Introductory Linear Algebra pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Prentice Hall

作者:Bernard Kolman

出品人:

页数:768

译者:

出版时间:2004-8-12

价格:USD 144.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9780131437401

丛书系列:

图书标签:

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• 线性代数
• 入门
• 数学
• 高等教育
• 教材
• 向量
• 矩阵
• 行列式
• 解方程
• 线性变换

深入解析与应用：现代数学分析的基石 本书旨在为读者构建一个坚实而全面的现代数学分析基础，涵盖从严格的微积分概念到更高级的拓扑与度量空间理论的核心内容。 本书的撰写风格力求清晰、逻辑严密，并在保持数学严谨性的同时，注重概念的几何直观解释与实际应用场景的联系。它不仅仅是一本工具书，更是一本引导读者领悟分析思想精髓的深入读物。 第一部分：实数系统与基本分析 本书的开篇聚焦于实数系统 ($mathbb{R}$) 的严格构造与性质。我们从集合论的基石出发，通过戴德金截或柯西序列的方法来构建实数集，这对于理解后续所有分析概念的精确性至关重要。随后，我们将深入探讨实数集上的拓扑性质，包括开集、闭集、紧集的概念及其在 $mathbb{R}^n$ 空间中的推广。 序列与级数的讨论是本部分的核心。我们不仅会详细阐述收敛性的定义（$epsilon-N$ 语言的精确运用），还会引入柯西序列的概念，并证明实数集是完备的——这是所有高级分析得以展开的根本前提。对于级数，本书将区分绝对收敛与条件收敛，并深入分析幂级数的收敛半径与和函数的性质，为泰勒级数和傅里叶级数的引入做好铺垫。 函数空间与连续性的章节，对“连续性”这一核心概念进行了深刻剖析。我们从 $epsilon-delta$ 定义出发，逐步过渡到拓扑空间的连续映射概念。紧接着，我们将证明极具实用价值的定理：连续函数在紧集上的性质（如最大值最小值定理、一致连续性）。我们还会详细探讨一致收敛的概念，并证明其在保证极限运算（如求导、积分的交换）的合法性方面的关键作用。 第二部分：微分学——变化率的精确描述 本部分致力于将直觉中的“斜率”与“变化率”提升到严格的数学层面。在 $mathbb{R}^n$ 空间中，我们首先定义了方向导数与梯度。接下来的重点是微分的概念。本书采用现代观点定义函数在某一点的可微性，并严格区分可微性与连续性的关系。 多元函数的极值理论是本部分的重头戏。我们将详细介绍偏导数、海森矩阵的作用，并利用泰勒定理对多元函数进行局部逼近。极值点的判别，特别是利用特征值分析海森矩阵的正定性来区分局部极大值、极小值和鞍点，将被详尽论述。 对于更一般的向量值函数，我们引入了雅可比矩阵的概念，它不仅是线性近似的矩阵，更是理解多变量函数局部几何性质的关键工具。对于可微函数的复合，链式法则的推广形式将被清晰地推导和应用。 第三部分：积分学——累积与测量的理论 本书对积分的引入采取了由浅入深、逐步强化的策略。我们从黎曼积分的定义出发，探讨了可积函数的条件，并证明了连续函数在闭区间上是黎曼可积的。积分的基本性质、微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式的严谨证明）是本阶段的重点。 为了处理更广泛的函数类（例如不连续点较多的函数），本书会引入勒贝格积分的初步概念。虽然不会深入测度论的全部细节，但会解释勒贝格积分的优势，特别是它在处理函数极限和积分顺序交换时的优越性。 对于多重积分，我们详细讨论了其在 $mathbb{R}^2$ 和 $mathbb{R}^3$ 上的定义，以及坐标变换（如极坐标、球坐标）在简化计算中的应用。变量替换公式的严谨推导，依赖于雅可比行列式（与微分学中的雅可比矩阵紧密联系），是本节的理论难点和实践重点。 第四部分：度量空间与泛函分析的萌芽 为了将分析思想推广到更抽象的空间（如函数空间），本书的最后一部分转向拓扑与度量空间。我们首先定义了度量（距离）的概念，并基于此定义了开球、闭球、收敛性、完备性等核心拓扑概念。 完备性在函数空间中的重要性被突出强调。我们将讨论巴拿赫空间（完备的赋范向量空间）的概念，并引入压缩映射定理（Banach不动点定理）。这个强大的定理不仅可以用来证明微分方程解的存在性与唯一性，也是许多数值迭代算法背后的理论支撑。 此外，本书还将简要介绍等度连续性的概念，并阐述它与紧致性的联系，为更高级的泛函分析（如等价于 Arzela-Ascoli 定理）打下坚实的基础。 总结 本书结构紧凑，内容丰富，旨在为读者提供一个深入、现代且严谨的分析学视角。通过对实数系统完备性的深刻理解，对多元微分的精确把握，以及对积分理论的扩展，读者将能够自信地面对更高级的数学挑战，如微分方程、偏微分方程、傅里叶分析以及抽象代数中的结构分析。本书的每一个定理和定义都经过精心打磨，确保了理论的深度与教学的有效性。

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