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出版者:中国劳动社会保障出版社

作者:徐娟珍

出品人:

页数:348

译者:

出版时间:2005-7

价格:32.00元

装帧:

isbn号码:9787504548818

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 提高
• 练习
• 同步辅导
• 课后训练
• 能力提升
• 初中数学
• 解题技巧
• 应试
• 培优

探秘奥秘：《超越代数之光》—— 一本关于基础数学的深度探索 图书名称： 《超越代数之光》 图书简介： 本书并非一本旨在直接提高竞赛水平的速成手册，它更像是一场对数学思维深层结构的精密解剖与哲学思辨。我们深知，真正的数学能力并非源自对公式的机械记忆，而是根植于对概念本质的深刻理解和逻辑链条的严密构建。《超越代数之光》致力于填补传统教材中因追求进度而常常被忽略的“理论基石”部分，带领读者回溯那些看似简单，实则蕴含着巨大智慧的数学概念源头。 全书共分为五个主要部分，每一部分都围绕一个核心数学领域展开，但视角独特，旨在激发读者跳出舒适区，以全新的、更具批判性的眼光审视这些领域。 --- 第一部分：数的起源与结构——从构造到抽象 本部分将读者带回到数学的“前代数”时代，探讨我们如何从自然数的直观概念过渡到实数系的严密构建。我们不会仅仅罗列公理，而是深入探讨皮亚诺公理体系的必要性与完备性，以及自然数如何通过集合论的视角被形式化。 重点章节包括：“无限的层次：良序原理与超限归纳法”，探讨了集合论中处理“多大”的难题，这为后续理解函数空间和拓扑学的无限性打下了坚实的集合论基础。我们详细剖析了有理数域的构造过程，强调了“完备性”在微积分中的决定性作用，这比单纯学习极限的运算要深刻得多。此外，本书还引入了代数数与超越数的初步概念，不是为了计算具体的值，而是为了理解数字的“可构造性”和“丰富性”之间的哲学张力。我们审视了高斯如何通过构造性证明确定了代数数的边界，并讨论了哥德尔不完备性定理对数学基础的冲击，尽管这并非本书的核心内容，但这种对“确定性”边界的探讨，对于培养科学思维至关重要。 --- 第二部分：几何学的重塑——从欧几里得到黎曼的视野 传统的几何教学往往止步于欧氏几何的定理证明。《超越代数之光》则将视角扩展至非欧几何的诞生。本部分着重于解析几何与微分几何的“桥梁”作用。我们花费大量篇幅来解析笛卡尔坐标系如何解放了束缚于图形的几何直觉，使其成为代数计算的工具。 核心探讨在于“平行公设”的命运。我们详细分析了罗巴切夫斯基和黎曼在放弃平行公设后所构建的几何世界。通过引入曲率的概念，我们不再将几何视为对客观世界的描述，而是将其视为一种内在的、由度量决定的结构。例如，我们深入探讨了测地线（最短路径）在不同曲率空间中的表现差异，这直接关系到相对论中时空弯曲的概念。