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出版者:

作者:谢明文

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:2005-8

价格:33.80元

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isbn号码:9787810559485

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• 微积分
• 高等数学
• 数学教材
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微积分教程 一本探索无垠数学世界，点燃探索未知智慧的领航者 翻开本书，你将踏上一段非凡的数学旅程，这不是一场枯燥的公式堆砌，而是一次对物质世界运行规律的深刻洞察，对变化本质的细致解剖。从最基础的无限概念出发，到宏大而精妙的微积分理论体系，本书将引领你穿越一个个思维的边界，解锁隐藏在数字与符号背后的宇宙奥秘。 第一篇：孕育微积分的土壤——极限与连续 在进入微积分的核心之前，我们必须先理解它赖以生存的哲学基础——“极限”。想象一下，我们试图无限接近一个数值，但又永远无法真正触及它，这种“趋近”的过程，便是极限的魅力所在。本书将从直观的几何图形入手，逐步引出极限的严格定义，通过一系列精心设计的例子，让你体会到极限在理解函数行为中的关键作用。 我们不仅仅关注数值上的逼近，更会深入探讨函数在某一点的极限是否存在，以及如何通过代数方法计算极限。你将学习到处理各种极限形式的技巧，包括但不限于利用洛必达法则，理解无穷小和无穷大的概念，以及如何分析函数的渐近线。这些技巧将成为你日后解决复杂问题的有力武器。 随后，我们将聚焦于“连续性”这一概念。一个函数在某一点连续，意味着它的图像在这一点没有中断，没有跳跃。本书将严谨地给出连续性的定义，并探讨如何判断函数的连续性。你将理解，连续性是微积分中许多重要定理成立的基础，例如介值定理和最值定理，这些定理将在后续章节中发挥至关重要的作用。我们还将通过具体的函数例子，展现不连续点的产生原因及其对函数行为的影响，从而加深你对连续性概念的理解。 第二篇：点燃变革之火——导数与微分 导数，无疑是微积分中最具革命性的概念之一。它捕捉了事物瞬息万变的本质，量化了变化的速率。本书将从“切线斜率”这一直观的几何意义出发，引导你理解导数的定义。你将学习如何通过“微分商”的极限来计算一个函数的导数，并理解导数在几何上的含义——它代表了函数图像在某一点的瞬时变化率，也就是切线的斜率。 本书将系统地介绍各种函数的求导法则，从最基础的多项式函数、指数函数、对数函数，到三角函数、反三角函数，以及复合函数和隐函数的求导。你将掌握链式法则、乘积法则、商法则等核心求导技巧，并通过大量的练习题来巩固这些知识。 导数不仅仅是抽象的数学概念，它在现实世界中有着广泛的应用。本书将重点阐述导数在物理学中的应用，例如速度与加速度的计算；在经济学中的应用，例如边际成本与边际收益的分析；以及在工程学中的应用，例如优化问题和曲率的计算。你将通过这些具体的例子，体会到导数作为描述和分析动态过程的强大工具。 我们还将深入探讨导数的几何意义，例如利用导数来分析函数的单调性、求函数的极值（局部最大值和最小值）、判断函数的凹凸性以及寻找拐点。这些信息将帮助我们精确地描绘函数的图像，从而全面理解函数的性质。 第三篇：积蓄能量的洪流——积分与不定积分 如果说导数是对变化的量化，那么积分便是对变化过程的累积和求和。本书将以“面积”这一直观的几何问题引入积分的概念。你将学习如何将一个区域分割成无数个无限窄的小矩形，然后将这些小矩形的面积无限累加，从而求出该区域的精确面积。这个过程便是定积分的雏形。 本书将严格定义定积分，并探讨其计算方法。你将学习到如何利用“黎曼和”的极限来计算定积分，并理解定积分的几何意义——它代表了函数图像与x轴围成的区域面积。 然而，积分的意义远不止于面积的计算。本书将揭示“牛顿-莱布尼茨公式”，也就是微积分基本定理。这个革命性的定理将导数和积分紧密地联系起来，表明积分运算是微分运算的逆运算。这一发现极大地简化了定积分的计算，并将定积分的求解过程转化为求解“不定积分”。 因此，我们将在本书中系统地讲解不定积分的理论和方法。你将学习到各种函数的积分技巧，包括但不限于基本积分公式、换元积分法、分部积分法以及部分分ສ່ວນ法。这些方法将使你能够求解各种复杂函数的积分。 第四篇：整合力量，洞察全局——定积分的应用 在掌握了导数和积分的基本理论之后，本书将带领你探索定积分在解决实际问题中的强大应用。你将学习如何利用定积分计算各种几何图形的面积，例如曲线围成的区域、极坐标下的区域面积。 除了面积，定积分还能用于计算体积。本书将介绍两种主要的体积计算方法：圆盘法和圆环法，以及它们在计算旋转体体积时的应用。你将能够计算各种旋转体，如圆柱体、圆锥体、球体等的体积。 更进一步，定积分还可以用于计算曲线的弧长。通过积分，我们可以将一段曲线分割成无数个无限小的线段，然后累加这些线段的长度，从而得到整个曲线的长度。 本书还将拓展定积分的应用范围，例如在物理学中计算功、压力、浮力等；在经济学中计算总成本、总收益等；以及在概率论中计算概率密度函数的累积概率。通过这些多领域的应用实例，你将深刻体会到定积分作为累积和求和的数学工具，在分析和解决各种实际问题中的不可替代性。 第五篇：拓展视野——多变量微积分的序曲 当我们将目光投向更高维度时，微积分的魅力便进一步扩展。本书将在结尾处简要介绍多变量微积分的基本思想，为你打开更广阔的数学视野。你将初步了解多元函数的概念，以及偏导数和方向导数等核心概念。 你将了解到，多变量微积分将使我们能够描述和分析那些存在多个影响因素的复杂系统，例如天气变化、经济模型、物理场的分布等等。虽然本书不对多变量微积分进行深入探讨，但它将为你后续的学习打下坚实的基础，并激发你进一步探索这个迷人领域的兴趣。 结语 《微积分教程》并非仅仅是一本知识的集合，更是一扇通往严谨思维、逻辑推理和创新能力的窗口。通过本书的学习，你不仅能掌握一套强大的数学工具，更重要的是，你能培养一种观察世界、分析问题的新视角。微积分的精妙与力量，将伴随你探索科学的未知，创造更美好的未来。愿这本书成为你探索数学宇宙，点燃智慧之光的忠实伙伴。

