系（例如，Numerator Layout vs. Denominator Layout），并明确本书采纳的标准（通常采用 Denominator Layout 以保持与多数统计文献的一致性）。 基本求导法则： 推导矩阵的迹 (Trace)、行列式 (Determinant) 以及逆矩阵的求导公式。特别关注 $frac{partial ext{tr}(AXB)}{partial X}$ 和 $frac{partial det(A(X))}{partial X}$ 的推导过程，使用伴随矩阵和微分算子法进行验证。 二次型函数微分： 详细分析二次型函数 $f(mathbf{X}) = mathbf{a}^T mathbf{X} mathbf{b}$ 和 $g(mathbf{X}) = mathbf{X}^T mathbf{A} mathbf{X}$ 的导数。重点讨论当 $mathbf{X}$ 是对称矩阵时（即约束条件下的微分），如何利用雅可比矩阵和拉格朗日乘数法处理约束。 第四章：向量值函数与矩阵值函数的微分 Jacobian 矩阵的构建： 针对向量值函数 $mathbf{y} = mathbf{f}(mathbf{X})$，系统介绍如何构建其 Jacobian 矩阵，并讨论如何将其展开成具有特定维度的四阶张量（在某些高阶分析中十分重要）。 矩阵函数的复合微分： 深入探讨更复杂的函数结构，例如 $h(mathbf{X}) = g(mathbf{A}(mathbf{X}))$, 其中 $mathbf{A}(mathbf{X})$ 是矩阵值函数。这里将引入高阶导数和张量运算的初步概念。 迹技巧的深入应用： 展示如何利用迹的循环不变性简化复杂的微分计算，例如证明 $frac{partial ext{tr}(mathbf{A} mathbf{X}^{-1} mathbf{B})}{partial mathbf{X}}$ 的结果，并将其应用于检验其他导数公式的正确性。 --- 第三部分：特殊矩阵函数与高级主题 本部分将讨论在统计建模和优化中频繁出现的特殊矩阵函数，并引入更先进的微分工具。 第五章：指数与对数矩阵函数的微积分 矩阵指数 $e^{mathbf{A}}$ 的定义与性质： 介绍矩阵指数的幂级数定义，并探讨其在微分方程中的应用。 矩阵指数的微分： 推导 $frac{partial e^{mathbf{A}(mathbf{X})}}{partial mathbf{X}}$ 的表达式。这通常需要借助矩阵对数或利用导数的定义，并讨论如何利用 $ ext{Sylvester}$ 方程求解相关问题。 矩阵对数 $log(mathbf{A})$： 探讨矩阵对数的可微性条件（要求矩阵不能有非正实特征值）。推导其微分 $frac{partial log(mathbf{A}(mathbf{X}))}{partial mathbf{X}}$，并将其应用于主成分分析（PCA）的某些变体中。 第六章：约束条件下的优化与微分 拉格朗日乘数法在矩阵中的扩展： 详细讨论当变量 $mathbf{X}$ 受到线性约束（如 $mathbf{C}^T mathbf{X} = mathbf{D}$）或非线性约束（如 $mathbf{X} mathbf{X}^T = mathbf{I}$，即正交约束）时的优化问题。 关于正交矩阵的微分： 重点分析 $mathbf{Q} in mathbb{R}^{n imes n}$ 满足 $mathbf{Q}^T mathbf{Q} = mathbf{I}$ 时的微分性质。利用 $delta(mathbf{Q}^T mathbf{Q}) = 0$ 这一基本约束，推导出在特定子空间上的微分形式，这在因子分析和稀疏表示中至关重要。 KKT 条件与矩阵方程： 探讨利用矩阵微积分推导 Karush-Kuhn-Tucker (KKT) 条件，并将其转化为一组可解的矩阵方程组。 --- 第四部分：应用：统计模型与优化算法 本部分将理论知识付诸实践，展示矩阵微积分如何在实际的科学计算中发挥作用。 第七章：最大似然估计与信息矩阵 多元正态分布的对数似然函数： 针对 $mathbf{Y} sim N_p(oldsymbol{mu}(oldsymbol{ heta}), mathbf{Sigma}(oldsymbol{ heta}))$ 形式，使用矩阵微分计算得分函数 (Score Function)，即对数似然函数对参数 $oldsymbol{ heta}$ 的一阶导数。 费希尔信息矩阵 (Fisher Information Matrix)： 利用二阶导数（Hessian）推导费希尔信息矩阵的元素。重点分析当模型参数涉及到协方差矩阵的元素时（例如，在结构方程模型中），如何利用迹技巧高效计算信息矩阵的对角线元素。 检验统计量的导数： 讨论如何通过计算似然比检验统计量对参数的导数，来分析检验效能和渐近性质。 第八章：优化算法的迭代与收敛分析 牛顿法与高斯-牛顿法： 阐述这些迭代算法的本质是求解一个线性系统，其系数矩阵依赖于 Hessian 或其近似。使用矩阵微积分的语言精确表达牛顿步长的计算。 梯度下降法的稳定性分析： 讨论学习率（步长）的选择如何影响优化过程的收敛性，这依赖于函数 Hessian 矩阵的特征值分布。 EM 算法的矩阵视角： 阐述期望最大化 (EM) 算法中 M 步骤的优化问题，特别是在涉及矩阵代数形式的参数估计（如在混合模型中）时，矩阵微分如何帮助找到解析解或高效的近似解。 --- 附录 A：张量代数入门 鉴于现代统计学和机器学习中高维数据的常见性，本附录简要介绍张量（多维数组）的概念、Kronecker 积、Hadamard 积以及张量迹，作为向更高阶微积分过渡的桥梁。 附录 B：常用矩阵微分公式速查表 提供一个详尽的公式参考表，涵盖本书中推导出的重要微分结果，方便读者在实际应用中快速查阅和验证。

