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出版者:高等教育出版社

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出版时间:1900-01-01

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isbn号码:9787040008616

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图书简介：深入理解线性代数与概率统计的基石 书名： 线性代数与概率统计精要（第1版） 作者： 李明 教授 / 王芳 副教授 出版社： 科学与教育出版社 出版日期： 2023年10月 --- 导言：构建现代科学与工程的数学框架 在当今以数据驱动和复杂系统为特征的科学与工程领域，线性代数和概率统计已不再是辅助工具，而是构建核心理论与解决实际问题的关键数学语言。本书《线性代数与概率统计精要》旨在为理工科学生、研究人员以及需要深入理解现代数据分析方法的专业人士，提供一套严谨、直观且实用的知识体系。本书不侧重于对微积分概念的重复论述，而是完全专注于线性代数和概率统计这两个独立而紧密关联的分支，力求在有限的篇幅内，实现知识的深度与广度的完美平衡。 --- 第一部分：线性代数的内在结构与应用 线性代数是描述和分析多维空间结构、变换以及大规模系统相互关系的数学基础。本书的线性代数部分，从最基础的向量空间概念出发，逐步深入到矩阵的理论、特征值分解，以及在现代计算科学中的实际应用。 第一章：向量空间与线性变换的几何直觉 本章彻底重构了向量空间的定义，超越了二维和三维空间的直观理解。我们详细阐述了子空间、线性无关性、基与维数的概念，并通过抽象的例子展示了抽象向量空间（如函数空间）的性质。 核心内容： 1. 域与向量空间的基础公理： 严格定义了数域（实数域与复数域）对向量空间结构的影响。 2. 基的选取与坐标表示： 如何通过不同的基向量组来表示同一向量，以及坐标变换矩阵的推导过程。重点分析了坐标表示对后续计算效率的影响。 3. 线性映射（变换）的核与像： 深入探讨了线性变换的几何意义，特别是零空间（核）和值域（像）在理解变换性质中的作用。通过图示法清晰展示了投影、旋转、伸缩等基本变换。 第二章：矩阵运算与线性方程组的求解 本章聚焦于线性代数的“计算核心”——矩阵。我们不仅复习了矩阵的乘法和逆矩阵，更重要的是，将求解线性方程组视为一个系统性的过程。 核心内容： 1. 初等行变换与行阶梯形： 详细介绍了高斯消元法和高斯-约旦消元法的精确步骤，强调了矩阵的秩与方程组解集的唯一性、有解性之间的内在联系。 2. 矩阵的分解： 重点讲解了LU分解（用于高效求解多个相似系统的）、QR分解（在最小二乘法中的应用基础）的计算过程和理论意义。 3. 矩阵的秩与基本子空间： 详述了行空间、列空间、零空间以及左零空间的相互关系，并引入了“四个基本子空间的正交性定理”，这是理解投影和最小二乘法的关键。 第三章：特征值、特征向量与相似性理论 特征值问题是分析动态系统稳定性和矩阵性质的核心。本章致力于揭示矩阵的“内在属性”。 核心内容： 1. 特征值与特征向量的求解： 不仅包括代数方法，更探讨了特征多项式的性质，以及在复数域中处理特征值。 2. 对角化理论： 阐述了矩阵可对角化的充要条件，并展示了如何利用特征分解来简化矩阵的乘方运算（如计算$A^k$）和求解线性常微分方程组。 3. 对称矩阵的特殊性质： 深入分析了实对称矩阵的正交对角化，这是谱理论的基础，广泛应用于主成分分析（PCA）等领域。 