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☆☆☆☆☆

出版者:Brooks Cole

作者:James Stewart

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:2002-12-26

价格:USD 117.95

装帧:Hardcover

isbn号码:9780534417789

丛书系列:

图书标签:

• 微积分
• 多元函数
• 数学分析
• 高等数学
• 微分方程
• 向量分析
• 数学
• 理工科
• 工程数学
• 极限

《多变量微积分：探索高维空间的奥秘》 这是一本深入浅出、严谨而不失趣味的多变量微积分教材，旨在为读者揭示函数在三维乃至更高维度空间中的奇妙行为。它不仅仅是一本介绍数学工具的书籍，更是一次引导读者进行空间思维训练、领略数学之美的旅程。本书内容丰富，涵盖了从基础概念到高级应用的广泛主题，力求让读者在掌握严谨的数学知识的同时，也能培养出直观的空间想象能力和解决复杂问题的分析能力。 本书的结构设计别具匠心，循序渐进地引导读者逐步深入多变量微积分的各个核心领域。 第一部分：向量与空间 geometry 我们从最基本却至关重要的概念——向量开始。读者将学习向量的代数运算，理解向量在几何上的意义，以及它们如何表示空间中的方向和位移。点积和叉积的引入，将帮助读者掌握计算角度、投影以及判断向量垂直性的方法，为后续理解曲面和体积奠定基础。 接着，我们将探索三维欧几里得空间 $mathbb{R}^3$ 的几何性质。直线和平面是空间中最基本的几何对象，本书将详细介绍它们的方程表示（参数方程、对称方程、点法式等），以及如何计算点到直线、点到平面的距离，直线与直线、直线与平面、平面与平面的相对位置关系。这些几何概念不仅为理解物理现象提供了语言，也为后续学习微分几何中的曲线和曲面打下了坚实的基础。 第二部分：多元函数与极限 多变量微积分的核心在于研究多元函数。本书将介绍多元函数的概念，包括定义域、值域以及如何可视化这些函数的图像（在二维和三维空间中）。特别地，我们将深入探讨多元函数的极限问题。理解多变量函数的极限是理解连续性和可微性的前提。本书将通过多种方法（如路径法、极坐标法）来分析极限是否存在，并详细阐述极限的 $epsilon-delta$ 定义，帮助读者建立对极限的严谨认识。 第三部分：偏导数与梯度 偏导数是多变量微积分的基石。本书将详细解释偏导数的概念，即在保持其他变量不变的情况下，函数对某个变量的变化率。我们将学习如何计算各种多元函数的偏导数，并探讨偏导数在几何上表示曲面切线斜率的意义。 梯度的引入将是本书的一个亮点。梯度是一个向量，它指向函数值增长最快的方向，其大小表示了该方向上的增长速率。理解梯度对于优化问题、物理学中的力场分析以及机器学习中的梯度下降算法至关重要。本书将通过丰富的例子，展示梯度的计算及其在各个领域的应用。 第四部分：方向导数与泰勒展开 方向导数进一步推广了偏导数的概念，它描述了函数在任意方向上的变化率。本书将阐述方向导数与梯度的关系，并提供计算方向导数的公式，帮助读者理解函数在空间中的局部变化趋势。 对于函数进行局部近似是微积分中的一个重要主题，多元函数的泰勒展开则将这一思想推广到了高维空间。本书将介绍多元函数的泰勒公式，并展示如何利用它来近似复杂的多元函数，这在数值计算和理论分析中都具有重要意义。 第五部分：多重积分 多重积分是多变量微积分中最重要的工具之一，它用于计算多维空间中的“体积”或“质量”。本书将首先介绍二重积分，详细讲解在矩形区域和一般区域上的积分方法。读者将学习如何使用累次积分来计算二重积分，并通过变量替换（如极坐标变换）来简化积分。 更进一步，本书将拓展到三重积分，用于计算三维空间中的体积，以及在三维区域上的质量、质心等物理量的计算。变量替换（如柱坐标变换和球坐标变换）在计算三重积分时尤为重要，本书将对其进行详细讲解。 第六部分：向量微积分 向量微积分是本书的另一个高潮部分，它将微积分的概念与向量场相结合，是理解流体力学、电磁学等物理现象的关键。 曲线积分： 学习计算标量函数和向量函数沿曲线的积分。曲线积分在计算功、路径相关量等方面有广泛应用。 散度与旋度： 引入散度和旋度的概念。散度描述了向量场在某一点的“源”或“汇”的强度，而旋度则描述了向量场的“旋转”程度。这些概念在流体力学和电磁学中具有核心地位。 格林公式、散度定理（高斯定理）与斯托克斯公式： 这三个基本定理是向量微积分的灵魂。本书将详细阐述这些定理的内容、几何意义以及它们之间的联系。格林公式将平面上的线积分与二重积分联系起来，散度定理将三维空间中的散度积分与闭合曲面上的面积分联系起来，而斯托克斯公式则将旋度在曲面上的面积分与曲面边界上的线积分联系起来。这些定理极大地简化了许多物理问题的计算，是解决许多工程和科学难题的有力工具。 第七部分：应用与拓展 除了理论上的深入探讨，本书还将穿插大量应用实例，展示多变量微积分在物理、工程、经济、计算机科学等领域的强大威力。例如： 优化问题： 利用梯度和二阶偏导数（Hessian矩阵）寻找函数的极值点，解决约束优化问题（拉格朗日乘子法）。 物理学应用： 计算质心、转动惯量，分析势场，理解流体流动，求解电磁场问题。 计算机图形学与机器学习： 介绍多变量微积分在曲面建模、光照计算、梯度下降算法等方面的作用。 本书的特点： 清晰的逻辑结构： 内容安排循序渐进，由浅入深，确保读者能够逐步建立起对多变量微积分的完整理解。 丰富的例题和习题： 每章都配有大量精心设计的例题，详细解析解题思路和步骤，并提供不同难度等级的习题，帮助读者巩固所学知识，提升解题能力。 强调几何直观： 在介绍抽象概念时，本书尽可能地结合几何图形和直观解释，帮助读者建立起空间想象能力，将抽象的数学公式与具体的几何意义联系起来。 严谨的数学证明： 在关键定理和公式的推导过程中，本书注重数学的严谨性，提供清晰的证明过程，培养读者严谨的数学思维。 贴近实际应用： 大量应用实例的引入，展示了多变量微积分在现实世界中的重要作用，激发读者的学习兴趣，并为未来深入学习相关领域打下基础。 《多变量微积分：探索高维空间的奥秘》 是一本面向大学本科生、研究生以及所有对数学感兴趣的读者的教材。无论您是想为深入的科学研究打下坚实的数学基础，还是想提升解决复杂工程问题的能力，亦或是仅仅想领略数学思维的魅力，本书都将是您不可或缺的良师益友。它将带领您穿越代数的藩篱，遨游于函数的海洋，最终在高维空间的广阔天地中，发现数学之美，洞察世界运行的奥秘。