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作为一名信号处理领域的从业者，矩阵微积分是我工作中不可或缺的工具。在接触《Matrix Derivatives》之前，我对这一领域的理解主要停留在应用的层面，很多公式的推导过程模糊不清，感觉像是“黑箱操作”。这本书的到来，彻底改变了我的认知。作者在书中构建了一个极其严谨的数学框架，从向量的导数开始，逐步过渡到矩阵的导数，并详细阐述了各种常见的矩阵函数求导法则。让我印象深刻的是，书中并没有直接给出大量的公式，而是通过逻辑推导，让读者能够理解这些公式的来源和意义。例如，在讲解如何计算一个矩阵的迹（trace）关于矩阵的导数时，作者并没有直接给出结果，而是通过一系列的置换和代数技巧，一步步引导读者得出结论。这种“授人以渔”的教学方式，让我受益匪浅。更重要的是，书中不仅关注理论的严谨性，还非常注重理论与实际的联系。大量的例子都来源于机器学习、统计学和控制理论等领域，这让我能够将学到的知识直接应用到我的工作中，解决实际问题。阅读这本书，就像是和一位经验丰富的导师进行一场深入的数学对话，每一次翻页都充满了惊喜和启发。

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对于任何希望在优化理论、统计推断或机器学习等领域取得深入研究的人来说，这本书简直就是一份珍贵的礼物。它不仅仅是介绍矩阵求导的工具书，更是一本培养读者数学思维和严谨性训练的杰作。作者在书中对每一个概念的引入都经过深思熟虑，无论是关于导数的定义，还是关于不同类型函数（如线性函数、二次型函数、行列式、迹等）的求导，都给出了清晰的解释和详尽的推导过程。我特别欣赏书中对“分母布局”和“分子布局”的区分与解释，这在矩阵微积分的学习中常常是一个容易混淆的难点，而本书通过细致的辨析，让这一概念变得清晰明了。此外，书中引入的“Jacobian 矩阵”和“Hessian 矩阵”的概念，以及它们在多元函数求导中的作用，都被阐述得淋漓尽致。我曾尝试过一些在线资源和教科书，但很少有像《Matrix Derivatives》这样，能够如此系统而深入地讲解矩阵微积分的。它能够帮助你建立起坚实的理论基础，让你在面对复杂的优化问题时，能够更加自信地进行推导和求解。这本书的语言风格虽然偏向学术，但却不失可读性，能够激发读者进一步探索的欲望。

