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出版者:哈尔滨工程大学出版社

作者:沈艳

出品人:

页数:476 页

译者:

出版时间:2005年08月

价格:37.5

装帧:平装

isbn号码:9787810737005

丛书系列:

图书标签:

• 高等数学
• 数学
• 教材
• 考研
• 复习
• 知识点
• 习题
• 解析
• 大学
• 理工科

深度解析与实践：《高等数学知识要点与习题解析》之外的数学瑰宝 （一）微积分的拓扑与几何基石：深入理解空间与极限的本质 本书旨在探讨那些在标准《高等数学》教材中往往被一笔带过，但却是构建严谨数学思维不可或缺的理论基石。我们将聚焦于实分析（Real Analysis）的早期概念，特别是点集拓扑在微积分中的隐性作用。 1. 极限理论的严格化与度量空间： 不同于传统教材侧重于计算技巧，我们首先从$epsilon-delta$语言的哲学层面切入，探讨极限概念的完备性。我们将详细剖析柯西序列（Cauchy Sequences）的概念及其在实数完备性中的核心地位。在此基础上，本书将引入度量空间（Metric Spaces）的基本框架。我们将讨论开集、闭集的拓扑定义，并展示如何在任意度量空间中推广极限、连续性等概念。这不仅仅是抽象的理论构建，更是对多元函数积分中区域收敛性、均匀连续性等问题的深刻洞察力来源。例如，我们将解析为什么在$mathbb{R}^n$中的闭区间套定理（Cantor's Intersection Theorem）能够推广到任意紧致度量空间。 2. 勒贝格积分的先声：测度论的初步接触： 为了真正理解黎曼积分的局限性，我们必须触及测度论的萌芽。本书将不再满足于黎曼可积性的判定，而是引入可测集的概念，并探讨“长度”或“体积”的现代定义——测度（Measure）。我们将通过简单的例子，展示一些黎曼不可积的函数（如狄利克雷函数）如何通过测度理论被赋予合理的积分值。重点在于理解可测函数的定义，为后续理解更强大的积分工具做好准备。 3. 微分几何的几何直观： 高数中的微分是局部的线性近似，但要理解曲线和曲面的性质，需要更宏观的几何视角。我们将引入曲线的曲率（Curvature）和挠率（Torsion）的严格定义，并使用弗雷内-塞雷（Frenet-Serret）公式来描述空间曲线的运动轨迹。对于曲面，我们将探讨第一、第二基本形式，并深入理解高斯曲率（Gaussian Curvature）和平均曲率（Mean Curvature）的几何意义，阐释它们如何决定曲面在三维空间中的弯曲程度，这是连接代数计算与空间形态的关键桥梁。 （二）线性代数的深层结构：向量空间与线性变换的本质 标准的高等数学通常将线性代数视为解方程组和矩阵运算的工具。本书将超越计算层面，着重揭示其作为线性代数（Linear Algebra）核心概念的严密结构。 1. 向量空间的公理化基础： 我们将详细阐述向量空间（Vector Space）的八条公理，并将其置于更广阔的模（Module）理论的背景下进行初步讨论。重点剖析基（Basis）和维数（Dimension）的概念，并证明任何有限维向量空间都存在基。我们将探讨子空间、直和（Direct Sum）的概念，以及如何通过直和分解来理解复杂的向量空间结构。 2. 线性变换的结构与相似性： 线性变换是连接不同向量空间的桥梁。本书将深入探讨核空间（Kernel）和像空间（Image），并利用秩-零化度定理来揭示矩阵的内在结构。更重要的是，我们将引入相似矩阵的概念，解释为什么对角化是简化矩阵运算的关键。我们将详细分析特征值（Eigenvalues）和特征向量（Eigenvectors）的代数和几何意义，并将其与相似标准形（如Jordan标准形）的求解联系起来，从而全面理解线性变换在不同基下的表现形式。 3. 内积空间与几何化： 为了赋予向量空间以“长度”和“角度”的概念，本书将引入内积空间（Inner Product Spaces）。我们将讨论施密特正交化过程（Gram-Schmidt Orthogonalization）的严格推导，并解释正交投影在解决最小二乘问题中的几何意义。这为傅里叶级数等分析工具的几何解释奠定了基础。 （三）组合数学与离散结构的应用解析 高等数学通常侧重于连续性，而本书将引入离散数学中与组合逻辑紧密相关的部分，这些内容是现代工程和信息科学的基础。 1. 排列组合的生成函数方法： 我们超越简单的排列组合公式，重点介绍生成函数（Generating Functions）在解决复杂计数问题中的强大威力。通过构建形式幂级数，我们可以将一个复杂的递归关系或组合问题转化为对幂级数系数的代数运算，例如使用生成函数推导组合恒等式或求解常系数线性递推关系。 2. 图论基础与欧拉路径： 本书将以图论的基本概念开篇，包括图的表示（邻接矩阵与关联矩阵）。我们将详细分析连通性、树（Trees）的性质，并着重讨论欧拉路径和哈密顿回路的存在性条件，这些是离散优化问题的早期体现。 （四）微分方程的定性分析与稳定性理论 虽然高数会涉及常微分方程（ODE）的初等解法，但本书将转向更具工程实用价值的定性分析和稳定性理论。 1. 相平面分析与极限环： 对于二阶自治系统，我们将使用相平面（Phase Plane）方法，通过奇点（Critical Points）的分类（结点、鞍点、中心、焦点）来全面描绘系统的长期行为，而无需显式求解微分方程。我们将着重分析极限环（Limit Cycles）的存在性，这是系统周期性振荡的数学表达。 2. 庞加莱-李雅普诺夫稳定性理论： 我们将引入李雅普诺夫函数（Lyapunov Functions）的概念，这是一种不依赖于求解方程的稳定性判据。我们将详细阐述李雅普诺夫第一法（线性化方法）和第二法（直接法），用以判定一个平衡点是稳定的还是渐近稳定的，这在控制理论和动力系统中至关重要。 本书内容侧重于从严谨性、几何直觉和结构洞察力三个维度，对高等数学知识体系进行补充和深化，旨在培养读者对数学问题的本质理解，而非仅仅停留在公式运算层面。

