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出版者:科学出版社

作者:苗长兴

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页数:0

译者:

出版时间:1999-10-01

价格:46.0

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isbn号码:9787030078636

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调和分析及其在偏微分方程中的应用：现代数学的基石与驱动力 调和分析，作为现代数学的一个重要分支，以其深刻的洞察力和强大的工具集，在理解和解决各类科学问题中扮演着核心角色。本书《调和分析及其在偏微分方程中的应用》旨在系统性地阐述调和分析的基本理论，并聚焦于其在解决偏微分方程这一数学皇冠上明珠时的关键作用。本书的编写，力求在概念的引入、理论的推演以及应用的展现上，做到深入浅出，逻辑清晰，为广大读者，无论是数学专业的研究者、高年级本科生、研究生，还是对数学在物理、工程等领域应用感兴趣的读者，提供一部严谨且富有启发性的参考。 调和分析的理论基石 本书将从调和分析的根基——傅立叶分析入手。我们将详细介绍傅立叶级数和傅立叶变换的概念，探讨其在表示周期函数和非周期函数上的优越性。这包括对不同空间的傅立叶变换性质的深入分析，例如L¹、L²空间，以及更广泛的分布空间。此外，本书还将涵盖傅立叶分析在卷积、乘积等运算中的重要应用，以及泊松求和公式、Plancherel定理、Parseval定理等核心定理的证明及其意义。 在傅立叶分析的基础上，本书将引申到更广阔的调和分析领域。这包括对局部化傅立叶分析的探讨，例如小波分析。我们将介绍小波变换的基本思想，理解它如何通过不同尺度和位置的基函数来捕捉信号的局部特征，以及其在信号处理、图像分析等领域的强大潜力。本书还会触及非阿贝尔调和分析，虽然其应用场景更为专业，但其思想深度和对群论的联系，能极大地拓展读者的数学视野。 另一方面，测度论是理解调和分析中许多高级概念不可或缺的基础。本书将对勒贝格测度、勒贝格积分以及Fubini定理等核心概念进行梳理，确保读者能够扎实掌握这些工具，为后续的理论学习奠定坚实基础。 偏微分方程的挑战与调和分析的赋能 偏微分方程（PDEs）是描述自然界中各种现象的关键数学语言。从牛顿力学中的波动方程、热传导方程，到量子力学中的薛定谔方程，再到流体力学中的纳维-斯托克斯方程，PDEs无处不在。然而，PDEs的求解和分析往往充满挑战，其通解的显式表达往往难以获得，因此，发展能够刻画其解的存在性、唯一性、光滑性以及稳定性的理论和方法至关重要。 调和分析正是解决这些挑战的利器。本书将重点阐述调和分析在PDEs研究中的几个关键应用方向： 线性偏微分方程的经典理论： 热方程和波动方程： 我们将利用傅立叶变换的强大能力，求解热方程和波动方程的Cauchy问题。通过将方程转化为代数方程，并利用谱分解的思路，我们将展示如何构造出问题的解，并分析其性质，例如解的极大值原理、能量估计等。 拉普拉斯方程和泊松方程： 对于椭圆型方程，调和分析提供了强大的工具来分析解的性质。本书将介绍Green函数方法，以及它如何利用调和分析的工具来构造特定边界条件下的解。此外，Sobolev空间的概念及其在椭圆型方程理论中的作用也将被详细介绍，包括其在能量估计和嵌入定理中的关键地位。 抛物型方程和双曲型方程： 针对不同类型的PDEs，调和分析发展出了相应的分析框架。例如，通过佐藤-Huygens原理，我们可以深刻理解抛物型方程的扩散特性。对于双曲型方程，超函数理论和分布论在分析解的奇点传播和高频行为方面发挥着重要作用。 更具挑战性的PDEs分析： 奇异性分析： 许多重要的PDEs（如欧拉-拉格朗日方程）的解可能存在奇点。调和分析，特别是分布论和微局部分析，为理解和刻画这些奇点的行为提供了精确的语言和有效的工具。我们将探讨如何利用傅立叶积分算子等概念来研究奇点的传播和演化。 非线性偏微分方程的分析： 尽管非线性PDEs的分析更为复杂，但调和分析的思想依然扮演着重要角色。例如，在能量估计、不动点定理的应用中，调和分析的工具能够帮助我们建立函数空间的范数，从而证明解的存在性。特别地，本书将介绍拟线性方程和半线性方程的分析方法，展示调和分析在理解这些方程解的性质（如爆破、渐近行为）上的贡献。 奇异摄动问题： 当PDEs中存在小参数时，其解的行为可能发生剧烈变化。调和分析的工具，如渐近展开和多尺度分析，对于理解和分析这些奇异摄动问题的解的结构至关重要。 本书的特色与价值 本书的编写遵循以下原则： 理论与应用的紧密结合： 我们不仅会介绍调和分析的抽象理论，更会通过大量的PDEs应用实例来展示其威力。每个理论概念的引入，都会伴随着其在PDEs研究中的具体应用，使读者能够更直观地理解理论的意义。 数学严谨性与可读性的平衡： 我们力求在数学的严谨性上不打折扣，所有的定理都会提供详细的证明。同时，我们会注意概念的清晰阐释和逻辑的连贯性，避免艰涩难懂的表述，让更多读者能够理解和掌握。 现代数学的视角： 本书将融入现代数学的最新进展，例如拟微分算子、微局部分析等在PDEs研究中的前沿应用。这能帮助读者了解当前研究的动向，并为进一步深入学习打下基础。 丰富的例题与练习： 每章都配有适量的例题和习题，旨在帮助读者巩固所学知识，并能独立解决相关问题。 展望 调和分析作为连接纯粹数学和应用科学的桥梁，其在偏微分方程领域的影响力日益凸显。本书的出版，希望能为读者提供一个系统、深入的学习平台，帮助他们掌握这一强大的数学工具，并能灵活地应用于解决各类复杂的科学问题。我们相信，通过对调和分析及其在偏微分方程中应用的深入学习，读者将能够更深刻地理解数学的魅力，并为科学和技术的进步贡献自己的力量。

