线性代数学习指导与习题解析 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:中山大学出版社

作者:张学元 编

出品人:

页数:261

译者:

出版时间:2004-8

价格:28.00元

装帧:

isbn号码:9787306023094

丛书系列:

图书标签:

• 线性代数
• 高等数学
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• 考研数学
• 数值计算
• 矩阵运算

数学之基石：探索线性代数的力量与奥秘 线性代数，作为现代数学的重要分支，其思想和方法已经渗透到科学、工程、经济、计算机科学等众多领域。它为我们提供了一种强大的工具，用于理解和处理那些可以用“线性”关系来描述的复杂问题。本书旨在带领读者深入探索线性代数的精髓，领略其逻辑的严谨性，感受其解决实际问题的无穷魅力。 何为线性代数？ 简而言之，线性代数研究的是向量空间、线性变换以及它们之间的关系。它建立在“线性”的概念之上，即变量之间存在着比例关系，不涉及高次项、乘积项等非线性因素。这种“线性”的简化，使得我们可以用清晰、系统的方法来分析和解决问题。 想象一下，在二维平面上，我们用一对有序实数 (x, y) 来表示一个点的位置。这就是一个二维向量。一组向量的“线性组合”意味着我们将每个向量乘以一个常数，然后将它们相加。线性代数的核心之一，就是研究这些向量及其组合所形成的“向量空间”。向量空间就像一个充满向量的“舞台”，在这个舞台上，向量可以自由地进行加法和标量乘法运算，并且保持其“线性”的特性。 而“线性变换”则像是连接不同向量空间之间的“桥梁”或“映射”。它是一种特殊的函数，能够将一个向量空间的向量转化为另一个向量空间的向量，并且保持向量加法和标量乘法的结构。矩阵，就是实现这种线性变换的一种具体而强大的工具。通过矩阵，我们可以直观地表示和操作复杂的线性变换。 线性代数的核心概念 本书将带领您系统地学习线性代数的核心概念，并深入理解它们之间的内在联系： 向量与向量空间： 我们将从最基本的向量概念出发，理解向量的几何意义和代数运算。随后，我们将引出向量空间的定义，探讨其重要的性质，如线性无关、基、维数等。这些概念是理解整个线性代数体系的基石。 矩阵及其运算： 矩阵是线性代数中至关重要的数学对象。我们将详细介绍矩阵的定义、种类、以及各种矩阵运算，如加法、减法、乘法、转置、逆矩阵等。通过矩阵运算，我们可以高效地表示和处理线性方程组、线性变换等问题。 线性方程组： 现实世界中，许多问题都可以转化为求解线性方程组。我们将学习如何利用矩阵和向量的知识，使用高斯消元法、LU分解、克莱默法则等方法来求解线性方程组，并分析方程组解的存在性与唯一性。 行列式： 行列式是与方阵相关的一个重要数量，它蕴含着丰富的几何和代数信息。我们将学习行列式的定义、性质以及计算方法，并理解它与方阵可逆性、向量组线性相关性之间的深刻联系。 特征值与特征向量： 特征值和特征向量是揭示线性变换内在性质的关键。它们描述了在进行线性变换时，哪些向量的方向保持不变，只发生伸缩。我们将学习如何计算特征值和特征向量，并理解它们在数据分析、动力系统等领域的广泛应用。 向量空间中的内积与度量： 在向量空间中引入内积，我们就可以定义长度、角度、正交性等几何概念。这使得我们可以将几何直观与代数运算相结合，深入理解向量空间的结构，并为投影、最小二乘法等重要应用打下基础。 线性变换的几何意义： 我们将通过丰富的实例，形象地展示线性变换如何作用于几何图形，例如旋转、伸缩、剪切等。理解线性变换的几何意义，有助于更直观地把握其代数表示。 为何要学习线性代数？ 线性代数不仅仅是一门抽象的数学学科，更是解决现实世界问题的强大工具。它在各个领域都有着举足轻重的地位： 计算机科学与数据科学： 在机器学习、人工智能领域，线性代数是算法的核心。无论是训练神经网络、进行主成分分析（PCA）、还是理解奇异值分解（SVD），都离不开线性代数的知识。图像处理、自然语言处理等也广泛应用线性代数的思想。 工程技术： 在结构分析、电路设计、控制系统、信号处理等方面，线性代数都发挥着不可替代的作用。许多复杂的工程问题，都可以通过建立线性模型，然后利用线性代数的工具来求解。 经济学与金融学： 在经济建模、投资组合优化、计量经济学分析中，线性代数为构建和求解经济模型提供了数学基础。 物理学： 量子力学、相对论、经典力学等领域，都大量运用了线性代数的概念和方法，例如希尔伯特空间、量子态的表示等。 统计学： 在回归分析、方差分析等统计方法中，线性代数是推导和计算的基础。 学习本书将带给您的收获 本书力求通过清晰的讲解、丰富的例子和严谨的推导，帮助读者： 建立扎实的理论基础： 深入理解线性代数的每一个核心概念，把握它们之间的逻辑联系。 掌握实用的计算技巧： 熟练运用各种方法解决线性代数中的典型问题，如求解线性方程组、计算行列式、求特征值等。 提升抽象思维能力： 线性代数涉及大量的抽象概念，学习过程能够有效锻炼读者的抽象思维能力和逻辑推理能力。 领略数学的严谨与优美： 感受线性代数作为一门数学学科的内在逻辑性和结构美。 为后续学习奠定基础： 无论您是继续深造还是将线性代数应用于实际问题，本书都将为您提供坚实的基础。 本书并非仅仅是概念的堆砌，更注重理论与实际应用的结合。我们将通过大量的实例，展示线性代数在解决实际问题时的威力，让您深刻体会到学习这门学科的价值。我们相信，通过系统的学习，您将能够自信地驾驭线性代数这门强大的数学工具，并将其灵活地应用于您的学习和工作中，开启探索更广阔数学天地的大门。

