数学分析习题详解（下） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:华中科技大学出版社

作者:林益/邵琨/罗德斌/俞小清编

出品人:

页数:413

译者:

出版时间:2005-9

价格:18.80元

装帧:简裝本

isbn号码:9787560934891

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好的，下面是针对一本名为《数学分析习题详解（下）》的图书，撰写的一份不包含该书内容的、详尽的图书简介。 --- 《高等代数精要与应用》 书籍简介 主题定位与受众群体 《高等代数精要与应用》是一部旨在系统梳理和深入剖析高等代数核心概念，并强调其在现代科学与工程领域中实际应用的一本参考教材。本书特别适合于数学、物理、计算机科学、信息工程、经济管理等专业的高年级本科生、研究生，以及需要巩固或深化高等代数基础的科研人员和工程技术人员。 本书的编写遵循“理论夯实、应用导向、循序渐进”的原则，力求在内容深度上达到研究生入门的水平，同时兼顾本科高阶课程的教学需求。我们认识到，高等代数不仅是抽象思维的训练场，更是后续诸多高级学科（如泛函分析、微分方程、线性规划、密码学等）的基石。因此，本书在理论构建的同时，不遗余力地展示了代数结构在真实世界问题解决中的强大威力。 内容结构与特色 本书共分十二章，体系完整，逻辑严密。每一章均包含清晰的理论阐述、精选的例题分析和富有挑战性的课后习题。 第一部分：基础代数结构重塑（第1章至第3章） 第1章：域与环的深化理解：本章不再满足于数域上的基本操作，而是引入抽象的域（如伽罗瓦域 $mathbb{F}_p$ 和 $mathbb{F}_{p^n}$）和更一般的交换环结构。重点探讨了整环、体、理想（主理想、极大理想）的概念及其相互关系。通过对多项式环 $F[x]$ 结构的深入剖析，为后续的特征多项式和最小多项式奠定基础。 第2章：线性空间与线性映射的几何化：本章在向量空间的基础上，引入内积空间和欧几里得空间的概念，强调几何直观与代数结构的统一。详细讨论了正交分解、施密特正交化过程的严格证明，以及正交矩阵和酉矩阵的性质。线性映射部分，侧重于核、像的计算，以及同构的判定。 第3章：线性算子的谱理论初探：这是本书的理论重点之一。详细分析了特征值、特征向量的代数重数与几何重数，并引入了特征多项式、最小多项式的概念。着重讨论了对角化问题的充要条件，并引入了Jordan标准型理论的初步介绍，强调了 Jordan 块在矩阵相似性分类中的决定性作用。 第二部分：矩阵理论的深入探究（第4章至第6章） 第4章：矩阵的标准化分解：本章聚焦于矩阵的分解技术，超越了简单的对角化。系统阐述了 Schur分解、奇异值分解 (SVD) 及其在数值稳定性和信息压缩中的核心地位。SVD的推导过程详尽，并给出了其在伪逆矩阵计算中的直接应用。 第5章：二次型与正定性：本章从二次型的矩阵表示出发，深入探讨了二次型的标准形和合同变换。重点讲解了惯性定理和 Sylvester 判别法，并详细讨论了正定二次型的判定标准及其在优化问题中的意义。对称矩阵的谱分解在二次型分类中的应用得到了充分展示。 第6章：张量代数基础：作为连接高等代数与微分几何、物理学的桥梁，本章引入了张量的基本概念，包括张量的定义、指标表示法（协变与反变）、张量缩并和张量积。旨在为读者提供一个理解高维线性结构变换的工具箱。 第三部分：线性代数在现代科学中的应用（第7章至第9章） 第7章：线性回归与最小二乘法：本章将理论与统计学紧密结合。从误差最小化的角度出发，推导了线性最小二乘解的几何意义和代数求解公式（基于正规方程组）。通过实际数据集的分析案例，展示了 SVD 在求解病态最小二乘问题时的优越性。 第8章：图论中的代数方法：本章引入了图的邻接矩阵、关联矩阵和拉普拉斯矩阵。着重阐述了 矩阵树定理 的推导及其在计算图中生成树数量的应用。通过分析拉普拉斯矩阵的特征值与图的连通性、割集之间的关系，展现了代数工具在网络结构分析中的潜力。 第9章：有限域上的运算与应用：本章回归到抽象代数，专门讨论有限域 $mathbb{F}_q$ 上的多项式运算。重点讲解了有限域上的线性递归序列（如伪随机数生成）以及这些域在纠错码（如 BCH 码的代数基础）中的作用，提供了具体的构造性算法实例。 第四部分：高级主题与计算实现（第10章至第12章） 第10章：矩阵函数与指数：本章探讨了函数在矩阵上的推广，特别是矩阵指数 $e^A$ 的定义、性质及其在求解常微分方程初值问题中的应用。讨论了利用 Jordan 标准型或相似对角化来计算矩阵函数的方法。 第11章：数值稳定性与矩阵条件数：鉴于所有计算都是有限精度下的近似，本章讨论了线性方程组和特征值问题的数值稳定性。详细定义了矩阵的条件数，解释了它如何预测计算误差的放大效应，并介绍了如何通过预处理技术改善条件数。 第12章：应用案例：主成分分析 (PCA) 的矩阵代数视角：本章将线性代数知识（特征值分解、SVD）应用于数据降维的核心技术——PCA。从方差最大化的角度出发，清晰地展示了如何通过计算协方差矩阵的特征向量来确定主成分，并对降维效果进行量化评估。 本书的独特优势 1. 理论的严谨性与清晰的推导：本书对每一个重要定理（如谱定理、SVD定理）都提供了完整的、可追溯的代数或几何证明，确保读者不仅知其然，更能知其所以然。 2. 强调计算思维：不同于纯理论书籍，本书在讲解理论的同时，紧密结合了算法实现（例如，没有仅仅停留在理论上讨论特征值，而是详细阐述了 QR 算法的迭代思想）。 3. 广泛的应用覆盖面：内容选材兼顾了传统数学（如几何、数论）和新兴交叉学科（如数据科学、信息安全），展现了高等代数作为“通用语言”的强大生命力。 通过研读《高等代数精要与应用》，读者将能够构建起一个坚实、灵活且富有洞察力的高等代数知识体系，为后续的专业学习和前沿研究奠定不可或缺的理论基石。