第四章：内积空间与正交性 本章将线性代数的概念从简单的乘积推广到更广阔的内积空间，从而引入了“角度”和“距离”的概念。 核心内容： 1. 内积的定义与性质： 推广了欧几里得空间的点积概念，适用于函数空间或其他抽象空间。 2. 施密特正交化： 详细介绍了如何将一组基向量转化为一组正交基的过程，这是傅里叶分析、信号处理的理论基石。 3. 正交投影： 阐述了向量在子空间上的最佳近似（正交投影），并将其直接应用于最小二乘法，解决超定方程组的“最优”解问题。 --- 第二部分：概率论与数理统计的随机性建模 概率统计是处理不确定性和从数据中提取可靠结论的数学工具。本书的统计部分强调从随机变量的理论构建到实际数据分析的完整逻辑链条。 第一章：概率论基础与随机事件的数学描述 本章建立概率论的公理化基础，并侧重于离散和连续随机变量的刻画。 核心内容： 1. 概率的基本公理与条件概率： 严格定义了样本空间、事件代数，并深入探讨了乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式的实际应用场景。 2. 随机变量及其分布函数： 详细区分了离散型随机变量（如二项分布、泊松分布）和连续型随机变量（如均匀分布、指数分布）的概率质量函数（PMF）和概率密度函数（PDF）。 3. 期望、方差与矩： 介绍了随机变量的数学期望（均值）的意义，以及方差、矩在描述分布形状中的作用。重点分析了期望的线性性质。 第二章：多维随机变量与随机过程的初步 现实世界的问题往往涉及多个相互关联的随机量。本章处理随机变量的联合分布及其相互依赖性。 核心内容： 1. 联合分布与独立性： 学习如何描述两个或多个随机变量的共同行为，以及如何判断变量间的独立性。 2. 协方差与相关系数： 引入衡量线性相关性的关键指标，并区分相关性与独立性的区别。 3. 随机变量的函数： 探讨随机变量经过函数变换后的新分布的求解方法（如雅可比变换法）。 4. 大数定律与中心极限定理： 这是连接概率论与数理统计的桥梁。重点分析中心极限定理（CLT）在近似正态分布中的核心地位和适用条件。 第三章：数理统计的基础：参数估计 本章转向数据驱动，介绍如何从观测样本中推断总体的未知参数。 核心内容： 1. 充分统计量与完备性： 介绍有效估计量的概念，并使用费希尔-尼曼因子分解定理来识别最优的统计量。 2. 点估计方法： 详细对比和讲解矩估计法（MOM）和极大似然估计法（MLE）。对MLE的性质（如渐近正态性、有效性）进行理论剖析。 3. 估计量的优良性质： 深入分析无偏性、有效性、一致性这些评估估计量质量的核心指标。 第四章：统计推断：假设检验与区间估计 在确认了参数的估计方法后，本章教授如何基于样本对关于总体的假设做出科学的决策。 核心内容： 1. 置信区间（区间估计）： 讲解如何构造对总体均值、方差和比例的置信区间，并解释置信水平的实际含义。 2. 参数假设检验的基本框架： 明确零假设（$H_0$）与备择假设（$H_1$）的设定，以及I类错误（$alpha$）和II类错误（$eta$）的权衡。 3. 常见检验的应用： 详细介绍基于正态分布（Z检验、t检验）和卡方分布（$chi^2$检验）的单样本和双样本检验，以及拟合优度检验。 --- 本书特色与适用对象 《线性代数与概率统计精要》在内容组织上注重理论的严谨性和计算工具的实用性相结合。每章后附有难度递增的习题，旨在巩固概念理解和提高实际建模能力。本书的数学推导清晰、逻辑流畅，是理解现代科学研究中不可或缺的数学语言的理想入门与进阶教材。 适用对象： 计算机科学、电子工程、经济学、金融工程以及应用数学专业本科生及研究生，以及所有希望系统性掌握这两个核心数学工具的专业人士。