读者将学习如何用张量（而非简单的坐标函数）来描述几何对象，理解坐标变换背后的不变性原则——这是现代物理学和高级几何学的共同语言。本书避免了复杂的张量分析计算，转而侧重于张量的几何意义，即它们如何表达内在的几何关系，而不依赖于外部的参考系。 --- 第三部分：函数的本质与极限的哲学——微积分的“为什么” 本部分是对微积分基础概念的“祛魅”。我们认为，仅会求导和积分是远远不够的，更重要的是理解“为什么”这些工具在处理变化时是有效的。我们从柯西的 $epsilon-delta$ 语言出发，严格地重新定义了极限、连续性和收敛性。我们探讨了黎曼积分和勒贝格积分之间的根本区别，理解后者为何在泛函分析等高级领域中不可或缺。 特别关注“无穷级数”的收敛性测试，不仅是交替级数判别法，更在于理解阿贝尔和、逐项求导和逐项积分的条件限制。我们通过傅里叶级数初步展示了如何用最简单的周期函数（正弦和余弦）来分解和重构极其复杂的任意函数，这揭示了“离散”与“连续”之间深刻的联系。这种对收敛性的执着探讨，旨在培养读者对数学结论的审慎态度：结论的有效性取决于其前提条件的满足程度。 --- 第四部分：离散世界的规律——组合学的逻辑与图论的结构 现代数学的两个主要分支——连续数学与离散数学——需要互相印证。《超越代数之光》的第四部分聚焦于计数、结构和关系。本部分不仅仅是排列组合公式的堆砌，而是侧重于“构造性证明”的思维训练。 我们探讨了鸽巢原理的多种推广形式，并用它来证明一些看似与计数无关的定理。图论部分，我们聚焦于图的不变量（如连通性、色数）及其在现实问题中的映射。我们详细剖析了欧拉路径的遍历问题，并将其推广到更一般的网络流问题。对于组合学，本书深入介绍“生成函数”作为处理复杂计数问题的“代数工具箱”，它将乘法运算（卷积）转化为加法运算，极大地简化了递归关系的求解。这种将结构问题转化为代数问题的能力，是解决复杂算法问题的关键。 --- 第五部分：逻辑与证明的艺术——数学思维的内观 全书的收尾部分是对前述所有知识进行“提纯”的尝试，即探讨数学知识是如何被构建和验证的。我们不教授形式逻辑的符号系统，而是侧重于对不同证明方法的理解与运用。 本章详细分析了数学证明的几种基本范式：直接证明、反证法（以及何时使用它）、构造性证明、数学归纳法（以及其强弱形式的适用场景）。我们通过具体的例子，展示了“构造一个反例”如何比“证明一个普遍真理”更具挑战性和启发性。更重要的是，本章讨论了数学中的“猜测”（Conjecture）与“定理”（Theorem）之间的区别，培养读者对未解决问题的敬畏之心和对尚未被证明的知识的批判性评估能力。 --- 适合读者： 本书适合那些已经掌握了中学基础数学知识，但渴望了解这些知识背后的“为什么”和“如何被构建”的求知者。它面向的是那些对数学的严谨性、美学和哲学深度感兴趣的本科生、有抱负的教师，以及任何希望系统提升逻辑思维和抽象概括能力的自学者。阅读本书需要耐心和对细节的关注，它提供的不是速效药，而是持久的思维营养。它将教会你如何像一个数学家一样思考，而非仅仅像一个计算器一样操作。

