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出版者:化学工业

作者:刘彬

出品人:

页数:305

译者:

出版时间:2000-7

价格:27.00元

装帧:

isbn号码:9787502528065

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《微积分入门：概念与应用》 本书旨在为初学者提供一个扎实、直观的微积分基础。我们深知，数学，尤其是高等数学，往往被视为抽象和难以理解的学科。然而，微积分作为描述变化和运动的强大语言，在科学、工程、经济等众多领域都扮演着至关重要的角色。本书的目标正是打破这种隔阂，用清晰的语言、丰富的图示和贴近生活的例子，引导读者逐步领悟微积分的核心思想。 第一部分：导论与极限 在踏上微积分的旅程之前，我们会首先回顾一些基础的数学概念，包括函数、图像、坐标系等，确保读者拥有必要的知识储备。随后，我们将引入微积分的基石——极限。 函数的深入理解： 我们将不仅仅是定义函数，而是要探讨函数的性质，如单调性、奇偶性、周期性，以及它们在图像上的直观体现。通过大量的练习，读者将能够熟练地分析和理解各种函数的行为。 极限的思想： “无限接近”是微积分中最迷人的概念之一。我们将从直观的几何意义出发，例如一个点如何“无限接近”另一条曲线上的点，或者一个序列如何“无限接近”一个数值。我们会介绍数列的极限和函数的极限，并通过epsilon-delta语言来给出严谨的定义，但我们将重点强调其背后的思想和应用，而非过分纠缠于形式化的证明。 连续性： 极限的概念自然引出了函数的连续性。我们将通过图像来理解什么是连续的函数，以及不连续点的不同类型。连续性是后续积分概念的基础，因此我们将给予足够的关注。 重要的极限： 我们将学习一些在微积分中反复出现的关键极限，例如$e$的定义，以及三角函数的极限。这些极限不仅是理论上的重要工具，也是后续计算的基础。 第二部分：微分——变化的度量 微分是微积分的第一个核心概念，它用来描述事物变化的快慢程度。 导数的概念： 从平均变化率过渡到瞬时变化率，这是导数诞生的根本原因。我们将通过物理学中的速度和加速度例子，生动地展现导数是如何刻画瞬时变化率的。几何上，导数就是曲线在某一点的斜率，即切线的斜率。我们将通过大量的图像和几何解释来加深理解。 导数的计算： 掌握了导数的概念后，我们将系统地学习各种函数的求导法则，包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数的求导。我们将从定义出发推导这些法则，并提供丰富的练习题来巩固计算能力。 链式法则： 这是一个非常重要的求导工具，尤其是在处理复合函数时。我们将通过层层嵌套的例子，清晰地阐述链式法则的工作原理，并给出足够多的练习。 隐函数求导与参数方程求导： 对于一些不方便直接表示为$y=f(x)$形式的函数，我们将学习如何运用隐函数求导的方法。同时，对于用参数表示的曲线，我们也提供相应的求导方法。 高阶导数： 导数的导数，即二阶导数、三阶导数等，它们在描述物体运动的加速度、曲线的凹凸性等方面有着重要的应用。我们将学习如何计算高阶导数，并初步了解其意义。 微分的应用： 导数不仅仅是一个计算工具，它更是解决实际问题的利器。我们将深入探讨导数的各种应用： 函数性质的分析： 利用导数可以判断函数的单调性、求函数的极值（最大值和最小值），这是函数图像绘制的关键。 曲线的凹凸性与拐点： 二阶导数可以帮助我们分析曲线的凹凸性，找到函数的拐点，从而更精确地描绘函数图像。 洛必达法则： 当遇到$0/0$或$infty/infty$型的不定式极限时，洛必达法则提供了简便的计算方法。 优化问题： 在工程、经济等领域，常常需要找到最优解，例如最大利润、最小成本等。我们将通过大量实际例子，展示如何运用导数来解决这些优化问题。 相关变化率： 当两个或多个变量同时变化，且它们之间存在函数关系时，我们可以利用导数来计算它们的变化率之间的关系。