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这本书为我提供了一个坚实的数学基础，以应对现代数据科学和机器学习领域的挑战。作者在书中对矩阵微积分的讲解，既严谨又富有条理，从最基础的向量和矩阵的定义，到各种复杂的矩阵运算和导数规则，都进行了详尽的阐述。我尤其欣赏书中对“行列式”和“迹”的导数讲解，这些在很多优化算法和统计推断中都至关重要。作者并没有简单地给出公式，而是通过一步步的逻辑推导，让读者能够理解这些公式的来源和意义。例如，在讲解如何求解一个矩阵的迹关于矩阵的导数时，作者并没有直接给出结果，而是通过对求和符号的巧妙运用，一步步引导读者得出结论。这种“授人以渔”的教学方式，让我能够真正掌握矩阵微积分的核心思想。书中还包含大量与机器学习相关的实例，如线性回归、逻辑回归和主成分分析等，这让我能够将所学知识直接应用于实际问题，解决了许多我之前在工作中遇到的难题。

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这本书是理解现代统计模型和机器学习算法背后的数学原理的基石。作者以其出色的教学能力，将矩阵微积分这一通常被认为枯燥乏味的学科，变得生动而富有吸引力。我尤其喜欢书中对“Frobenius 范数”的介绍，以及如何对其求导。这在许多机器学习算法的正则化项中都扮演着重要角色。书中提供的例子，从简单的线性回归到更复杂的支持向量机（SVM）和神经网络，都清晰地展示了矩阵求导在实际问题中的应用。我记得在学习SVM时，对拉格朗日乘子法的理解一直有些模糊，直到阅读了书中关于如何用矩阵求导来求解优化问题后，才豁然开朗。作者在书中不仅给出了公式，更重要的是解释了这些公式背后的逻辑和直觉。它不仅仅是一本“怎么做”的书，更是一本“为什么这么做”的书。这本书帮助我建立起对数学的深刻理解，也让我更加自信地去探索更广阔的数学世界。

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在我看来，《Matrix Derivatives》这本书与其说是一本讲义，不如说是一位经验丰富的数学向导，带领读者深入探索矩阵微积分的奇妙世界。作者在书中对每一个概念的引入都经过深思熟虑，从最基础的导数定义，到各种常见的矩阵函数求导法则，再到更高级的链式法则和隐函数定理在矩阵方程中的应用，都进行了详尽而清晰的阐述。我特别喜欢书中对“Jacobian 矩阵”和“Hessian 矩阵”的介绍，它们在描述函数变化率和曲率方面起着至关重要的作用，而本书通过大量的例子，让我能够深刻理解它们在实际问题中的应用，比如在优化算法中的收敛性分析。书中提供的习题设计得非常巧妙，它们不仅能够巩固理论知识，更能锻炼读者的逻辑思维和解决问题的能力。通过完成这些习题，我不仅加深了对矩阵微积分的理解，更培养了严谨的数学研究习惯。

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这本书为我打开了探索高维数据分析世界的大门。在学习过程中，我发现作者的叙述风格非常独特，他善于将抽象的数学概念与直观的几何解释相结合，使得那些原本可能令人生畏的矩阵运算变得易于理解。例如，在介绍张量（tensor）及其导数时，作者并没有直接陷入复杂的张量代数，而是通过低维度的类比和图形化的表示，帮助读者建立起对高维概念的初步认识。这种循序渐进的教学方法，对于我这样在数学基础相对薄弱的读者来说，简直是福音。书中提供的习题也极具挑战性，但同时也非常有价值，它们不仅巩固了理论知识，还训练了我的逻辑思维和问题解决能力。我记得其中有一道关于最大似然估计的习题，通过对似然函数进行矩阵求导，最终得到了简洁而优美的结果。这种将理论付诸实践的体验，让我对数学学习充满了成就感。我强烈推荐这本书给任何希望在数据科学、机器学习或任何需要处理大量矩阵运算的领域深入发展的人。

