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出版者:同济大学

作者:同济大学应用数学系

出品人:

页数:199

译者:

出版时间:2005-9

价格:18.00元

装帧:简裝本

isbn号码:9787560831350

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 教科书
• 矩阵分析
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• 优化算法

图书简介：空间几何的奥秘 作者： [此处留空，模仿传统书籍设计] 出版社： [此处留空] 开本： 16开 定价： [此处留空] 页数： 约650页 --- 内容概述： 《空间几何的奥秘》是一部系统而深入的几何学专著，旨在为读者构建一个清晰、严谨且富有洞察力的三维空间认知框架。本书超越了初级几何学中对欧几里得公理的简单复述，而是专注于探索空间形态的内在逻辑、维度转换的数学机制，以及几何结构在物理世界和抽象理论中的广泛应用。全书共分为七个核心部分，层层递进，从基础的向量空间概念出发，最终抵达高维流形与微分几何的前沿探讨。 本书的核心目标是揭示空间并非一个被动的背景，而是一个具有丰富结构和动态关系的实体。我们探讨了如何利用代数工具来描述几何对象，如何通过变换来理解对称性，以及如何用拓扑学的语言来把握空间的“形变不变量”。 --- 第一部分：欧几里得空间的基础重构 (The Rebuilding of Euclidean Foundations) 本部分着重于对三维欧几里得空间进行一次现代化的、基于内积的重构。我们摒弃了仅依赖坐标系的传统描述方式，转而强调向量空间的基本公理、内积的几何意义及其如何定义长度、角度和正交性。 向量与线性组合： 详细阐述了基矢的选择、坐标变换的群论基础，以及线性无关性在空间结构判定中的核心地位。 平面与子空间： 深入分析了超平面（在三维中即平面）的法向量表示法与参数方程的内在联系。探讨了子空间（如直线、平面）的交集与并集的维度计算，引入了投影算子（Projection Operators）的概念，用以精确衡量一个向量在特定子空间上的“投射量”。 正交基与施密特过程： 详细展示了如何通过施密特正交化过程，将任意线性无关的向量组转化为一组正交基，这是后续傅里叶分析和坐标无关性证明的基石。 第二部分：刚体运动与群论视角 (Rigid Motions and the Group Perspective) 几何的本质往往体现在其保持不变的性质上。本部分将运动与对称性视为理解空间结构的关键。 刚体运动的分解： 探讨了三维空间中的所有刚体运动——平移、旋转、反射——如何被统一描述为齐次变换矩阵。重点分析了旋转矩阵的特殊正交群 $ ext{SO}(3)$ 的性质，包括其特征值、轴角表示法（罗德里格斯公式）以及万向节死锁（Gimbal Lock）的几何根源。 对称群： 引入了有限点群（如晶体学中的群）和连续群的概念，展示了李群（Lie Groups）如何精确地描述空间中所有连续对称操作的集合。 第三部分：二次曲面与张量表示 (Quadric Surfaces and Tensor Representation) 本部分将几何对象提升到张量分析的高度，以实现描述的简洁性和独立于坐标系的优雅性。 二次型与矩阵： 详细分析了二次曲面（球面、椭球、双曲面等）的代数方程，并将其统一表示为二次型 $mathbf{x}^T A mathbf{x} = k$ 的形式。 