Geometric Measure Theory pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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☆☆☆☆☆

出版者:International Press

作者:Fanghua Lin

出品人:

页数:247

译者:

出版时间:2003-6-1

价格:USD 55.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9781571461254

丛书系列:

图书标签:

theory
measure
Mathematics
GeometRic
几何测度论
测度论
几何分析
泛函分析
实分析
拓扑学
微分几何
偏微分方程
数学分析
集合论

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具体描述

This book is intended for the researchers engaged in fields ofmathematics and graduate students for a quick overview on thesubject of the geometric measure theory with emphases on variousbasic ideas, techniques and their applications in problems arising incalculus of variations, geometrical analysis and nonlinear partialdifferential equations. The contents of the book mainly consist of theHausdorff measure and its applications, Lipschitz functions, rectifiablesets, the area and coarea formulae, BV functions and sets of thefinite perimeter, varifolds theory, and current theory. The present textalso contains many concrete examples illustrating how the basic ideasand powerful techniques in geometric measure theory are applied.

《几何测度论》第一部分：测度的基础与几何空间的探索《几何测度论》并非一本单纯罗列定理与证明的数学著作，它更像是一次深度探索，带领读者深入理解测度这一概念在几何领域所展现出的强大生命力与普适性。本书的开篇，着重于构建稳固的理论基石。我们将从测度的基本定义出发，逐一梳理勒贝格测度、博雷尔测度等在欧氏空间中的重要实例。这一过程并非简单的形式化，而是力求通过直观的几何解释，揭示测度如何量化集合的“大小”，以及它在区分不同“尺度”的几何对象时所扮演的关键角色。读者将跟随作者的脚步，系统学习可测集、可测函数等核心概念。我们将探讨它们的性质，并重点关注这些概念如何自然地泛化到更抽象的度量空间中。从离散空间到连续空间，从有限维到无限维，本书旨在建立一个统一的框架，使得我们可以用同一个数学语言来描述和分析各种几何结构。在对测度有了初步认识后，本书将重点转向几何空间的具体分析。我们将考察欧氏空间中的几何对象，如曲线、曲面、以及更高维度的流形。然而，与传统的微分几何关注光滑性不同，《几何测度论》将视角拓展至更一般的、甚至是非光滑的集合。我们探讨这些几何对象如何在其所属的空间中“占据”一定的测度，以及如何通过测度来刻画它们的几何特性。例如，曲线的长度、曲面的面积，这些经典的几何量，在测度论的框架下，可以被更精细地分析，甚至可以处理一些病态但具有重要研究价值的几何对象。本书不会回避数学的严谨性，但始终强调直观理解的重要性。在介绍每一个概念时，我们会辅以详尽的几何例子和图示（尽管这里无法直接呈现，但叙述上会尽力模拟），帮助读者将抽象的数学语言转化为具象的几何图像。例如，当介绍维数概念时，我们将从拓扑维数、豪斯多夫维数等不同角度切入，并深入探讨豪斯多夫测度如何精确地捕捉到分形集合的“分形”特性。这种多维度的视角，使得读者能够更深刻地理解不同类型的几何维度，以及它们之间的联系与区别。第二部分：积分、收敛与几何测度的核心工具在建立了测度与几何空间的基本联系后，《几何测度论》将目光聚焦于测度的核心应用——积分。我们将系统地学习勒贝格积分的理论，并着重阐述它在几何分析中的优越性。与黎曼积分相比，勒贝格积分能够处理更广泛的可积函数，并且在极限运算下具有更好的保值性。本书将通过一系列几何问题，展示勒贝格积分如何成为分析曲线、曲面以及更复杂集合的强大工具。收敛性是分析工具的灵魂。《几何测度论》将花费大量篇幅深入探讨各种类型的收敛。除了点态收敛和一致收敛，我们还将重点关注测度论中特有的收敛概念，如 $L^p$ 收敛、弱收敛等。这些收敛模式在几何分析中扮演着至关重要的角色。例如，当我们研究一族逼近某个几何对象的序列时，理解它们的收敛性质，特别是它们的测度如何收敛，对于刻画极限对象的几何结构至关重要。本书还将介绍一些在几何测度论中常用的核心定理，例如控制收敛定理、Fatou 引理等。这些定理为我们在积分运算中进行极限交换提供了严谨的理论基础。我们将通过具体的几何例子，比如计算一个曲线族在逼近某种极限形状时的长度或面积的变化，来直观地说明这些定理的应用。分形几何是本书一个不可或缺的重要组成部分。我们将深入探讨豪斯多夫测度与豪斯多夫维数，并考察一些经典的分形集合，如康托尔集、谢尔宾斯基三角形、科赫雪花等。本书将通过详细的计算和分析，揭示这些分形集合的测度特性，以及它们的豪斯多夫维数如何反映出它们复杂的几何结构。我们还将探讨其他维数概念，如盒维数、相似维数等，并分析它们之间的联系与区别，以及在描述分形几何时各自的优势。为了更好地理解这些抽象概念，《几何测度论》将引入一些重要的数学工具。例如，我们将讨论测度空间的完备性问题，以及它对某些积分性质的影响。我们还将简要介绍调和分析的基本思想，并展示它在分析几何对象时的一些初步应用，例如傅里叶分析如何帮助我们理解信号的频率成分，从而间接关联到几何结构的某些特性。第三部分：几何测度的进阶理论与前沿应用随着对基本理论和核心工具的深入掌握，《几何测度论》将带领读者进入更深层次的理论探讨。本书将着重分析测度在几何度量上的作用，并探讨如何利用测度来定义和研究更一般的几何量。例如，我们将会考察测度上的微分，这涉及到 Radon-Nikodym 定理的应用。该定理在理解一个测度如何相对于另一个测度“密度”地分布时至关重要，这对于分析几何对象的局部性质有着深远的影响。本书还将深入研究各种类型的维数。除了前面提到的豪斯多夫维数，我们还将探讨Hausdorff-Besicovitch 维数、Minkowski 维数等。理解不同维数概念的定义、性质以及它们之间的关系，是精细刻画几何对象复杂性的关键。我们将通过丰富的例子，包括非光滑的、具有自相似结构的几何对象，来阐释这些维数概念的实际意义。《几何测度论》还将触及一些更具挑战性的几何测度理论领域。例如，我们将讨论调和测度（harmonic measure）的概念，它在研究偏微分方程的边界行为时扮演着核心角色。本书将探讨调和测度如何与几何结构的边界性质联系起来，并展示其在理解例如柯西-黎曼方程等方程的解的存在性与唯一性方面的应用。此外，我们还将探讨一些与测度论紧密相关的几何问题。例如，最小值曲面（minimal surfaces）的存在性问题，可以通过变分法和测度论的工具来研究。本书将简要介绍 Plateau 问题及其推广，并探讨测度论如何为理解这些问题的解提供新的视角。本书的最后部分将侧重于介绍几何测度论在前沿研究领域的应用。我们将探讨概率测度在几何分析中的作用，例如在研究随机过程的轨迹时，这些轨迹往往呈现出复杂的几何结构。我们还将简要介绍几何测度论在图像处理、数据科学、以及物理学（如统计力学、相变理论）等领域的一些新兴应用。通过这些例子，读者将能够深刻体会到几何测度论作为一门连接纯粹数学与应用科学的桥梁所展现出的巨大潜力。《几何测度论》旨在培养读者严谨的数学思维，以及利用测度工具解决几何问题的能力。本书内容丰富，涵盖了从基础概念到前沿应用的多个层面，希望能为有志于深入理解几何世界的研究者和爱好者提供一条清晰而深入的探索之路。