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这本书简直是数学学习的“救星”！我之前对微积分的理解总是停留在平面图形的层面，感觉那些复杂的公式和符号离我非常遥远。然而，自从翻开这本书，一切都变得清晰起来。作者的讲解方式非常注重直观的几何意义，而不是枯燥的代数推导。比如，书中对梯度和散度的阐述，通过生动的例子和图示，让我一下子就抓住了这些概念的核心。它不是那种只罗列定理和公式的教科书，而是真正引导你去思考“为什么”和“怎么用”的书。阅读过程就像是和一位经验丰富的导师面对面交流，他总是知道在哪里设置一个巧妙的提示，帮助你自行领悟。我特别欣赏它对理论的严谨性把握，同时又保持了极高的可读性，确保即便是初学者也能步入高阶微积分的殿堂，而不会感到迷失方向。这本书真正做到了连接理论与实践的桥梁，让我对这门学科的热情倍增。

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这本书的价值远超于它所涵盖的具体数学知识点。它培养的是一种数学思维方式。我特别注意到，作者在论证过程中非常注重逻辑链条的完整性，几乎没有留下任何跳跃性的步骤，这对于培养严密的推理能力至关重要。阅读时，我经常需要停下来，对照着前面的定义回顾整个推导过程，这种主动的参与感远胜于被动接收信息。书中对一些经典定理的证明，比如格林公式的推导，提供了不止一种视角，这让我理解到同一个数学结论可以从不同路径抵达，极大地拓展了我的数学视野。如果你是那种追求学术深度，渴望真正掌握数学“内功心法”的人，那么这本书会是你工具箱里最锋利的那一把“瑞士军刀”，它教会你的，是如何以一种系统且富有创造力的方式去驾驭复杂性。

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坦白讲，我对比过好几本不同出版社的微积分教材，大部分都在“严谨性”和“易懂性”之间做出了取舍。而我手中的这本《Multivariable Calculus》似乎找到了一个近乎完美的平衡点。它的排版清晰，图文并茂，特别是那些涉及到三维空间曲面的插图，立体感和准确性都达到了极高的水准，这对于理解曲面积分和斯托克斯定理这类复杂概念是无价的。更让我惊喜的是，书中穿插了许多“历史背景”和“应用案例”的小插曲，这些内容虽然不直接参与公式推导，却极大地丰富了学习体验，让我明白这些数学工具是如何在科学发展史上发挥作用的。它读起来不像是一部冷冰冰的教科书，更像是一部精心制作的科学纪录片，将复杂的数学思想娓娓道来，让学习过程充满了发现的乐趣和满足感。

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老实说，我本来对这类理工科教材抱持着一种“忍受”的心态，总觉得它们要么过于晦涩难懂，要么浅尝辄止，无法真正构建起知识体系。但《Multivariable Calculus》彻底颠覆了我的认知。这本书的编排逻辑简直是教科书设计的典范，它不是线性的堆砌，而是层层递进、互相印证的网状结构。例如，在讲解向量场和线积分时，作者巧妙地回顾了单变量微积分中的基本定理，通过类比的方式，让读者自然而然地过渡到更高维度的思考。它的习题设计也极其巧妙，从基础的计算题到需要深度洞察力的证明题，难度梯度设置得非常合理，让你总是在“刚刚好够得着”的挑战中前进。我用了好几周时间，发现自己不仅学会了如何计算，更重要的是，开始能用多变量微积分的语言去描述和解决物理世界中的实际问题，这种能力的飞跃是这本书带给我最大的收获。

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对于那些期待通过它来迅速“刷题”通过考试的读者，这本书可能需要你付出更多耐心。这不是一本提供速成技巧的工具书，而是一部需要深入研读的学术著作。它的深刻之处在于，它坚持从最基本的公理和定义出发，步步为营地构建起整个多变量分析的宏伟蓝图。我尤其欣赏它在引入新概念时，会花大量的篇幅讨论其在不同坐标系下的表达差异，这对于理解坐标变换的本质至关重要。书中对偏导数和多重积分的几何意义的探讨，细致到令人发指，没有丝毫敷衍，这使得那些原本抽象的数学对象变得具体可感。如果你希望对微积分的理解是扎实、深刻且不易遗忘的，那么这本书无疑是投资时间的首选，它要求你思考，但回报是真正的数学洞察力。

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