特征值与主轴： 阐述了如何通过对关联的二次型矩阵进行对角化（特征值分解），来确定二次曲面的“主轴”——即空间中自然定义的、与曲面几何特性最契合的坐标系。这揭示了曲面的内在几何属性如何被代数结构所编码。 惯性张量： 首次引入了三维惯性张量（一个对称张量），并解释了其主轴对应于刚体绕轴旋转时，角动量与角速度方向一致的特殊轴线，这是力学与几何完美结合的范例。 第四部分：仿射几何与透视 (Affine Geometry and Perspective) 本部分从欧几里得空间转向更具应用性的仿射空间，探讨了比例关系和透视变换。 仿射空间与齐次坐标： 介绍了齐次坐标（Homogeneous Coordinates）如何统一表示平移和线性变换，使得所有仿射变换都能以简单的矩阵乘法实现。 透视投影： 深入分析了中心投影（如相机成像模型），探讨了“消失点”和“无穷远线”在仿射几何中的严格定义。这为计算机图形学和光学几何奠定了坚实的理论基础。 第五部分：微分几何的初步：曲线与曲面 (Introduction to Differential Geometry: Curves and Surfaces) 从静态的代数描述转向动态的、局部的微分结构。 空间曲线的局部性质： 引入了自然参数化、曲率（Curvature）和挠率（Torsion）的概念。利用弗雷内-塞尔勒（Frenet-Serret）公式组，精确描述了空间中任意曲线的“弯曲”和“扭转”程度。 曲面的第一、第二基本形式： 首次接触到黎曼几何的雏形。第一基本形式（Metric Tensor）定义了曲面上的内积和长度测量；第二基本形式则度量了曲面偏离其最佳拟合平面的程度。 曲率的分类： 详细区分了高斯曲率（Gaussian Curvature）、平均曲率（Mean Curvature）和主曲率，并解释了它们在区分平面、球面、鞍点等几何形态中的关键作用。重点阐述了高斯绝妙定理（Theorema Egregium）的意义： 高斯曲率是内蕴的，不依赖于曲面嵌入空间的方式。 第六部分：拓扑学的直觉：连续形变 (Topological Intuition: Continuous Deformation) 本部分将视角从“测量”转向“连接性”，引入拓扑学的基本思想。 同胚与不变量： 解释了什么是拓扑等价（即拉伸、扭曲而不撕裂），并探讨了如连通性、洞的数量（亏格）等拓扑不变量。 欧拉示性数： 在多面体和球体表面分析欧拉公式 $V - E + F = chi$ 的普遍性，并将其推广到更抽象的曲面。 第七部分：高维空间的拓扑连接 (Topological Connections to Higher Dimensions) 作为全书的升华，本部分将读者带入对更高维度空间的几何直觉构建。 流形的初步概念： 将光滑曲面（如球面）的概念推广为流形，即局部看起来像欧几里得空间的拓扑空间。 张量场与协变导数： 简要介绍在非欧空间中如何定义矢量和张量的“导数”，以及协变导数如何修正经典导数，以适应空间弯曲带来的坐标系变化。 --- 目标读者： 本书面向具备扎实的线性代数和多元微积分基础的理工科高年级本科生、研究生，以及对数学物理交叉领域有浓厚兴趣的专业人士。它要求读者具备严密的逻辑思维能力，并愿意投入时间去理解几何概念背后的深刻代数结构。本书绝非速成指南，而是一部可供长期参考的深度研究性教材。 本书特色： 1. 代数与几何的深度融合： 避免将几何视为“画图”活动，而是将其视为矩阵、特征值和张量运算的具象化。 2. 严格的论证体系： 保持数学的严谨性，对关键定理提供详细的几何和代数证明。 3. 前沿概念的铺垫： 为读者后续深入学习微分几何、广义相对论或现代物理学中的空间几何描述打下坚实基础。