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从我个人的学习风格来看，我更偏爱那种能够提供宏观视角和解题策略指导的书籍，而不是一味堆砌题目的集合。这本书在这一点上做得相当出色。它不像市面上那些充斥着“题海战术”的习题书，而是更注重“以少胜多”。很多章节的开头，都会有一个简短的“本章重点方法总结”，这对我梳理知识点脉络非常有效。例如，在处理反常积分的比较判别法时，它不仅罗列了各种比较方式，还清晰地指出了每种判别法适用的函数类型和适用范围，这比我上课时老师匆匆带过的要系统得多。再者，这本书的排版设计也值得称赞，清晰的数学符号和逻辑箭头的使用，极大地降低了阅读疲劳。我甚至会特意去翻阅那些我原本已经掌握的章节，只是为了学习它如何组织语言，如何用最经济的文字去描述一个复杂的数学过程。它教会我的不仅仅是解题技巧，更是一种高效学习和归纳总结的方法论。

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说实话，我购买这本书的时候，对“下册”这个定位是有些担忧的，毕竟下册往往意味着难度陡增，主题也更加抽象。然而，这本书成功地将抽象理论与具体的计算实践紧密地结合起来。比如，关于线积分和面积分的内容，书中的例子非常巧妙地结合了物理学中的势场、功的计算等背景知识，这让原本枯燥的数学概念立刻“活”了起来，极大地激发了我的学习兴趣。通过这些带有实际意义的例子，我对格林公式、斯托克斯公式等核心定理的几何意义有了豁然开朗的感觉。以前总觉得这些公式背下来就能用，但现在我能理解它们背后的物理或几何直觉。这种带着“为什么”去学习的感觉，是纯粹应试教育无法给予的。它让数学分析不再是空中楼阁，而是可以用来解决实际问题的工具箱。对于那些希望将数学理论应用于工程或物理领域的读者来说，这本书无疑提供了最坚实的基础支撑。

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这本《数学分析习题详解（下）》简直是我的救星，尤其对于我这种深陷高数泥潭的“挣扎者”来说。我一直觉得，数学分析这门课的精髓，不在于那些优美的定理证明，而在于那些让人抓耳挠腮的习题。以前做题总是找不到门路，看着参考答案，要么是写得过于精简，让人看不懂中间的逻辑跳跃；要么是步骤繁琐，却又漏掉了关键的思考环节。然而，这本详解的编排方式极其人性化。它不是简单地给出标准答案，而是像一个耐心的老师，一步步引导你拆解问题，告诉你为什么选择这种方法，而不是那种。特别是那些经典的、考察综合能力的难题，它会先给出思考的框架，让你自己尝试填补细节，然后再对照书中详尽的解答。这种循序渐进的教学方式，让我在不知不觉中，构建起了一套自己的解题思维体系。我特别喜欢它对细节的把控，比如在处理定积分的敛散性、级数的一致收敛性等难点时，对边界条件的讨论总是异常清晰，让人感觉无比踏实。这本书的价值，远超出一本普通的习题集，更像是一本“解题思想的武功秘籍”，让我在面对考试和更深层次的学习时，信心倍增。

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我购买这本书纯粹是出于一种“病急乱投医”的心态，当时正值期末复习的“鬼门关”，手头上的教材和别的习题册都无法有效解决我遇到的瓶颈——主要是关于傅里叶级数和拉普拉斯变换那几个章节的实际应用题。拿到这本《数学分析习题详解（下）》后，我立刻被它那近乎严苛的解析深度所震撼。它对一些看似简单的练习题，也会追溯到其背后的定义和定理的严格应用，这在很多其他资料中是看不到的。举个例子，对于多元函数的极值问题，它不仅展示了如何求导和构造海森矩阵，还详细讨论了在非闭区域或边界处，如何通过构造函数或使用拉格朗日乘数法的变体来确保找到全局最优解。这种对“万无一失”解法的追求，让我对数学的严谨性有了更深层次的理解。我发现，很多我自以为“会了”的知识点，在真正需要精确表达时，往往词不达意。这本书通过大量的实例，矫正了我的表达习惯，让我的解题过程逻辑链条更加完整和无可指摘。对我这种追求完美解题报告的人来说，简直是教科书级别的范本。

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这本书的价值，很大程度上体现在它对于“陷阱”的预判和提醒上。在一些标准解法之外，它会专门设置一个“注意事项”或者“易错点辨析”的栏目。这些小小的提示，往往是那些能区分优秀和平庸解题者的关键所在。比如，在讨论黎曼可积性的判定时，它会特别强调对“有界函数”这一前提条件的忽视所可能导致的错误结论。这种对细节的执着，体现了编者深厚的教学经验。我甚至觉得，光是研究这些“错误示范”和“陷阱分析”，本身就是一种高效的学习过程，它帮我提前排除了未来可能遇到的各种雷区。我不再是盲目地套用公式，而是带着一种批判性的眼光去审视每一个解题步骤的合法性。因此，这本书更像是一本“防错指南”，确保我的知识体系是健壮且无懈可击的。对于想要冲击高分，或者未来需要深入研究数学的学生而言，这种对严谨性的极致追求是不可或缺的宝贵财富。

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