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对于自学微积分的爱好者来说，选择一本好的配套参考资料至关重要，而这本《微积分教程》无疑是上乘之选。它最突出的优点在于其丰富的“批判性思维”引导。作者在讲解许多经典定理时，总是会提出一些“反例”或者“特殊情况”来探讨其适用边界。例如，在讨论连续函数的性质时，作者特意花费了一段篇幅来剖析黎曼积分和勒贝格积分在定义上的细微差别及其带来的深远影响，这对于培养我们探究事物本质的好奇心非常有帮助。书中对初等函数的性质分析也极其细致，不像有些教材只是简单地罗列图像和性质，而是深入探究了为什么某个函数会表现出那样的行为，这需要读者具备相当的分析能力。我特别喜欢书中那种对“为什么”的执着追问。它不像一本填鸭式的教材，更像一位博学的导师，在你每一步学习的岔路口，都会给出清晰的指引和深入的见解，让你在理解知识点的同时，也理解了知识产生的历史脉络和逻辑必然性。这本书的阅读体验是“主动发现”而非“被动接受”。

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这本书简直是为我量身定做的，我一个文科背景的苦哈哈，一直对数学心存敬畏，总觉得微积分是数学世界里的一道天堑。然而，当我翻开这本《微积分教程》时，那种恐惧感竟然奇迹般地消退了。作者的叙述方式极其平易近人，仿佛他不是在讲解高深的定理，而是在和你分享一个精彩的侦探故事。他总能找到最生活化的例子来解释抽象的概念，比如用河流的流速变化来类比导数的意义，用一块不规则形状的土地面积来引入定积分的概念。那些原本看起来面目狰狞的公式和符号，在他笔下变得清晰、有逻辑，甚至带上了一种迷人的美感。尤其是对于极限的阐述，我以前总是死记硬背ε-δ语言，感觉抓不住重点，但这本书里，作者用更直观的“追逐”游戏来比喻，一下子就让我明白了“无限接近”的真正含义。我感觉自己不再是被动接受知识，而是主动地在和作者一起探索数学的奥秘。书中的习题设计也十分巧妙，难度梯度设置得非常合理，循序渐进，让人在做题中不断巩固理解，而不是一上来就被难题吓退。读完前几章，我已经不再把微积分看作是洪水猛兽，而是一个充满智慧和趣味的工具箱了。这本书的价值，在于它真正搭建起了一座连接普通人思维与高等数学之间的坚固桥梁，让我这个“数学小白”也能感受到数学思维的魅力。

