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出版者:北京邮电大学出版社

作者:阮传概

出品人:

页数:397

译者:

出版时间:2003-1

价格:21.00元

装帧:

isbn号码:9787563507603

丛书系列:

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• 阮传概
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《现代线性代数基础：从向量空间到谱理论》 本书简介 本书旨在为读者构建一个扎实而深入的现代线性代数知识体系，内容涵盖了从最基础的向量空间理论到高级的谱理论和应用。本书的视角力求在严谨的数学结构与直观的几何解释之间取得平衡，特别关注抽象概念在实际问题中的建模与求解能力。 第一部分：向量空间与线性变换的本质 第一章向量空间与子空间：本章从集合论的视角出发，详细阐述了向量空间的定义及其基本性质。我们将探讨域（Field）的选择对向量空间结构的影响，特别是实数域 $mathbb{R}$ 和复数域 $mathbb{C}$ 上的空间。核心内容包括线性组合、线性无关性、生成集以及基（Basis）的概念。我们将通过具体的例子，如函数空间 $C[a,b]$ 和多项式空间 $P_n(x)$，帮助读者理解有限维与无限维空间的区别。子空间的概念将被严格定义，并讨论子空间的交集与和空间的构造。 第二章线性变换与矩阵表示：线性变换是连接不同向量空间之间的桥梁。本章聚焦于线性变换的性质，如核（Kernel）和像（Image）空间，以及秩-零化度定理（Rank-Nullity Theorem）的普适性。随后，我们将深入探讨矩阵如何作为线性变换在特定基下的具体“快照”。章节的核心在于基变换如何影响矩阵的表示，这为后续理解相似矩阵奠定了基础。我们还将介绍同构（Isomorphism）的概念，强调同构空间在代数结构上的等价性。 第三章有限维向量空间中的矩阵运算：本章回归到矩阵代数的具体运算，但始终保持其作为线性变换的视角。详细讨论矩阵的乘法、逆矩阵的求解，以及行列式（Determinant）的代数和几何意义，特别是它如何度量线性变换对体积的缩放因子。我们还将介绍行列式的计算方法，包括代数余子式和拉普拉斯展开，并讨论矩阵的初等行变换与初等矩阵。 第二部分：结构与分解 第四章特征值与特征向量：本章是理解矩阵动力学和系统稳定性的关键。我们首先定义特征方程，并系统地求解特征值和对应的特征向量。重点将放在特征值代数重数（Algebraic Multiplicity）和几何重数（Geometric Multiplicity）的比较上，这是判断矩阵可对角化性的重要依据。我们还将探讨特征多项式、最小多项式与矩阵多项式。 第五章对角化与相似性：基于前一章的结果，本章专门讨论矩阵的对角化条件。我们将介绍相似矩阵的等价类概念，并解释对角化在计算矩阵幂和求解微分方程组中的高效性。对于不可对角化的矩阵，本章会预留空间，为下一章介绍更一般的标准形做铺垫。 第六章欧几里得空间与内积：本章将代数结构与几何直观相结合，引入内积（Inner Product）。详细讨论内积空间（如 $mathbb{R}^n$ 上的标准内积或函数空间上的积分内积）的性质，如长度、距离和正交性（Orthogonality）。施密特（Gram-Schmidt）正交化过程将被详尽阐述，并用于构造正交基。这为傅里叶分析等应用打下坚实的基础。 第七章正交矩阵与最小二乘法：正交矩阵作为保持长度和角度的特殊线性变换，在旋转和坐标变换中至关重要。本章将分析正交矩阵的性质。随后，我们将应用正交投影的概念来解决最小二乘问题，这是在不相容线性方程组中寻找“最佳”近似解的核心方法。 第三部分：高级理论与结构分解 第八章Jordan标准型：对于不可对角化的矩阵，本章提供了一个普适的、标准化的表示形式——Jordan标准型（Jordan Canonical Form）。我们将详细解释Jordan块的结构，并给出如何通过广义特征向量来构造Jordan基的系统算法。这章内容对理解线性微分方程组的解的结构至关重要。 第九章二次型与正定性：二次型是二次函数在向量空间上的推广。本章研究二次型的矩阵表示，特别是对称矩阵的性质。通过特征值分析，我们将介绍二次型的合同变换（Congruence Transformation）和主轴定理，最终确定二次型的正定性（Positive Definiteness），这在优化问题中具有核心地位。 第十章谱理论基础：本章将聚焦于对称矩阵（在实数域上）或厄米特矩阵（在复数域上）的特殊结构。谱定理（Spectral Theorem）将被严格证明，揭示了这些矩阵拥有一组完备的实特征值和相互正交的特征向量这一深刻的代数几何事实。谱理论是泛函分析和量子力学中算符理论的基石。 第十一章广义特征值问题与矩阵函数：本章拓展了特征值概念的应用范围。我们将讨论广义特征值问题 $mathbf{Ax} = lambda mathbf{Bx}$，这在线性系统的阻尼振动分析中非常常见。最后，我们将探讨矩阵函数的定义，如 $mathrm{e}^A$ 和 $sin(A)$，主要通过其泰勒级数展开和Jordan形式进行计算，这是求解线性常微分方程组的关键工具。 附录：基础概念回顾 附录A：集合论基础与域的代数性质。 附录B：复数与多项式理论的必要回顾。 本书的难度定位介于标准微积分教材后的线性代数课程与研究生层次的抽象代数课程之间，力求全面覆盖现代工程、科学计算及数学分析所需的核心代数工具。

