微分流形初步 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

简体网页||繁体网页

☆☆☆☆☆

出版者:高等教育出版社

作者:

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1900-01-01

价格:18.50元

装帧:

isbn号码:9787040063912

丛书系列:

图书标签:

• 微分几何
• 流形
• 拓扑
• 数学
• 高等教育
• 教材
• 微积分
• 几何学
• 抽象代数
• 理论基础

数学分析中的几何视角：从欧几里得空间到抽象流形的桥梁 本书旨在为数学专业的学生、研究人员以及对现代几何学有浓厚兴趣的读者，提供一个坚实而直观的基础，用以理解和掌握微分几何学的核心思想。本书的叙事主线，是从经典微积分和线性代数中走出的自然延伸，逐步过渡到更抽象、更强大的现代几何语言。 我们将从回顾多变量微积分和拓扑学的基础开始，但视角将立刻转向更精细的结构。我们不会满足于仅仅在 $mathbb{R}^n$ 中操作，而是会引入局部坐标系的概念，强调在全局结构下，局部如何表现为我们熟悉的欧几里得空间。 第一部分：局部化与坐标变换的艺术 本部分聚焦于理解“微分”在弯曲空间中如何定义。 第一章：拓扑空间回顾与光滑性概念的引入 在深入讨论微分之前，我们首先需要一个精确的框架来谈论“接近”和“连续性”。我们从拓扑空间的定义出发，强调开集、闭集、紧致性和连通性等基本概念。随后，我们将讨论光滑函数的严格定义，并将其推广到嵌入在更高维空间中的曲面。理解函数在不同坐标系下的表示变化，是后续建立张量分析的基础。我们详尽地阐述了光滑映射的定义及其对结构的保持作用。 第二章：切空间——向量的精确归宿 在欧几里得空间中，向量可以自由地在原点进行平移。然而，在一般的几何对象上，我们需要一个精确的位置来谈论切向“方向”。本章的核心是切空间（Tangent Space）的构建。我们通过两条路径的导数（即曲线在流形上的切向量的极限）来直观地定义切向量。随后，我们将严谨地证明，在每个点上的切空间构成一个向量空间。这一构建的精妙之处在于，它完全独立于我们选择的坐标表示。我们还将介绍切向量场，它们是空间中每一点都附带一个特定切向量的连续分配。 第三章：张量与多线性代数在几何中的应用 微分几何的核心工具是张量。本章将张量视为对切空间和余切空间（Cotangent Space，即线性泛函的集合）进行多重线性映射的工具。我们首先回顾线性代数中的张量积，然后将其应用于几何背景。 1. 协变与反变张量（上指标与下指标）：解释为什么同一个几何量（如度量）在坐标变换下表现出不同的行为。 2. 张量场的概念：张量场是流形上每一点都关联一个张量的光滑分配。我们详细讨论了度量张量（Metric Tensor） $g$ 的引入，它允许我们在切空间中定义内积，从而测量长度和角度，这是黎曼几何的基石。 第二部分：微分结构的深化与外微分 在这一部分，我们将工具升级，从依赖于固定基底的向量分析，转向更具几何本质的微分形式的语言。 第四章：微分形式的构造与积分 我们介绍微分形式作为与张量对偶的概念。 1. 1-形式（余切向量）：它们是切向量的线性泛函。 2. 楔积（Wedge Product）：定义了形式的反对称性，这是理解高维积分的关键。我们构建了 $k$-形式空间 $Lambda^k(T^M)$。 通过这种语言，方向导数、梯度、旋度和散度可以被统一起来，不再依赖于坐标系的特定选择。 第五章：外微分算子 ($mathrm{d}$) 外微分 $d$ 是现代几何学中最优雅的算子之一。它将 $k$-形式映射到 $(k+1)$-形式。我们详细考察其基本性质： 1. 局部定义与坐标无关性：展示 $d$ 如何自然地推广了偏导数运算。 2. 关键恒等式：证明 $mathrm{d}(mathrm{d}omega) = 0$ 这一深刻的代数拓扑性质，它意味着所有“精确的”东西都是“封闭的”。 我们展示了经典向量微积分中的 $mathrm{grad}, mathrm{curl}, mathrm{div}$ 如何被 $d$ 的特殊情况所概括，强调了这种统一性的优越性。 第三部分：流形上的积分理论与拓扑联系 本部分将微分几何的工具与拓扑的内在结构相结合，引出广为人知的定理。 第六章：流形上的定向与积分 为了在弯曲空间上定义有意义的积分，我们需要定向（Orientation）的概念。我们引入积分流形（Orientable Manifold），并使用最高阶的微分形式（即体积形式）来定义 $mathrm{n}$-维积分。通过与 $mathbb{R}^n$ 上勒贝格积分的对比，我们确立了微分形式积分的严谨性。 第七章：斯托克斯定理的统一视角 本书的高潮是广义斯托克斯定理（Stokes' Theorem）的推导和应用。该定理简洁地表述为：一个流形上 $(n-1)$-形式在边界上的积分等于其外微分在一个 $n$-维区域上的积分。 $$int_{partial M} omega = int_M mathrm{d}omega$$ 我们通过将格林公式（平面）、高斯散度定理（三维）和经典斯托克斯定理（曲面）作为该统一公式的特例，展示了微分几何作为连接局部微分为全局拓扑结构的强大桥梁的作用。 结语：通往黎曼几何与纤维丛的展望 本书的讨论虽然停留在光滑流形的基础层面，但它为读者打开了大门，使其能够毫无障碍地进入更深入的研究领域，例如黎曼几何（引入度量张量后的测地线和曲率概念），以及纤维丛理论（处理更复杂的场，如电磁场或规范场）。通过对局部坐标系和坐标无关性概念的精细把握，读者将获得用现代数学语言描述几何现象的强大能力。全书旨在培养一种几何直觉，即理解对象“本身”的性质，而非其在特定坐标系下的表现。

