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出版者:大连理工

作者:姜乃斌，代万基 编著

出品人:

页数:630

译者:

出版时间:2006-7

价格:25.00元

装帧:

isbn号码:9787561124987

丛书系列:

图书标签:

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《高等数学微积分基础与应用》 内容概述： 本书旨在为初学者构建坚实的高等数学基础，系统阐述微积分学的核心概念、理论体系及其在工程、科学及经济学中的广泛应用。全书结构严谨，逻辑清晰，内容涵盖了从预备知识到高级应用的多个层次，力求使读者能够深入理解数学语言的精确性，并能熟练运用数学工具解决实际问题。 第一部分：函数、极限与连续性 本部分是整个微积分学习的基石。我们从集合论的初步概念出发，详细介绍了函数的定义、分类及其基本性质，如奇偶性、周期性、单调性与有界性。对初等函数——多项式函数、有理函数、三角函数、指数函数和对数函数的性质进行了深入剖析，并展示了它们在不同领域中的建模能力。 核心内容集中在极限理论。我们严格定义了数列的极限和函数的极限，采用 $epsilon-delta$ 语言进行精确描述，并辅以大量的直观图解来帮助理解极限的“逼近”过程。重点讨论了极限的运算法则、重要极限（如 $lim_{x o 0} frac{sin x}{x}$ 和自然对数的定义式）以及无穷小与无穷大之间的比较。 随后，我们深入探讨了连续性。函数在一点的连续性、区间上的连续性及其性质（如有界性定理、介值定理）被详细论证。连续函数在闭区间上的性质是理解导数存在性的前提。此外，本部分还介绍了函数不连续的类型，以及如何通过构造函数来应对实际问题中的突变现象。 第二部分：导数与微分 导数概念是微积分的核心驱动力，本部分对此进行了详尽的阐述。我们从实际问题（如瞬时速度、切线斜率）出发，定义了函数的导数，并推导了基本初等函数的求导法则，包括幂、三角、指数、对数函数的求导公式。 关键在于导数的运算法则：和、差、积、商的求导法则，以及最重要的复合函数的链式法则。链式法则的熟练运用是解决复杂函数求导的关键。我们还专门辟章介绍了隐函数求导法、参数方程求导法和反函数求导法，展示了在非标准函数形式下求导的技巧。 微分的概念作为导数的线性近似被引入。微分 $dy$ 与 $Delta y$ 之间的关系及其在近似计算中的应用被详细说明。高阶导数及其物理意义（如加速度、曲率）也得到了阐述。 本部分的高潮是对导数应用的探索。通过罗尔定理、拉格朗日中值定理（平均值定理）和柯西中值定理，我们为洛必达法则（用于解决 $frac{0}{0}$ 或 $frac{infty}{infty}$ 型不定式）提供了严格的理论支撑。泰勒定理和麦克劳林公式被用作展开和近似复杂函数的重要工具，这在数值分析中具有不可替代的作用。函数的极值问题、最大值和最小值问题，通过一阶和二阶导数检验，形成了完整的最优化求解框架。曲线的凹凸性、拐点以及渐近线的确定，构成了函数图像描绘的完整步骤。 第三部分：不定积分 不定积分被定义为导数的逆运算，即原函数。本部分系统介绍了积分的基本概念和性质。 我们首先学习了直接积分法，即利用导数公式的反向操作。随后，重点攻克积分技巧。换元积分法（特别是三角代换、万能代换）和分部积分法（基于乘积求导法则的逆用）是本部分的核心技能。我们详细分析了有理函数积分（通过待定系数法进行部分分式分解）、三角函数的积分技巧，以及涉及根式函数积分的策略。对特殊积分，如欧拉公式和贝塞尔函数的初步接触，也为后续学习埋下伏笔。 第四部分：定积分及其应用 定积分的引入基于黎曼和的概念，是对曲线下面积、体积等累积效应的精确计算。我们讨论了定积分的精确定义、积分的线性性质以及牛顿-莱布尼茨公式（微积分基本定理），它将不定积分与定积分完美地联系起来。 定积分的应用篇幅宏大且贴近实际： 1. 几何应用： 计算平面图形的面积、旋转体的体积（圆盘法、圆环法、薄壳法）、曲线的弧长，以及曲面的面积。 2. 物理应用： 计算变力所做的功、质心、转动惯量、液体静压力等。 3. 经济学应用： 边际成本与总成本的关系、消费者剩余和生产者剩余的计算。 本部分还介绍了定积分的推广形式——反常积分（或称广义积分），包括积分区间为无穷大或被积函数在积分区间内有无穷间断点的情况。对反常积分的收敛性判断是理论分析的重要组成部分。 第五部分：多元函数微积分基础 本部分将一元微积分的概念扩展到多维空间。我们首先介绍了空间直角坐标系、向量与曲面（如平面、球面、圆柱面）的描述。 多元函数概念、偏导数、全微分被引入。全微分在近似计算中扮演着关键角色。链式法则在多元函数中的扩展是本节的重点和难点，处理涉及中间变量的复杂依赖关系。 隐函数的求导定理及多元函数的极值问题（包括二阶偏导数构成的海森矩阵及其正定性检验）构成了优化理论的多维基础。最后，我们介绍了重积分（二重积分和三重积分）的概念，它们是计算曲面上的质量、体积、质心等物理量的有力工具，并探讨了极坐标系和柱面坐标系在简化计算中的应用。 本书特点： 理论与实践并重： 每个定理的推导都力求严谨，同时紧密结合实例讲解其在不同学科中的实际作用。 例题详尽： 精选了数百道覆盖不同难度级别的例题，详细展示了解题思路和步骤，尤其强调了计算技巧的训练。 图示化教学： 大量采用几何图形和物理模型辅助理解抽象概念，如极限过程、曲面曲率和积分区域的划分。 自洽性高： 结构上遵循“概念引入—性质探讨—求解方法—实际应用”的逻辑链条，适合作为高等工程教育或理科专业本科阶段的教材或参考书。

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