例如，当一个圆的半径增大时，它的面积如何变化。 牛顿迭代法： 这是一种求解方程根的强大数值方法，其核心思想就建立在导数的概念之上。 第三部分：积分——累积与求和 积分是微积分的另一半，它用来描述累积量，或者说将无穷小的部分“加起来”。 定积分的概念： 从求面积开始，我们将引入定积分的思想。曲线下方区域的面积，如何通过分割成无穷多个无穷小的矩形并求和来近似计算，这是定积分的直观由来。我们将介绍黎曼和的概念，并展示定积分如何精确地表示这个面积。 不定积分与原函数： 如果说导数是“求变”，那么不定积分就是“求原”。我们将介绍不定积分的概念，即寻找一个函数的导数是给定的函数，这个寻找的过程就是积分。我们会学习基本积分公式，以及积分的线性性质。 牛顿-莱布尼茨公式（微积分基本定理）： 这是微积分中最具革命性的定理之一，它将微分和积分这两个看似独立的运算紧密地联系在一起。我们将详细解释微积分基本定理的内容，并通过大量例子展示如何利用它来高效地计算定积分。 积分的计算技巧： 掌握了牛顿-莱布尼茨公式后，我们仍然需要掌握各种积分的计算方法： 换元积分法（第一类和第二类）： 当被积函数结构复杂时，通过变量替换可以简化积分。我们将详细讲解两种换元方法的适用情况和操作步骤。 分部积分法： 这是处理乘积形式的被积函数的重要方法，其核心思想是将一个复杂的积分转化为一个更简单的积分。我们将从乘积法则的逆运算角度来理解分部积分法的推导。 有理函数的积分： 对于形如$P(x)/Q(x)$的有理函数，我们可以通过部分分式分解的方法将其转化为一些基本函数的积分。 三角换元： 当被积函数中出现$sqrt{a^2-x^2}$、$sqrt{a^2+x^2}$或$sqrt{x^2-a^2}$等形式时，三角换元是一种非常有效的积分方法。 特殊积分的技巧： 我们还会介绍一些常用的特殊积分技巧和公式。 积分的应用： 积分的用途广泛，远不止计算面积： 曲线下面积的计算： 这是定积分最直接的应用。 体积的计算： 通过旋转体、截面法等方法，我们可以利用定积分计算三维图形的体积。 弧长的计算： 我们可以利用积分来计算曲线的长度。 功的计算： 在物理学中，功的计算常常涉及到变力做功，这就需要用到积分。 平均值的计算： 我们可以利用积分来计算函数在某个区间上的平均值。 概率与统计： 在概率密度函数的积分可以得到概率，这在统计学中至关重要。 级数与泰勒展开： 虽然级数和泰勒展开是另一大主题，但积分在理解其收敛性以及计算某些级数的和时有着重要联系，本书将初步引导读者建立这种联系。 第四部分：微分方程初步 微分方程是描述变量之间变化关系的方程，它在科学研究和工程应用中无处不在。 微分方程的概念： 我们将介绍什么是微分方程，区分常微分方程和偏微分方程（本书主要关注常微分方程）。 简单的一阶微分方程： 我们将学习如何求解一些简单的一阶常微分方程，例如可分离变量方程、齐次方程、线性方程等。 二阶线性齐次微分方程： 我们将介绍求解具有常系数的二阶线性齐次微分方程的方法，例如特征方程法。 微分方程的应用： 微分方程是描述自然界和工程领域中许多现象的数学模型，例如人口增长模型、放射性衰变模型、电路模型、机械振动模型等。我们将通过一些简单的例子来展示微分方程的应用。 本书的特点： 循序渐进，由浅入深： 从最基本的概念出发，逐步引入更复杂的理论和方法，确保读者能够扎实地掌握每一个知识点。 概念先行，直观解释： 强调对概念的理解，而非死记硬背公式。通过大量的图示和生活化的例子，将抽象的数学概念具象化。 强调计算与应用结合： 在学习计算技巧的同时，不断强调这些技巧在解决实际问题中的应用，让读者体会到数学的实用价值。 提供丰富的练习题： 每章都配有难度适中的练习题，帮助读者巩固所学知识，提高解题能力。 语言通俗易懂： 避免使用过于晦涩的数学术语，力求用最清晰、最简洁的语言进行表达。 本书适合于即将学习微积分的学生、希望回顾和巩固微积分知识的在职人员，以及对数学充满兴趣的自学者。我们相信，通过本书的学习，您将能够建立起对微积分坚实的理解，并能够将其应用于各种学习和工作场景中。