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

这本书的语言风格可以说是“克制而有力”。作者似乎深谙数学写作的精髓：精确、简洁，但又不乏必要的阐释。我发现自己很少需要频繁地跳回前面的章节去重温定义，这在阅读复杂的数学著作时是非常难得的体验。这种高效的阅读体验，很大程度上归功于作者对核心概念定义的反复雕琢。比如，关于“光滑性”的讨论，作者从最基础的函数可微性出发，一步步推广到切向量场和光滑映射，每一步的限定条件都交代得清清楚楚，避免了任何可能引起歧义的陈述。对于我来说，这本书最让我感到惊喜的是它在引入李群和李代数概念时的处理方式。作者并没有将它们视为一个全新的、割裂的知识块，而是巧妙地将它们融入到流形上的向量场和流（Flow）的研究之中，展现了它们之间深刻的内在联系。这使得原本可能显得过于抽象的群论结构，立刻获得了鲜明的几何背景支撑。这本书读起来的感觉是，你不是在被动地接受知识，而是在和作者一同精心构建一个数学模型，每一步都充满了发现的乐趣。

评分☆☆☆☆☆

这本《微分流形初步》读起来就像是走进了一座错综复杂、但又无比精妙的数学迷宫。作者的叙述风格非常细腻，从最基础的拓扑空间概念开始，层层递进，将读者引入到流形这一核心概念的构建之中。我尤其欣赏作者在引入切空间和张量概念时的那种循序渐进的处理方式。一开始，你可能会觉得那些抽象的定义让人摸不着头脑，但随着后续例子的展开，比如如何通过图册（Atlas）来描述一个弯曲的表面，那种“啊哈”的顿悟感就出现了。书中对局部坐标系和全局结构的对比分析，非常到位。它不像某些教材那样，只是一味地堆砌公式，而是花了大量的篇幅去解释为什么我们需要这些工具，以及它们在几何学中的直观意义。比如，在讨论微分形式和外微分时，作者没有直接跳到复杂的积分表达，而是先用一些简单的二维曲面例子来展示它们的几何含义，这对于初学者来说是极大的福音。总而言之，它成功地架起了一座从点集拓扑到光滑几何的桥梁，让复杂的概念变得触手可及，但又不失其应有的严谨性。这本书的深度和广度都拿捏得恰到好处，绝对是自学或作为课程辅助教材的优选。