作者简介

目录信息

Chapter 1 Hausdorff Measure
1.1 Preliminaries, Definitions and Properties
1.2 Isodiametric Inequality and Hn=Ln
1.3 Densities
1.4 Some Further Extensions Related to Hausdorff Measures
Chapter 2 Fine Properties of Functions and Sets and Their Applications
2.1 Lebesgue Points of Sobolev Functions
2.2 Sell-Similar Sets
2.3 Federer's Reduction Principle
Chapter 3 Lipschitz Functions and Rectifiable Sets
3.1 Lipsehitz Functions
3.2 Submanifolds of Rn+k
3.3 Countably n-Rectifiable Sets
3.4 Weak Tangent Space Property, Measures in Cones and Rectifiability
3.5 Density and Rectifiability
3.6 Orthogonal Projections and Rectifiability
Chapter 4 The Area and Co-area Formulae
4.1 Area Formula and Its Proof
4.2 Co-area Formula
4.3 Some Extensions and Remarks
4.4 The First and Second Variation Formulae
Chapter 5 BV Functions and Sets of Finite Perimeter
5.1 Introduction and Definitions
5.2 Properties
5.3 Sobolev and Isoperimetric Inequalities
5.4 The Co-area Formula for BV Functions
5.5 The Reduced Boundary
5.6 Further Properties and Results Relative to BV Functions
Chapter 6 Theory of Varifolds
6.1 Measures of Oscillation
6.2 Basic Definitions and the First Variation
6.3 Monotonicity Formula and Isoperimetric Inequality
6.4 Rectifiability Theorem and Tangent Cones
6.5 The Regularity Theory
Chapter 7 Theory of Currents
7.1 Forms and Currents
7.2 Mapping Currents
7.3 Integral Rectifiable Currents
7.4 Deformation Theorem
7.5 Rectifiability of Currents
7.6 Compactness Theorem
Chapter 8 Mass Minimizing Currents
8.1 Properties of Area Minimizing Currents
8.2 Excess and Height Bound
8.3 Excess Decay Lemmas and Regularity Theory
Bibliography
Index
· · · · · · (收起)