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这本书的装帧和排版，说实话，是那种典型的理工科教材风格，朴实无华，甚至可以说有点古板。纸张略显粗糙，油墨味也比较重，但好处是阅读时反光度低，长时间盯着看眼睛不容易疲劳，这对于需要攻克复杂问题的读者来说，算是一个可以接受的小妥协。内容组织上，我个人最欣赏它在章节末尾设置的“工程背景拓展”栏目。这部分内容往往会跳脱出纯粹的数学推导，去探讨某个代数工具（比如特征值分解）是如何被应用到优化算法、机器学习的降维处理，甚至是机器人运动学中的坐标转换。这些拓展知识点虽然不属于核心考核范围，却是真正能体现“工程”二字的精髓所在。我尤其喜欢其中关于“奇异值分解（SVD）”如何应用于图像压缩和数据去噪的案例，那简直是把晦涩的理论用最直观的视觉效果展示了出来，让我瞬间理解了为什么矩阵分析在现代信息工程中能占据如此核心的地位。这本书的深度足够支撑研究生阶段的学习，广度却也覆盖了本科阶段的应用需求，定位非常精准。

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拿到这本书的时候，我内心其实是有些忐忑的。毕竟“工程高等代数”这个名字听起来就带着一股子硬邦邦的学术气息，感觉里面塞满了各种抽象的定理和复杂的公式，对于我们这些更侧重于实际应用的工程师来说，是不是有点“杀鸡用牛刀”？翻开目录，第一章的矩阵理论和第二章的线性空间划分就让我开始头疼，那些向量空间的基、线性变换的矩阵表示，仿佛把我拉回了大学时代那个被数学公式包围的教室。不过，当我耐下心来仔细阅读后面关于应用的部分时，才发现这本书的切入点其实非常贴合实际。它不像纯数学教材那样只停留在理论的推导上，而是用大量的工程案例来佐证抽象概念的实际意义，比如在结构力学中如何用矩阵来求解应力分布，或者在信号处理中如何通过傅里叶变换将复杂的波形分解。这种理论与实践相结合的叙述方式，确实大大降低了理解的门槛，让我这个非科班出身的工程人员也能窥见高等代数在工程领域那令人惊叹的威力。书中对每一个概念的引入都显得小心翼翼，生怕读者跟不上节奏，这一点对于自学或者作为工具书来查阅来说，是非常友好的设计。

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作为一本工具书来参考，这本书的索引和附录部分的设计值得称赞。清晰的术语表和常见公式汇总，让我在面对具体项目时能快速定位所需知识点，不必翻遍全书去寻找某个特定矩阵的定义或者某个定理的精确表述。特别是附录中关于MATLAB或Python等常用数值计算软件中对应代数运算函数的调用示例，这一点体现了编者对现代工程实践的深刻理解——如今的工程师很少进行手算，高效地利用工具才是关键。然而，如果能再增加一些关于“高维数据可视化”中线性代数应用的实例，这本书的价值会更上一层楼。当前案例主要集中在力学、电路和信号处理等传统领域，对于大数据分析或现代优化算法中涉及的高维几何直觉的培养，略显不足。总体来说，它是一本扎实、可靠的参考资料，尤其适合那些需要将线性代数的抽象框架落地到具体工程问题中的在职工程师和高年级本科生，尽管在某些前沿应用实例上略有保守，但其核心内容的严谨性是毋庸置疑的。

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这本书的难度曲线，我感觉设计得有些不平稳。前三分之一部分，围绕线性方程组的求解、高斯消元法以及基本矩阵运算的讲解，讲解详尽，步骤清晰，即便是初次接触的读者也能很快掌握核心技巧。例如，作者在讲解秩与线性相关性时，用到了非常形象的桥梁结构稳定性作为例子，让“冗余约束”的概念变得不再空洞。然而，当进入到特征值、特征向量以及正交变换这块时，难度陡增，理论的抽象性一下子拔高了。我发现即便是书中的例题，也开始大量依赖于复杂的数值计算，很多步骤如果没有计算器或编程辅助，手动完成几乎不可能。这让我开始怀疑，这本书的目标读者群体究竟是偏向于理论研究者，还是面向工程实践者？如果目标是实践者，那么在讲解特征值与稳定性分析时，能否提供更多关于数值稳定性和误差分析的实用性建议，而不是仅仅给出理论结论，或许会更好。总体来说，它像一把双刃剑，理论深度足够，但对读者的数学功底要求也相应提高了。

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我是一个对数学“美感”要求比较高的读者，阅读一本书，除了知识的获取，也追求思维逻辑的流畅与优雅。这本书在逻辑的连贯性上做得相当不错，它始终坚持将代数概念服务于工程目标。比如，在讨论多项式在工程控制中的应用时，作者并没有像纯数学教材那样直接堆砌抽象的定义，而是将控制系统的传递函数，巧妙地转化成了多项式的根的问题，进而引出了李雅普诺夫稳定性判据的矩阵形式。这种“从问题出发，用代数工具解决”的叙事结构，极大地增强了阅读的代入感。唯一的遗憾是，书中对部分证明的跳跃性略大。虽然是为了精简篇幅，但对于一些关键引理的推导过程，如果能更详尽地展示每一步的逻辑跃迁，比如某些变换的动机和依据，对于希望深入理解证明精髓的读者来说，会更有助益。它更像是一位经验丰富的老教授在做知识点梳理，关键点都点到了，但那些“为什么是这样想”的思考过程，还需要读者自己去挖掘和补充。

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阮老师讲的很好

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