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坦率地说，市面上关于调和分析的书籍很多，但真正能清晰展示其在现代 PDE 领域全貌的，却凤毛麟角。许多著作往往停留在经典的时间域和频率域分析，对于近年来兴起的非线性色散方程（如KdV、Schrödinger方程）中的波包理论、断裂理论等方面，缺乏系统性的阐述。我希望这本书能够体现出“现代性”，即不仅仅停留在经典椭圆型方程的正则性理论上，而是能够触及到抛物型和双曲型方程在解的长期行为、奇点形成等更具挑战性的课题中，调和分析思想的具体应用。例如，它能否介绍如何利用特定调和分析工具来构造或证明某些高维或非均匀介质中解的存在性和唯一性？如果它能将现代 PDE 中那些前沿的研究方向，比如分散性估计、波的限制性理论，与基础的调和分析原理紧密结合起来，那么这本书的价值将远远超越一本基础教材的范畴，而成为一部具有前瞻性的参考书。

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我一直认为，一个优秀的数学著作的标志之一，是它能赋予读者一种新的“看世界”的视角。调和分析的核心在于分解与重构，即将一个复杂的函数或信号分解成其组成频率的叠加，并通过对这些频率成分的精确控制，来理解和改造原对象。如果这本书能够成功地将这种“分解-分析-重构”的思维范式，无缝地植入到对偏微分方程的理解中，那将是非常震撼的。我希望它能让我看到，为什么一个方程的解，从频率上看，会表现出某种特定的衰减或增长特性，以及这些特性如何对应到物理世界中的现象（比如解的尖锐性或光滑性）。这不仅仅是计算技巧的堆砌，更是一种深刻的数学洞察力。如果我读完这本书后，再去看那些复杂的 PDE 证明，能有一种“原来如此，一切尽在频率掌控之中”的豁然开朗的感觉，那么这本书的价值就无可估量了。它应该能培养出一种对数学物理问题深层次结构的敏感性。

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这本书的名字听起来就很吸引人，尤其是对于那些对数学前沿和实际应用都有浓厚兴趣的读者。我首先被它这种跨学科的特质所吸引。很多数学书籍要么过于理论化，堆砌着复杂的定义和证明，让人望而生畏；要么就是过于应用导向，对背后的数学原理一带而过。这本书的标题似乎找到了一个绝佳的平衡点，既承诺了“调和分析”这一深刻的理论基础，又明确指出了其落脚点——“偏微分方程的应用”。这意味着，我不仅能学到傅里叶分析、奇异积分算子这些核心工具，还能清晰地看到这些工具是如何像手术刀一样，精准地切入并解决诸如热传导、波动、拉普拉斯方程等经典乃至非经典 PDE 问题的。我期待它能用一种既严谨又不失洞察力的方式，展示这些分析工具是如何将原本看似无关的数学领域连接起来的，那种数学思想融会贯通的愉悦感，是单纯阅读纯理论或纯应用书籍难以体会的。这本书应该能成为一座桥梁，连接起纯数学的美感与工程物理的实用性，对于有志于从事数学物理或计算数学研究的人来说，无疑是一份宝藏。

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对于非纯数学背景，比如工程或物理背景的读者来说，选择合适的数学工具书往往是一场赌博。我们通常需要一个能够快速建立起直观理解，同时又不会在初步阶段就被晦涩的抽象概念吓跑的教材。这本书的结构如果设计得当，应该能很好地适应这种需求。我设想它会从经典的傅里叶级数和积分出发，用波动、扩散等物理场景来锚定概念，然后再慢慢引入更抽象的Schwartz分布和更一般的调和分析框架。重点在于，它必须在应用 PDE 之前，给出一个足够坚实的分析基础，但这个基础的铺陈方式应该服务于最终的 PDE 目标，而不是陷入纯泛函分析的泥潭。我尤其期待它在处理非线性或奇异性问题时的视角，因为这些恰恰是经典方法失效，而需要更强有力调和分析工具的领域。如果它能提供一些实际案例中如何选择合适的函数空间进行理论分析的路线图，那将是极其宝贵的实践指南。

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我最近在寻找一本能系统梳理偏微分方程理论中那些“黑箱子”般技巧的书籍，这本书的名字正合我意。在我以往阅读的 PDE 教材中，很多关于正则性理论和解的先验估计的部分，总是直接抛出一个经过高度优化的算子估计式，然后继续推导。虽然结果是正确的，但中间缺少了一个关键的“为什么”和“怎么来”的过程。我猜想，这本书应该会深入讲解调和分析中诸如Sobolev空间、Minkowski 不等式、以及各种卷积估计的具体构建过程。我希望它能像一个经验丰富的大师傅手把手教导学徒，不仅仅是展示工具的最终形态，而是展示如何将那些基础的微积分、测度论知识，一步步淬炼成解决高难度 PDE 问题的利器。如果它能清晰地阐述为什么某些特定的积分算子具有我们所需要的那些关键性质——比如有界性、紧致性——那就太棒了。这种对方法论的深度挖掘，是真正提升一个研究者直觉和解决问题能力的关键所在。

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