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这本书的排版和印刷质量倒是无可挑剔，纸张细腻，装帧结实，看得出是用心制作的。但内容上，它给我的感觉像是直接从某个顶尖大学的内部讲义中抽出来的，完全没有经过“大众化”的加工。我尝试去理解其中关于高维几何的章节，书中对流形边界的描述，简直是纯粹的数学语言堆砌，没有任何可视化辅助。想象一下，你要通过文字描述，在十维空间中想象一个“曲面”，这已经非常困难了，而作者仅仅用了三行字就带过了这个复杂概念，然后直接进入了相关的微分方程求解。这迫使我不得不停下来，去寻找相关的三维或四维的类比图示，但即便如此，那种“理解了”的感觉也总是停留在表面。这本书的价值可能在于为专业人士提供一个精确的参考手册，但对于希望通过阅读来获得数学“顿悟”的普通读者而言，它提供的更多是概念上的轰炸。我更喜欢那种能引导我思考的书，而这本书更像是一个知识的仓库，我已经找到了入口，但里面所有的货物都用我看不懂的标签封存着。

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这本厚重的砖头书，拿到手里就感觉分量十足，封面设计得极为简洁，黑底白字，透着一股子朴素和严肃。我本来是冲着提升自己的数学思维去的，结果翻开目录才发现，内容深度简直把我这个业余爱好者甩出了好几条街。里面充斥着大量我闻所未闻的抽象代数和拓扑学的概念，什么群论、环论的定义和定理，看得我云里雾里的。作者似乎默认读者已经具备了扎实的微积分和线性代数基础，很多地方的推导直接跳过了中间步骤，留给我一连串的问号。比如，关于范畴论的介绍，那简直就是天书，图示和符号的组合完全超越了我目前的认知水平。我花了整整一个下午，试图理解其中关于“同构”的解释，最终放弃了，感觉自己像是站在悬崖边，看着对面山顶上的风景，但无论如何也找不到攀登的路径。这本书更像是一本面向专业研究生的教材，而不是面向“提高”的读物。如果只是想巩固高中或本科基础知识，这本书只会带来挫败感，它提供的知识密度太大了，需要极强的数学直觉和长时间的沉浸式学习才能消化。我甚至怀疑，市面上真的有读者能轻松驾驭这样的内容吗？它更像是作者向数学世界抛出的一枚深水炸弹，激起的涟漪只有极少数人能看懂。

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我买这本书的初衷，是希望它能帮我打通一些平时学习中遇到的瓶颈，特别是那些需要更深层次逻辑训练的部分。然而，这本书的行文风格极其晦涩，仿佛作者在进行一场私密的数学对话，而我恰好是那个被遗漏的听众。它不像市面上常见的“趣味数学”读物那样，用生动的例子或者类比来引入复杂的概念。相反，它上来就是公理、定义、引理、定理，结构严谨到令人窒息。阅读体验极其不友好，我必须频繁地查阅其他入门级的参考书来理解其中提到的某个术语的背景。例如，书中在讨论数论时，涉及到了模形式的性质，但对“模形式”本身的背景介绍少之又少，直接就进入了它的变换性质和拉马努金猜想的某些推论。这使得我无法建立起一个完整的知识框架。这本书的优点在于其内容的完备性和逻辑的自洽性，但代价是牺牲了所有对初学者的友好度。对于我这种需要循序渐进的学习者来说，它更像是一面冰冷的镜子，清晰地映照出我知识体系中的巨大鸿沟，却不提供任何帮助我跨越的梯子。

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这本书的章节安排看起来很有逻辑性，似乎是从基础理论一步步推向更前沿的课题。但实际上，这种“基础”的起点非常高。它对数理逻辑和集合论的论述，更像是对一个成熟体系的总结，而不是对如何建立这个体系的引导。我发现自己对很多“显然如此”的证明感到困惑，因为作者在证明过程中大量使用了集合论中的一些高级技巧，比如选择公理在某些证明中的微妙作用，而这些细节在我的基础教育中是被一笔带过的。阅读这本书，感觉自己像是在学习一门已经发展了数百年的古老语言的最高级语法，而不是学习如何用这门语言来交流。它缺乏一种“构建”的乐趣，更多的是对一个既成事实的“验证”。我期待的是能看到数学思想的火花是如何诞生的，但这本书提供的，是一个已经打磨得非常光滑的、成品化的数学结构。对于想提升“如何思考”的人来说，它提供的帮助有限，它更像是一个“知识库”，而不是一个“思维训练营”。

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我花了很长时间才下定决心购买这本书，因为它的名字听起来像是能提供那种“醍醐灌顶”的数学智慧。然而，阅读的过程更像是一场漫长而艰苦的拉力赛，需要极大的毅力。书中对概率论和统计物理的交叉领域有所涉猎，但其处理方式极其偏向于测度论的基础，而不是应用层面的模拟和推断。比如，在介绍布朗运动的某些路径积分时，它直接引用了伊藤积分的定义，却没有解释为什么传统的黎曼积分在这里失效，以及这种新积分如何与物理直觉相协调。这种处理方式让我的阅读体验充满了停顿和回溯。我需要不断地在脑海中建立各种替代模型来理解作者的意图，这极大地减慢了阅读速度。这本书对于那些需要将数学作为工具快速解决实际问题的读者来说，可能是低效的。它追求的是数学的纯粹性和严密性，而非实用性和可及性。每一次翻页，都像是在攀登一座陡峭的冰壁，每一步都需要精确的卡点和力量的分配，稍有不慎就会滑落。

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