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出版者:北京师范大学出版社

作者:高红铸

出品人:

页数:208

译者:

出版时间:2007-7

价格:20.00元

装帧:

isbn号码:9787303051717

丛书系列:新世纪高等学校教材 数学及应用数学专业主干课程系列教材

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空间解析几何：从基础到前沿的深度探索 本书旨在为读者构建一个坚实且全面的三维空间几何认知框架。 本书并非简单罗列公式的工具书，而是一部引导读者深入理解空间结构、向量代数、曲面与曲线本质的系统性教材。我们力求在严谨的数学逻辑与直观的几何图像之间架起桥梁，使复杂的空间问题变得清晰可解。 第一部分：空间坐标系与基础运算的奠基 本书伊始，我们将聚焦于空间几何的基石——直角坐标系的建立与操作。读者将学习如何在三维空间中精确地定位点，理解坐标变换的意义，并熟练掌握距离公式、中点坐标的计算。 随后，向量代数的引入将成为贯穿全书的核心工具。我们详细阐述了空间向量的定义、线性运算（加减法、数乘）以及最重要的两个运算：点积（内积）和叉积（外积）。点积如何揭示向量间的角度与投影关系，叉积如何生成垂直于两向量的法向量，这些概念将被置于详尽的几何背景下进行解析。我们不仅会给出代数表达式，更会深入探讨其几何意义，例如，如何利用叉积的模长计算平行四边形或三角形的面积。 第二部分：空间平面与直线方程的精细刻画 空间解析几何的实用性，很大程度上体现在对平面和直线的描述上。 对于平面，本书着重阐述了法向量在确定平面位置中的关键作用。我们将系统介绍平面的三种基本方程形式：一般式、点法式和截距式，并详细分析它们各自适用的场景和几何内涵。在掌握了平面方程后，我们将深入探讨两个平面之间的关系——平行、相交（形成交线）以及垂直，并给出精确的代数判据。更进一步，本书将指导读者如何计算点到平面的距离，以及如何求出平面上任意一点的投影点。 对于空间直线，其描述比平面更具挑战性。我们主要采用方向向量来刻画直线的倾斜趋势。本书详细对比分析了直线的点向式（或称参数方程）和两点式，并引入了对称式。由于空间直线通常由两个平面的交线定义，我们还将探讨如何从两个平面方程中“提取”出直线的方向向量和空间中的某一点，从而构建其完整的参数表示。 第三部分：点、线、面之间的相互关系与最优化问题 在奠定基础后，本书的重点转向了空间中各要素之间的复杂交互。读者将学习如何精确计算点到直线的距离，这是一个涉及空间投影和勾股定理的经典问题。同时，两条空间直线之间的关系——相交、平行、异面（Skew）——的判断将得到详尽的论述。对于异面直线，我们将重点讲解如何计算它们之间的最短公垂线的长度及其方向。 此外，直线与平面之间的关系（平行、相交、包含）的代数判断方法将被清晰阐述。通过这些工具，我们可以解决诸如“求过某点且与已知直线垂直的平面”或“求交于某直线的两个互相垂直的平面”等进阶问题。 第四部分：空间曲线与曲面的几何本质 本书的后半部分，我们将视野从线性和简单的平面扩展到更具挑战性的曲线与曲面。 对于空间曲线，我们将主要通过参数方程来描述其运动轨迹或几何形状。读者将学习如何利用链式法则计算曲线在空间中的切线方向和法平面。曲线的曲率和挠率的概念将被引入，用以量化曲线在空间中的弯曲程度和扭转程度，这为后续的微分几何打下基础。 在曲面的探讨中，本书重点解析了几种最基本且重要的二次曲面：球面、椭球面、单曲面（Hyperboloid）和抛物面（Paraboloid）。我们不仅会给出它们的标准方程，更会着重分析它们的截线（Traces）——即曲面与坐标平面的交线，这是理解三维物体形状的最直观方式。例如，分析椭圆抛物面如何通过其在x-z平面和y-z平面的截线来确定其鞍点或开口方向。 第五部分：坐标系变换与应用延伸 为应对更广阔的应用需求，本书将引入坐标系的旋转变换。读者将理解如何通过欧拉角或旋转矩阵来实现坐标系的转换，这在三维建模、机器人学和计算机图形学中至关重要。我们将展示如何利用矩阵运算来简化复杂的空间几何计算，例如，如何用旋转矩阵来确定一个物体绕特定轴旋转后的新坐标。 最后，本书将穿插介绍一些现代应用背景，例如，如何在空间中描述刚体运动的基本要素，以及解析几何工具在最小二乘法拟合空间数据点中的初步应用。 本书的特点： 1. 强调几何直观： 每引入一个代数工具，都配有详细的几何图像和物理意义的阐释。 2. 循序渐进的难度设计： 从向量基础到曲率挠率，难度层层递进，确保初学者能够稳步跟进。 3. 丰富的例题与习题： 包含大量解析详细的例题，并设计了具有挑战性的课后习题，以巩固对概念的掌握。 本书面向所有对空间几何有深入学习需求的理工科学生、工程师以及对三维空间结构感兴趣的自学者。掌握本书内容，将使读者具备扎实的理论基础和强大的空间想象与计算能力。