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作为一名对数学应用极其看重的工科学生，我最欣赏这本《高等数学（第2版）（第2册）》中关于常微分方程和级数解法的处理方式。它没有将微分方程束之高阁，而是非常务实地将线性微分方程的解法与物理学中的振动问题、电路分析等实际工程背景紧密结合起来。比如，在讲解二阶常系数线性微分方程的通解结构时，它立刻就引入了阻尼振动的概念，这让我立刻找到了学习这部分理论的“靶子”——我知道我为什么要掌握这些求解技巧。至于幂级数和傅里叶级数的部分，处理得也相当细致。作者没有回避泰勒级数展开的收敛性区间问题，并且在介绍傅里叶级数时，非常清晰地阐述了其在信号处理和周期函数分析中的基础地位。尽管计算过程略显繁琐，但书籍在每一步运算中都保持了极高的准确性和规范性，这对于培养规范的数学表达习惯至关重要。总而言之，这本书为我们搭建了一个从理论到工程应用的坚实桥梁，让我觉得高等数学不再是空中楼阁，而是解决实际工程难题的有力工具箱。

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我必须指出，这本书在某些章节的难度曲线变化非常陡峭，尤其是在介绍多元函数微分学中的隐函数定理和反函数定理那几页时，阅读体验几乎可以说是“痛苦”的。那些涉及雅可比矩阵和行列式的推导，对于习惯了简单一元函数运算的我来说，简直是跨越式的挑战。我记得我为了理解反函数定理的条件和结论，查阅了至少三本其他版本的教材和网络上的十几个解析视频，才勉强能跟上这本书的论证思路。这暴露出一个特点：这本书的定位似乎更偏向于数理基础扎实、思维敏捷的精英教育体系，对于基础薄弱者，可能需要辅以大量的辅助阅读材料。然而，一旦你攻克了这部分难点，你会发现作者对这些定理的表述是极其精确和无懈可击的，它没有使用任何模糊不清的语言来掩盖数学的严密性。因此，如果你追求的是对数学定理的绝对精确理解和严谨的逻辑训练，这本书的深度是无可替代的，但前提是你必须做好心理准备，迎接它带来的智力挑战。

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从装帧设计和印刷质量来看，这本《高等数学（第2版）（第2册）》绝对是教科书中的“典范”。纸张厚实，不易透墨，即使我用荧光笔大面积涂抹，背面也几乎没有影响，这对于需要反复研读的教材来说，简直是福音。更值得称赞的是其符号排版，无论是积分符号 $int$ 还是偏导符号 $partial$，都清晰锐利，没有丝毫模糊不清的情况，这在阅读涉及大量符号的公式推导时，极大地减少了视觉疲劳和误读的可能。特别是涉及到张量和多重积分时，上下标的布局安排得错落有致，版面布局非常舒服，长时间阅读下来眼睛也不会感到酸涩。虽然内容本身是硬核的，但优秀的外观和排版设计，无疑提升了学习体验的愉悦度。这体现了出版方对学术严谨性和阅读舒适性的双重考量，使得这份学习资料本身就具有很高的收藏价值和使用价值，让人愿意把它放在手边，随时翻阅查阅。

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这本《高等数学（第2版）（第2册）》的教材，说实话，我是在大二上学期，备战微积分期末考试的时候才真正开始啃的。之前的基础实在是不太扎实，尤其是对定积分和微分方程那块儿，总是感觉云里雾里的。这本书的编排结构非常清晰，每一个章节的引入部分都会用一些贴近实际生活的例子来阐述概念的重要性，比如用计算不规则面积来引出定积分的意义，这个方法对我这种需要具象化才能理解抽象概念的学生来说，简直是救星。更让我印象深刻的是它的习题设计，难度梯度把握得恰到好处。前面的基础题巩固了基本公式和运算技巧，让我们能够稳扎稳打地建立起对知识点的信心；而后面的那些“思考与探索”或者“综合应用”题，则真正考验了我们对理论知识的融会贯通能力，有不少题目我光是理解题意就花了半小时，但一旦解出来，那种成就感是无与伦比的。这本书的讲解虽然严谨，但语言风格并不枯燥，作者似乎很懂得如何与处于不同学习阶段的学生进行“对话”，使得原本被视为畏途的知识点，变得可以接近、可以掌握。我个人认为，对于自学或者需要深度理解微积分核心思想的理工科学生来说，这本书的价值远超其标价。

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我不得不承认，初次接触这本教材时，内心是抗拒的，因为它厚重，内容密度极高，总感觉像是在攀登一座知识的高山。然而，随着课程的深入，我发现它在处理多变量微积分的向量场和曲面积分时，展现出了极高的专业水准和编排艺术。作者对格林公式、斯托克斯公式以及散度定理的推导过程，描述得极其详尽且逻辑链条完整，几乎没有跳跃的步骤，这对于理解这些高阶定理的几何直觉至关重要。市面上很多教材在讲解这些内容时，为了追求简洁而牺牲了深度，导致学生只能死记硬背公式，无法真正理解其背后的物理或几何意义。但这本教材在这方面做得非常到位，它不仅给出了严密的数学证明，还配有大量的图示来辅助理解，比如在讲解曲面积分时，那些三维坐标系的示意图，真的帮助我“看”到了那个积分是在对哪个面进行运算。我用了不少时间去研读其中的证明部分，发现作者的叙述方式有一种老派数学家的严谨和耐心，非常适合那些追求学术深度，不满足于“知道怎么算”而想知道“为什么这么算”的读者。这本书无疑是课堂教学的坚实后盾，更是未来从事理论研究的必备参考。

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