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最让我感到恼火的是这本书在“查漏补缺”方面的无能为力。当我遇到一个特定类型的错误，比如在多元函数求极值时，我需要快速找到一个针对性的、有明确诊断思路的章节或部分来解决我的困惑。这本书的目录结构虽然庞大，但检索性极差。它没有提供一个有效的索引，也没有像一些优秀的辅导书那样，设置“常见错误分析”或“易混淆概念辨析”的专项模块。当我带着一个具体的、实践中遇到的难题去翻阅时，我发现要么是相关内容被分散在了不同章节的例题中，需要大海捞针般地搜寻，要么就是作者干脆用过于笼统的语言带过，没有深入挖掘错误发生的内在逻辑。一本好的学习指导，理应是学生在学习卡壳时的“急救包”，它应该能迅速定位问题，并提供清晰的“手术方案”。而这本书，更像是一个塞满了各种工具但没有标签的工具箱，面对突发状况时，你根本不知道该从哪里下手，只能徒劳地翻动，最终还是不得不回到最初的课本寻求更可靠的帮助。这种设计上的失败，使得它在真正的学习辅助价值上大打折扣。

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这本号称是“高等数学学习指导”的书，我实在不敢苟同它的名字。从我翻开第一页开始，就感觉自己像是被扔进了一片充满着艰涩符号和抽象概念的迷雾之中。我本来是带着解决困扰已久的微积分难题的期望来寻找指引的，结果得到的却是一堆堆佶屈聱牙的定理陈述和证明过程，仿佛作者认为每一个读者都已经是一个数学博士预备役了。书中对基础概念的铺陈，那种“理所当然”的态度，简直是对初学者的巨大冒犯。比如，在讲解极限的 ε-δ 定义时，我期望看到的是一些生活化的类比，或者至少是循序渐进的拆解步骤，好让我能在大脑中构建一个清晰的图像。然而，这里直接就是一串冰冷的数学语言堆砌，每一个符号的含义都需要我停下来，翻回去查阅前几页的内容，这极大地打断了阅读的连贯性和理解的流畅性。更不用提那些习题了，它们大多是直接照搬教科书上最难的变体，完全没有起到“指导”的作用——我需要的指导是告诉我如何思考，而不是直接展示一个我根本无法企及的完美解答。这本书更像是一本给已经精通高等数学的人用来复习和炫耀知识深度的高级参考手册，而不是一本能帮助我这个挣扎在及格线边缘的学生找到出路的“指导”。它的结构松散，缺乏清晰的学习路径规划，读完一章，我更多的是感到挫败而非茅塞顿开，这与我期待的“学习指导”的定位相去甚远。

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说实话，我本来对市面上大多数的辅导材料都抱持着一种审慎的态度，但读完这本所谓的“高等数学学习指导”后，我的警惕性得到了极大的印证。这本书最让我无法忍受的一点是它对解题技巧的描述，那种轻描淡写，简直让人抓狂。高等数学的难点，往往不在于公式本身，而在于面对一个陌生问题时，该选择哪种工具，以及如何巧妙地运用它们进行转化。这本书里对解题步骤的呈现，就像是魔术师在表演时，直接亮出了最后的结果，中间所有精妙的构思过程被完全省略了。比如，在处理定积分的换元法时，高明的指导应该会分析不同类型被积函数适用的换元策略，并给出选择背后的直觉依据。但此书只是机械地罗列了几个例子，展示了“如何做”，却从未触及“为什么这样做”。这导致我的学习过程变成了一种被动的模仿，我能勉强套用它展示的固定套路去解相似的题，一旦题目稍微变化了形态，我立刻就束手无策了。这种“展示型”的教学，完全没有培养读者独立分析问题的能力，它只是提供了一套刻板的模板，而数学学习的核心恰恰在于灵活性和创造性地应用知识。如果我只是想要一套标准答案的解析，我可以直接去看课本的参考解答，何必再买一本自称能指导学习的书籍来承受这种折磨呢？

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这本书在内容的组织和逻辑推进上，简直是一场灾难。它似乎是把各个知识点简单地堆砌在一起，缺乏一个宏大而连贯的叙事结构。高等数学的学习是一个系统工程，从一维空间过渡到多维空间，从平面几何到空间向量，每一步都应该建立在前一步扎实的基础上，并自然地引向下一步的复杂性。然而，这本书的处理方式更像是知识点的碎片化集合。我发现它在某些章节为了追求“知识的全面性”，塞入了大量不常用、甚至对于初学者而言完全不必要的偏僻知识点，占用了宝贵篇幅，却对那些最核心、最容易混淆的概念解释得含糊不清。例如，在向量代数部分，张成空间和线性无关性的解释就显得尤为单薄，甚至有些误导性。我不得不怀疑作者在编写时，是否真正地站在一个需要帮助的读者的角度去审视内容的难度梯度和衔接流畅度。好的学习材料应当像一条精心铺设的轨道，引导学习者平稳地从A点到达B点，而这本书更像是将一堆零件随意散落在地，要求读者自行摸索如何组装成一辆能跑的车。阅读体验极差，因为它迫使读者需要自己去构建知识之间的内在联系，这本末倒置的做法，完全丧失了“指导”的价值。

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我不得不提到这本书在排版和视觉设计上的粗糙程度，这几乎是压垮骆驼的最后一根稻草。作为一本数学学习辅助材料，清晰的图示和规范的数学符号展示是至关重要的，它们是抽象概念的视觉锚点。然而，这本书的印刷质量令人叹息。大量的公式在复制粘贴时似乎出现了某种字体兼容性问题，使得原本就难懂的表达式变得扭曲模糊，很多希腊字母和上下标混在一起，让人分不清哪个是系数，哪个是指数。更不用说图表的质量了，那些本应清晰展示曲面或几何体截面的三维图，印刷出来后色彩模糊，线条粗糙，完全看不出深度和空间关系，这对于理解空间解析几何部分是致命的打击。我甚至怀疑这是否经过了严格的校对流程。在一个强调精确性的学科中，这种低劣的视觉呈现不仅浪费读者的金钱，更重要的是，它直接干扰了大脑对信息的有效处理，迫使我花费大量精力去“解码”那些本应清晰呈现的数学表达。这本书的物理形态，与其宣称的“高等数学”的严谨性形成了鲜明的反差，体现出极大的不专业性。

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