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接触过不少号称“全面透彻”的数学辅导书，但很多都存在一个问题：内容泛滥，重点不突出，读起来像是在啃一本厚厚的参考资料，而非一本实用的学习工具。而这本《高等数学知识要点与习题解析》给我最大的感受是它的“克制”与“高效”。它似乎深谙我们读者的痛点——时间有限，需要的是最核心的知识体系。书中的知识点梳理环节，采用了大量的对比和归纳，比如将几种不同的微分中值定理放在一起比较，清晰地指出它们的适用条件和结论差异，避免了知识点之间的混淆。在习题的选择上，看得出编辑团队是下了功夫的，既涵盖了基础运算的扎实训练，又融入了工程或物理背景的应用题，让我能真切感受到高等数学在现实世界中的用途，这极大地激发了我学习的兴趣。这种注重实用性和体系化的编写风格，让这本书成为了我书架上利用率最高的一本工具书。

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这本书简直是为我们这种数学基础薄弱，又想在高等数学这门课上有所突破的人量身定做的！我原本对微积分和线性代数这类抽象概念感到头疼不已，总觉得那些公式和定理离我十万八千里远。然而，自从翻开这本《高等数学知识要点与习题解析》后，我的学习状态焕然一新。它没有上来就抛出一大堆晦涩难懂的定义，而是用一种非常生活化的语言，将那些原本高高在上的数学概念娓娓道来。比如，在讲解极限的时候，作者似乎化身为一个经验丰富的老教师，用生动的比喻解释了“趋近”的真正含义，让我这个初学者也能迅速抓住核心。更让我惊喜的是，书中的例题和习题的难度设置非常合理，循序渐进，让人感觉每攻克一个难点，自己的数学功力就提升了一截。对于那些我反复琢磨都想不明白的知识点，后面的解析部分简直是我的救星，逻辑清晰，步骤详尽，甚至连一些容易出错的陷阱都被特别标注出来。这本书最大的优点在于，它不仅仅是一本题库，更像是一位耐心的私人导师，时刻在我身边指导方向。

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我手里拿着的这本高等数学教材，说实话，内容编排上实在有些老派，概念堆砌得让人喘不过气。我急需一本能帮助我快速梳理框架、直击考点的辅导书，幸好我找到了这本“知识要点与习题解析”。它的排版设计非常现代，章节划分清晰明了，一眼就能看出重点和难点所在。我特别欣赏它在每个知识点旁标注的“高频考点”标签，这让我能够把有限的精力投入到最有可能在考试中出现的领域。我试着做了几套书后的模拟测试，发现自己对于那些复杂函数的求导、定积分的应用题型，掌握得比以前扎实多了。这绝不仅仅是靠死记硬背得来的，而是因为书中的解析部分，总是能深入挖掘出解题背后的数学思想和方法论。它不是简单地告诉你“答案是A”，而是告诉你“为什么A是正确的，而B、C、D为什么是错误的，它们分别对应着哪种常见的思维误区”。这种深度的剖析，极大地提升了我对数学的整体理解能力，让我从一个“解题工人”逐渐转变为一个具有一定分析能力的“数学思考者”。

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我对数学辅导书的要求一向很高，首先是概念必须准确无误，其次是解题步骤的逻辑性必须无可挑剔。市面上有些书为了追求新颖的解题方法，反而把简单的问题复杂化了，让人看得晕头转向。这本书的处理方式则截然不同，它坚持从最基本的定义和公理出发，层层递进，确保每一步推导都站得住脚。我特别喜欢它在介绍一些高级概念，比如泰勒级数或者向量场的梯度和旋度时，会先回顾相关的基础知识，这对于我这种容易“遗忘前因后果”的学习者来说，简直是福音。更不用说那些针对特定题型的“秘籍”总结，它不是提供什么所谓的“捷径”，而是系统地总结了解决某一类问题的通用框架和思维路径，一旦掌握了这个框架，面对同类新题时，我都能自信地找到切入点。这本书的价值在于，它不仅仅是帮你通过考试，更是在悄无声息中重塑你对严谨数学思维的认知。

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坦白讲，我购买很多数学辅导书都是冲着“解析”两个字去的，结果往往是拿到了一堆只有标准答案的习题集，真正的解析少得可怜，或者就是几行字带过，根本无法解决我的疑惑。然而，这本《高等数学知识要点与习题解析》给了我一个极大的惊喜。它的习题解析部分，简直是教科书级别的详尽！特别是对于那些证明题，它不仅给出了标准的证明过程，还提供了好几种不同的证明思路，这对于培养发散性思维至关重要。记得有一次我被一个三重积分的区域划分难住了，书上的解析图文并茂，用三维坐标系清晰地展示了积分的上下限是如何确定的，让我茅塞顿开。而且，书中的知识点总结部分，也极其精炼，不是那种啰嗦的叙述，而是用非常精炼的公式和定理列表形式呈现，非常适合考前快速复习和查漏补缺。对于我这种需要高效复习的学生来说，这种“精准打击”的学习材料，价值无可估量。

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