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我必须说，作为一名正在准备考研的工科生，我对教材的选择非常挑剔，因为时间成本极高，选错一本书可能意味着前功尽弃。这本《微积分教程》在我看来，绝对属于“教科书中的战斗机”。它的严谨性无可挑剔，每一个定义、每一步推导都如同瑞士钟表般精确无误，这对于我后续学习更深层次的工程数学至关重要。不同于一些只注重“感觉”而缺乏深度的入门读物，这本书在基础理论的构建上投入了巨大的精力。比如，它对级数收敛性的判定标准，给出了非常详尽的证明过程和各种判定方法的适用范围及局限性，这在很多其他教材中往往是一笔带过或者直接给出结论的。我特别欣赏作者在证明过程中穿插的那些“数学史话”或者“思想背景介绍”，这让冰冷的公式背后有了人性的温度和历史的厚重感，有助于我们理解为什么数学家会选择这样的方式来定义和证明。更让我赞赏的是，书中的内容覆盖面非常广，除了常规的单变量微积分，对多元函数微积分的讨论也相当深入，向量场、线积分、曲面积分等内容组织得逻辑性极强，章节衔接自然流畅，读起来有一种“一气呵成”的顺畅感，极大地提升了我的复习效率和对知识体系的整体把握能力。

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我一直觉得，学习微积分最难的不是计算，而是如何在高维空间中建立直观的几何想象。这本《微积分教程》在这方面做得极其出色，它成功地将那些令人头晕的“空间几何”概念可视化了。书中大量的、精心绘制的三维立体图示，尤其是对曲面、切平面和法线向量的描绘，清晰得仿佛触手可及。作者在引入偏导数和梯度时，非常巧妙地结合了地形图的概念，将梯度视为“爬升最快的方向”，这种具象化的描述，立刻打破了抽象代数表达带来的隔阂。再比如，在讲解散度（Divergence）和旋度（Curl）时，书中通过水流模型的类比，生动地解释了它们在物理学中分别代表了“源和汇”以及“旋转趋势”的含义。我过去在其他教材中对这些概念的理解总是模糊不清，总感觉自己只是在套用公式，但读了这本书后，那种空间感和物理意义的连接感一下子被建立起来了。这种对“图像化思维”的强调，极大地提升了我对向量微积分的理解深度，让我确信，真正的数学学习，是图像、符号和逻辑的完美结合，而这本书完美地实现了这种融合。

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说实话，这本书的厚度一开始让我有些望而却步，但翻阅之后发现，每一页的价值都毋庸置疑。我主要关注的是它在理论应用方面的深度和广度。这本书不仅仅停留在计算层面，它更侧重于培养读者的“数学建模”意识。比如，在介绍微分方程的应用时，作者没有仅仅停留在讲解如何求解一个二阶常微分方程，而是深入探讨了这类方程在振动学、电路分析等实际物理系统中的具体意义。他用非常清晰的图示和文字，展示了系统参数变化如何影响解的稳定性或周期性。这种“问题驱动”的教学方法，对于我这种希望将数学知识应用于实际工程设计的人来说，是极其宝贵的。此外，本书在数值计算方法方面的内容也做得相当到位，例如，对牛顿迭代法、龙贝格积分法的原理剖析得非常透彻，并且给出了不同方法的误差分析和收敛速度的比较。这表明作者的视野已经超越了纯粹的解析解范畴，真正接轨了现代科学计算的需求。阅读这本书的过程，更像是一场高级的思维训练，它在潜移默化中提高了我的抽象思维能力和解决复杂问题的条理清晰度。

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