读后感

评分☆☆☆☆☆

用户评价

评分☆☆☆☆☆

哇，这本书绝对是数学爱好者的一道饕餮盛宴！我花了好几个周末才啃完前几章，感觉自己的大脑被彻底重新格式化了一遍。作者的叙事方式非常独特，不是那种枯燥乏味的教科书式讲解，更像是一位经验丰富的大师在带着你进行一场探索之旅。他似乎总能找到最直观的方式来解释那些原本抽象到令人望而却步的概念，比如测度、积分的推广。我尤其喜欢他对历史背景的挖掘，让你明白为什么某些理论会应运而生，这极大地增强了学习的代入感。不过，坦白说，有些涉及到高阶拓扑和泛函分析的引理推导部分，我还是需要反复阅读好几遍，甚至得借助其他参考书才能完全跟上思路。这本书的深度毋庸置疑，它不仅仅是知识的罗列，更是一种思维方式的传授，对于想真正深入理解现代几何分析的人来说，它是一个不可或缺的起点，但请做好准备，这将是一场艰苦卓绝但回报丰厚的攀登。

评分☆☆☆☆☆

从使用体验上来说，这本书的翻译质量非常稳定，语言流畅，确保了晦涩的数学概念不会因为翻译腔调而变得更加难以理解。但是，我必须指出，本书的章节组织逻辑并非完全线性的，它更像是一个紧密交织的知识网络。很多重要的概念，比如某种特定的嵌入定理，可能在前面章节被提出，但其完整的背景和应用却要等到后面才能完全展开。这种结构对于习惯了“先介绍所有背景，再深入细节”的线性学习者来说，可能会造成一定程度的认知负担——你必须时刻保持对前面章节的记忆。因此，强烈建议读者在使用时，准备好大量的便签纸和标记笔，随时回顾和串联不同章节之间的联系。这本书更适合作为研究项目或深入课题的参考资料，而不是一本轻松的睡前读物，它要求读者拿出百分之百的专注力去和作者的思维同步。

评分☆☆☆☆☆

我是在准备博士资格考试的时候开始阅读这本著作的，坦白讲，它成了我桌上使用频率最高的参考书，没有之一。这本书的强项在于其无与伦比的严谨性，它从不轻易跳过任何一个技术细节，每一个定理的证明都力求滴水不漏。对于我这种需要应对严格学术审查的人来说，这种可靠性至关重要。然而，也正是这种极致的严谨性，使得它的阅读门槛被抬得相当高。初学者可能会被其丰富的技术术语和密集的公式推导吓退。我发现，这本书更像是为那些已经对基础微积分、线性代数和基础拓扑有扎实把握的研究者准备的“高级工具箱”。我个人更倾向于把它当作一本“字典”来查阅特定结论的精确表述和最原始的证明框架，而不是通读全书。对于希望快速了解某个领域概貌的读者来说，可能需要配合更入门级的材料同步学习。

评分☆☆☆☆☆

这本书给我的感觉，与其说是在阅读数学，不如说是在欣赏一种哲学思辨。作者对“度量”和“维度”的探讨，已经超越了纯粹的计算层面，触及了我们如何用数学语言去刻画“空间”本身的本质。我特别欣赏它在处理“非光滑”问题时的那种大胆和创新。在很多经典教材中，连续性和可微性是前提，但这本书却勇敢地将目光投向了那些“粗糙”的集合——那些在传统欧氏几何框架下显得支离破碎的对象。它提供了一整套全新的工具，让我们能够给这些“残缺”的空间赋予意义和结构。读完之后，我对“什么是几何形状”这个问题都有了更深层次的思考。如果你对纯粹的代数结构感到厌倦，渴望一些更具“实体感”和“构造性”的数学思想，这本书绝对能让你耳目一新，感受到数学家对世界边界的不断拓展。

评分☆☆☆☆☆

说实话，刚拿到这本厚厚的砖头书时，我的内心是充满敬畏的。我本以为它会是一本晦涩难懂的“天书”，但我很快发现，我的担忧是多余的。这本书的排版和图示设计简直是艺术品级别的。清晰的符号定义、精妙的辅助图形，使得那些复杂的几何对象在纸面上似乎都能“活”起来。特别是作者在处理Sobolev空间和黎曼流形上的不等式时，他总是会先给出一个非常简洁的“直觉解释”，然后再铺陈严谨的证明。这种“先知后证”的结构极大地缓解了阅读的挫败感。我印象最深的是关于“正则性理论”的那一章，作者用了一种近乎诗意的语言描述了光滑性如何从微观层面渗透到宏观结构中，那种顿悟的感觉，简直比解开一个世纪难题还令人兴奋。如果你习惯了通过视觉和结构来学习，这本书绝对能满足你对一本优秀数学专著的所有期待。

评分☆☆☆☆☆