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老实说，我对很多工具书的期望值都比较低，通常认为它们只是考试前用来“抱佛脚”的速查手册。但这本书完全打破了我的成见。它不是一本敷衍了事的习题汇总，而更像是一套精心设计的、完整的学习路径图。作者在内容的选择上展现出极高的专业素养和教学智慧，既保证了覆盖面的广度，又兼顾了核心概念的深度挖掘。尤其是书中对于一些进阶主题的处理，例如二次型和正定性，它没有简单地罗列定义和性质，而是通过对比不同证明方法的优劣，引导读者思考如何构造最优的论证结构。这种启发式的教学方法，培养的不仅仅是解题能力，更是一种严谨的数学思维方式。读完这本书，我感觉自己对整个数学框架的理解都有了一个质的提升，这对于我未来深入学习统计学或者机器学习等领域，无疑打下了最坚实的基础。

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从装帧设计和排版来看，这本书也体现了一种对读者体验的尊重。纸张的质感非常舒适，即使长时间阅读也不会觉得眼睛疲劳，这对于需要大量计算和画图的数学学习来说，是非常重要的细节。更值得称赞的是它的图示系统。线性代数天然带有很强的几何属性，而很多教材中的插图要么过于简陋，要么就是色彩晦涩。这本书的插图则恰到好处，不仅清晰地描绘了向量空间中的子空间、投影，连坐标系的旋转和变换都能用非常直观的图形来辅助理解。很多关键的定理证明，比如施密特正交化过程，配图让整个流程变得可视化，不再是冰冷的公式堆砌。此外，书中的术语定义非常规范且一致，没有出现不同章节使用不同符号来表示同一概念的混乱情况，这在处理稍复杂的证明题时，极大地减少了理解上的摩擦。

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这本书在内容组织上真是一绝。它仿佛是为我们这些初学者量身定做的向导，从最基础的概念讲起，逐步深入到比较复杂的矩阵分解和特征值问题。作者的叙述方式非常清晰，没有那种高高在上的学术腔调，而是耐心地引导读者一步步建立起对线性代数的直观理解。特别是对于那些抽象的向量空间和线性变换，书中通过大量的几何实例和类比来解释，这对于我这种更偏好形象思维的学习者来说，简直是福音。我记得第一次接触到张量积的概念时完全是一头雾水，但这本书里用一个非常巧妙的例子（好像是和物理中的力学概念相关联），瞬间让我茅塞顿开。而且，每讲完一个重要理论，紧随其后的就是一串精心设计的例题，这些例题的难度梯度设置得非常合理，从基础应用到稍微需要思考的变式都有涵盖，确保了知识点能够被扎实地掌握，而不是停留在纸面上。这种循序渐进的教学节奏，极大地增强了我的学习信心，让我不再畏惧这个曾经觉得高不可攀的学科领域。

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这本书最让我惊喜的一点，是它对理论与实际应用的平衡把握。我们学习线性代数，固然需要严谨的数学基础，但如果脱离了实际应用场景，很容易变成空中楼阁。这本书并没有陷入纯理论的泥潭，它在适当的地方穿插了来源于不同领域的应用案例。我记得有一章专门讲了奇异值分解（SVD）是如何在图像处理中实现数据压缩和降噪的，讲解得深入浅出，让人能够清晰地看到那些复杂的矩阵运算是如何转化为实际可操作的工具的。这种联系使得学习过程充满了动力，不再是单纯为了考试而学习。通过这些应用实例，我开始真正理解为什么矩阵乘法是那样定义的，为什么特征值具有物理意义，这种“知其所以然”的感觉，远比死记硬背公式来得牢固和持久。

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我必须承认，我过去尝试过好几本号称“对初学者友好”的教材，但大多在习题部分让人抓狂。要么习题少得可怜，学了等于没学；要么就是直接堆砌难度极高的难题，让人做完一套就想把书扔掉。然而，这本参考书在习题和解析部分的用心程度，绝对是超乎预期的。它不仅仅是提供了最终答案，更关键的是对解题过程的剖析，达到了近乎手把手的程度。很多关键步骤的转折点，那些教科书上往往一笔带过的“显然地”，这本书都会详细地给出推导思路和背后的逻辑支撑。我尤其欣赏它在“陷阱分析”上的设置。对于那些常见的错误理解或者容易混淆的概念，作者会专门设置一个小节来指出，并给出错误解法和正确解法的对比，这比我自己一步步踩坑再爬出来要高效得多。通过认真研读这些解析，我感觉自己不是在被动地完成任务，而是在和一位经验丰富的导师进行深度对话，从而真正理解了“为什么这么做”。

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