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对于任何希望在统计建模、优化理论或机器学习领域取得突破性进展的研究者来说，《Matrix Derivatives》是一本不可或缺的参考书。作者在书中将矩阵微积分的各个方面进行了深入浅出的讲解，从最基础的向量导数到复杂的张量导数，无不涵盖。我特别欣赏书中对“分母布局”和“分子布局”的严谨区分，这在矩阵求导中是一个容易混淆的难点，而本书通过细致的解释和对比，让这一概念变得清晰明了。书中大量的例子都来源于实际应用，例如在介绍线性回归模型时，作者展示了如何利用矩阵求导来求解最小二乘估计。这种理论与实践相结合的方式，极大地增强了我的学习兴趣和理解深度。我曾经尝试过其他介绍矩阵微积分的书籍，但往往因为过于晦涩而感到沮丧。而《Matrix Derivatives》则以其清晰的逻辑、严谨的推导和生动的例子，让我能够轻松地掌握这一重要的数学工具。

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一本真正能让你领略到矩阵微积分之美的著作，即使你初次接触这个领域，也会被作者严谨而又清晰的逻辑所折服。这本书并非那种堆砌公式、让人望而生畏的教材，相反，它更像是一位经验丰富的向导，一步步引领你穿越矩阵微积分的丛林。从最基础的定义和符号系统开始，作者就展现出了极高的教学艺术，将那些看似抽象的概念具象化，并通过大量精心设计的例子来巩固理解。我尤其欣赏书中对“链式法则”的阐述，它不仅仅是简单地给出公式，而是通过对函数复合的深入剖析，让你真正理解为什么会有这样的法则，以及它在实际问题中的应用。阅读过程中，我常常会停下来，回味作者对每一个关键步骤的解释，那种豁然开朗的感觉，是许多其他数学书籍难以给予的。这本书的语言风格非常平实，没有过多华丽的辞藻，但每一个字都恰到好处，直击要点。它更注重的是培养读者的数学直觉和解决问题的能力，而非死记硬背。我曾尝试过其他介绍矩阵微积分的资料，但往往因为过于晦涩而半途而废。而这本《Matrix Derivatives》则完全不同，它让我感受到学习数学的乐趣，也让我对这个领域产生了浓厚的兴趣，甚至开始主动去探索更深层次的理论。

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这本书就像是一把开启高级统计学和机器学习理论宝库的钥匙。在学习这本书的过程中，我深刻体会到矩阵微积分的强大之处，它能够将原本繁琐的多元函数求导过程，转化为一种简洁而优雅的矩阵运算。作者在书中对各种矩阵函数，如行列式、迹、逆、特征值等，关于矩阵的导数进行了详尽的梳理和推导。我尤其喜欢书中对“张量导数”的介绍，虽然这是个相对复杂的概念，但作者通过一系列精心设计的例子，将它清晰地呈现在读者面前，让我对这一领域的理解迈上了一个新的台阶。书中提供的练习题也是一大亮点，它们不仅能够帮助我巩固课堂上的知识，更能激发我独立思考和解决问题的能力。我记得有一道关于矩阵分解的习题，通过运用书中介绍的求导技巧，最终得到了令人惊叹的简洁解法。这本书让我看到了数学的严谨性与创造性的完美结合，也让我对未来的学习和研究充满了信心。

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《Matrix Derivatives》这本书的价值，远远超出了其“讲义”的定位。它更像是一本为有志于在数学和统计学前沿领域探索的读者量身定制的“武功秘籍”。作者在书中对矩阵求导的各个方面进行了极其详尽的阐述，从最基础的定义到更复杂的链式法则、隐函数定理在矩阵方程中的应用，无不涵盖。我尤其欣赏书中对“克莱姆法则”（Cramer’s rule）在矩阵求导中的巧妙运用，这为解决一些看似棘手的导数问题提供了一种全新的视角。此外，书中还深入探讨了“Hessian 矩阵”在二次型函数中的性质，以及如何利用它来判断函数的局部极值。这些内容对于理解优化算法和统计模型的收敛性至关重要。这本书的逻辑清晰，结构严谨，但同时又充满了数学的优雅和美感。它不仅仅是传授知识，更重要的是培养读者严谨的数学思维和深刻的洞察力。我经常会反思作者在书中对某些推导步骤的解释，它们往往能揭示出更深层次的数学规律，让我受益匪浅。

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