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我必须承认，这本书的深度绝对不是为初学者准备的，它更像是为那些想要在理论上深挖一步的研究人员准备的精良教材。我个人在阅读到关于奇异值分解（SVD）那部分时，花费了比预期长得多的时间。作者对SVD的数学推导过程处理得极其严谨，每一个步骤的逻辑跳跃都解释得非常到位，不像有些参考书那样直接跳过中间的关键引理。尤其是在讨论SVD在数据压缩和降维中的应用时，作者引用了几个非常经典的工程实例，这让原本纯粹的理论知识立刻拥有了鲜活的生命力。我当时就停下来，对照着教材里的例子，自己动手用Python跑了一遍数据，结果发现书中的解释和实际运行的结果完美契合，那种“豁然开朗”的感觉真是妙不可言。这本书的价值就在于，它不仅仅告诉你“是什么”，更重要的是告诉你“为什么是这样”，并且提供了可以实际操作的路径。

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这本书的难点也正体现了它的价值所在。对于那些仅仅想应付考试或者了解基本概念的读者来说，这本书的某些章节可能会显得过于繁复和晦涩。我尤其提一下关于非对称矩阵谱分解和矩阵函数的定义部分。作者在这里采用了基于Jordan标准型的论证方法，虽然这在数学上是最完备的，但对于习惯了对角化处理的读者来说，理解Jordan块的意义确实需要下一番功夫。我发现自己不得不反复阅读前面对线性算子满秩分解的定义，才能真正跟上作者的思路。然而，一旦跨越了这个理解的门槛，你会发现作者搭建的理论大厦是多么的坚固和统一。它迫使读者必须从最底层的公理出发去重新审视矩阵的本质属性，而不是仅仅停留在公式的记忆层面。这本书，毫无疑问，是一把开启更深层次数学理解的钥匙。

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从实战应用的角度来看，这本书的覆盖面之广，着实令人印象深刻。我主要关注的是数值稳定性和矩阵的条件数分析，因为我日常工作中经常需要处理病态矩阵。这本书在这方面的内容组织得非常系统。它不仅定义了条件数的概念，还详细分析了数值计算中误差是如何被这些条件数放大的。我特别欣赏作者在讨论计算算法时，总是会同时给出稳定性和计算复杂度的权衡分析。例如，在介绍共轭梯度法（CG）时，作者没有仅仅停留在算法的描述层面，而是深入剖析了为什么它在某些特定矩阵上表现优异，而在另一些情况下则可能收敛缓慢甚至失效。这种兼顾理论严谨性和工程实际考量的论述方式，对于我们这些需要将数学工具应用于复杂系统建模的人来说，是极其宝贵的。

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这本书的写作风格简直是一股清流，我读过不少同类型的数学书籍，很多都写得像冷冰冰的说明书，让人读两页就想打瞌睡。但这本书的作者，他似乎有一种天生的叙事能力。他总能巧妙地在技术细节中穿插一些历史背景或者不同学派对同一概念的不同理解角度。比如讲到最小二乘法的发展脉络时，他追溯了高斯和勒让德的争论，这让整个章节的阅读体验变得充满了人文色彩。我感觉自己不是在啃一本教材，而是在听一位博学的教授娓娓道来一个数学分支的兴衰史。这种叙事节奏的把握，让我在面对那些高维、复杂的向量空间操作时，心态也能保持轻松，不容易产生畏难情绪。唯一的“不足”可能就是，这种详尽的叙述方式，使得全书的篇幅比我预期的要厚实不少，但考虑到其内容的广度和深度，这完全是物有所值的。

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这本书的装帧设计实在是太吸引人了，那种深沉的墨绿色配上烫金的字体，拿在手里就有一种沉甸甸的知识感。我刚拿到手的时候，其实对里面的内容是有点忐忑的，毕竟“矩阵分析”这个名字听起来就充满了高深的数学气息。不过，我花了点时间去翻阅了目录和前言，发现作者的思路非常清晰，他并没有一上来就堆砌复杂的公式，而是循序渐进地构建了一个扎实的理论框架。特别是关于线性空间和线性变换的基础章节，作者用了非常形象的比喻来解释抽象的概念，这对于我这种虽然有一定数学基础，但对这块内容理解不够深入的读者来说，简直是雪中送炭。我记得有一段讲到特征值的几何意义时，作者描述得像是在描绘一幅流动的几何画卷，让人一下子就抓住了问题的核心。总的来说，这本书的排版和视觉引导做得非常到位，让原本枯燥的理论学习过程，变得像是在探索一个结构精美的数学迷宫，每解开一个结点，都充满了成就感。

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