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阅读体验上，这本书的行文风格相当独特，它不像许多数学书籍那样冷峻克制，反而带有一种温和的引导性。作者似乎总能预见到读者在哪个环节会产生困惑，并在关键的转折点设置了“思考题”或者“历史注脚”。例如，在阐述向量积的几何意义时，他并未直接给出柯西-施瓦茨不等式的推论，而是通过一个关于力矩平衡的简短历史小故事来铺垫，让人在轻松愉悦的氛围中理解了为何叉乘是描述垂直关系的最佳工具。更难能可贵的是，书中大量的图示，都不是那种生硬的电脑生成图，而是充满了手绘的笔触感，这种人情味让冰冷的数学符号变得鲜活起来，仿佛有一位经验丰富的导师正坐在你旁边，耐心细致地为你讲解每一个细节。

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我最近在尝试将一些抽象的几何概念与实际工程设计相结合，因此对市面上几本声称面向应用的解析几何书籍做了比较。坦白说，很多书在讲授完基础的直线和平面方程后，很快就陷入了过于理论化的矩阵和变换矩阵的泥潭，对于“如何将这些工具应用到CAD建模或者三维空间优化问题中”的实例讲解总是蜻蜓点水，让人不得其法。这本书给我的初步印象是，它在理论的深度和实际的广度之间找到了一个令人惊喜的平衡点。在介绍完二次曲面时，作者并没有直接跳到特征值分解，而是花了大篇幅讨论了曲率的概念，并配有大量剖面图，清晰地展示了椭球、双曲面在不同截面下的变化规律。这种“由表及里，再由里及表”的叙述方式，对于我这种实践驱动的学习者来说，无疑是极大的福音，它不是单纯地“教你公式”，更像是“教你如何用几何的视角观察世界”。

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这本书的参考文献和索引做得非常出色，这一点对于希望做进一步研究的读者来说，简直是雪中送炭。很多专业书籍在列举参考资料时，往往只是简单罗列书名和作者，缺乏上下文的解释。然而，这本书的附录中，对每一本推荐的进阶读物都做了简短的评述，指出了该书在哪个特定领域（比如微分几何的应用，或者仿射变换的拓扑性质）的侧重点。此外，全书的术语索引做得极其详尽，即便是非常冷僻的定义，也能通过索引快速定位到其首次出现和详细解释的页面。这种对读者后续学习路径的细致关怀，体现了作者的大家风范，让我觉得这不仅仅是一本教材，更像是一张通往更广阔数学世界的地图。

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这本书的装帧设计着实吸引眼球，那种沉稳的墨绿色封皮，配上烫金的字体，透露着一种古典而又深邃的气息。初捧在手，便觉得它不是一本泛泛而谈的教科书，更像是一本精心打磨的艺术品。内页的纸张质感也极好，触感温润，即便是长时间阅读也不会感到眼睛疲劳。我尤其欣赏扉页上那句引用的古希腊哲人的话，虽然内容与具体的数学分支看似无关，却极大地烘托了一种探寻宇宙秩序的宏大氛围。翻开目录，章节标题的排版简洁有力，既没有过多花哨的装饰，也没有遗漏任何重要的基础概念，让人一眼就能把握全书的脉络。虽然我还没来得及深入研读其中的复杂公式，但仅凭这外在的精致和内里的严谨布局，我已经对作者构建的知识体系充满了期待。它仿佛在无声地告诉我，数学的美，不仅在于推导的逻辑，也在于呈现的艺术。

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从难度梯度来看，这本书的递进层次划分得非常精妙。我过去翻阅的一些教材，要么是开篇就用过于复杂的张量分析吓跑初学者，要么就是基础部分过于冗长，让人觉得每翻十页才能接触到一个新知识点。这本书的结构则像是精心设计的阶梯：第一部分打下了坚实的二维基础，向量代数部分介绍得极其扎实，连最基本的线性组合的几何直观都被阐述得清清楚楚。随后进入三维空间，作者引入了规范坐标系的概念，每一步的引入都有明确的动机，而不是生硬地抛出一个定义。对于那些希望从头梳理解析几何的读者来说，它提供了足够的安全感；而对于有一定基础的人，那些深入到齐次坐标和投影变换的章节，也足以提供新的启发和挑战。

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极易自学。(今天终于考完了)

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