评分☆☆☆☆☆

老实说，这本书的难度曲线对于非数学专业的学生来说可能略显陡峭，但对于那些渴望真正理解现代几何学核心思想的人来说，它简直是一部宝藏。作者在书中展现出对细节的偏执，这在处理流形上的积分理论时体现得淋漓尽致。繁复的Stokes定理在本书中被拆解得非常细致，特别是对“定向”和“边界测度”的阐述，简直是教科书级别的典范。我记得有一次，我被困在一个关于上同调基础的例子上，翻阅了这本书的相应章节后，作者用一个关于曲面的向量场旋度（Curl）的例子，瞬间将抽象的代数结构具象化了。这种将高深理论与直观物理或几何现象紧密结合的能力，是本书最引人注目的特质之一。它不是那种“小白友好型”的入门读物，它要求读者带着一定的预备知识和足够的耐心去啃读。一旦你越过了最初的障碍，你会发现作者为你铺设的道路是如此平坦和富有启发性，每一个定理的证明都逻辑缜密，令人信服。

评分☆☆☆☆☆

这本书的行文节奏和内容取舍，明显是经过精心策划的，它似乎更倾向于培养读者的“几何直觉”而非单纯的“代数运算能力”。在处理曲率张量和测地线方程时，作者大量采用了协变导数的概念，并且在引入时，非常清楚地区分了不同类型的张量（如度量张量、曲率张量）在坐标变换下的行为差异。这种对比分析，有效地帮助读者区分哪些是“外在的”（依赖于坐标系的选择），哪些是“内在的”（流形固有的几何属性）。我特别喜欢它在每章末尾提供的“进一步阅读”建议，这些建议不仅包括了相关的经典著作，还囊括了一些现代物理学中流形应用的文献，这为有志于跨界研究的读者提供了极佳的指引。这本书的价值在于，它不仅仅教授了一套计算工具，更重要的是，它重塑了读者看待空间和结构的方式。它让你明白，在处理弯曲空间时，我们必须抛弃欧几里得空间的直觉，转而依赖于更本质的、依赖于局部观察和光滑过渡的数学语言。这是一次充满挑战但回报丰厚的知识探索之旅。

评分☆☆☆☆☆

当我翻开这本书的时候，我首先被它那种古典而严谨的排版风格所吸引。它散发着一种老派数学经典的韵味，仿佛是直接从某个二十世纪中叶的数学大师的讲义中誊录出来的。本书的组织结构非常清晰，每一个章节的过渡都显得逻辑性极强，很少有那种让人感到突兀或跳跃的地方。作者似乎非常注重读者在理解过程中的“粘性”——即如何让读者紧密地跟上思路而不至于迷失。例如，在介绍黎曼度量时，作者并没有立即给出那个复杂的度量张量的坐标表示，而是先花了一整节的篇幅来讨论“长度”和“角度”在弯曲空间中应该如何被定义，这种从直观到形式的铺垫，极大地增强了阅读的沉浸感。此外，书中对经典微分几何旧理论与现代流形理论的对比也做得非常出色，这使得那些有一定背景的读者能够迅速找到知识的连接点。唯一让我感到稍许吃力的是，某些章节的习题设计略显保守，更多地集中在计算和验证上，缺少一些启发性的、需要更高阶洞察力的探索性问题。不过，瑕不掩瑜，对于构建扎实的流形基础认知而言，这本书的贡献是毋庸置疑的。

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