历届“希望杯”全国数学邀请赛试题详解(高中2年级) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:气象出版社

作者:周国镇

出品人:

页数:316

译者:

出版时间:2002-1-1

价格:13.00

装帧:平装(无盘)

isbn号码:9787502932534

丛书系列:

图书标签:

• 希望杯
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数学竞赛的智慧熔炉：高中阶段数学思维的深度探索与应用 一部旨在拓展高中生数学视野，深化对核心概念理解，并系统训练应试技巧的综合性学习指南。 本书并非专注于某一特定赛事的历年真题解析，而是致力于构建一个更宏大、更具普适性的高中数学学习框架。我们的目标是帮助学习者超越课本知识的边界，接触到更具挑战性、更考验逻辑思辨的数学世界。 第一部分：基础概念的重构与深化——超越“知道”的层面 许多学生在学习完高中数学课程后，虽然掌握了公式和运算技巧，但在面对需要灵活变通的题目时，往往感到无从下手。本书首先从“重构”基础概念入手，旨在将平面化的知识点立体化、网络化。 1. 函数思想的几何化与拓扑化 我们不会停留于对二次函数、指数函数等基本函数的求导或求值，而是深入探讨函数作为一种“关系映射”的本质。 连续性与不连续性的直观理解： 借助拓扑学的简单直观概念（如邻域、极限的几何意义），阐释在特定区间内，函数图像的“断点”或“突变”对解题策略的影响。例如，讨论分段函数的极值点判定，不再仅仅依赖于在分界点两侧的比较，而是结合图像的走向和斜率变化进行整体把握。 函数方程与函数不等式的构造： 重点分析如何通过变量代换、构造辅助函数（如利用 $g(x) = f(x) - x$ 或 $h(x) = f(x)/x$）来简化或求解复杂的函数方程。书中将详述柯西泛函方程在特定约束下的解法演变过程，并提供处理如 $f(x) + f(1-x) = 1$ 结构的有效路径。 2. 空间几何的向量化与坐标化统一 对于立体几何，本书强调向量代数在描述空间关系中的绝对优势。 空间向量的内积与外积应用： 详细讲解如何利用向量的内积（点积）精确计算异面直线之间的夹角、线面角、二面角，避免繁琐的“设点构造高、垂、平”的几何推理过程。同时，外积（叉积）在求解过某一直线且垂直于某平面的平面的法向量时，其计算的简洁性和准确性将被重点演示。 解析几何与空间构型的融合： 以三维坐标系为载体，探讨如何使用参数方程来描述复杂的空间曲线和曲面，例如螺线管或二次曲面（椭球面、双曲面）在特定截面上的性质分析。 第二部分：选修模块的深度挖掘与综合应用 本书将高中数学选修内容（如计数原理、概率论、矩阵初步、坐标系与参数方程、不等式选讲）视为提升思维高度的绝佳切入点，而非孤立的考试模块。 3. 组合数学中的构造性证明与生成函数初探 计数问题往往是考察逻辑严谨性的难点。本书侧重于引导学生掌握“构造法”和“排除法”的精妙结合。 鸽巢原理的多元化应用： 讲解经典抽屉原理（鸽巢原理）在数论（如整数划分、同余类分析）和几何（如点集分布）中的推广形式，通过具体实例展示如何定义“鸽子”和“抽屉”。 生成函数的引入（初阶）： 并非深入复杂的幂级数展开，而是将生成函数视为一种“编码”组合问题的工具。例如，如何利用 $P(x) = (1+x+x^2+dots)(1+x+x^2+dots)dots$ 来解决“用指定面值的钞票凑出特定金额”的问题，从而将一个动态的计数过程转化为对多项式系数的求解。 4. 概率论中的极限思想与大数定律的直觉建立 概率论的学习不应止于古典概型。 伯努利试验序列的深入分析： 讨论二项分布的均值和方差的推导过程，并连接到棣莫弗-拉普拉斯定理的直观背景，理解大数定律如何保证频率收敛于概率的必然性。 条件概率与贝叶斯推理： 重点解析条件概率在决策优化中的应用，特别是贝叶斯公式在处理“先验信息”和“新证据”更新认知过程中的强大作用。 第三部分：不等式、数列与数论的思维拔高 这一部分旨在培养学生在复杂约束条件下进行精确推理的能力。 5. 不等式的构造与证明方法的系统化 掌握各种经典不等式的适用范围和构造技巧是解决压轴题的关键。 均值不等式的变式与拓展： 详细分析均方根（QM）、算术平均（AM）、几何平均（GM）、调和平均（HM）四者关系链的严格证明，并展示如何通过变量代换、柯西不等式、詹森不等式（仅作概念引入）等工具，将复杂函数关系转化为易于处理的均值比较形式。 放缩法的艺术： 强调在处理无穷级数求和或数列极限时，如何选取合适的上界和下界进行“夹逼”，以确立结论的正确性。 6. 数列的递推关系与周期性分析 超越等差、等比数列的简单计算，着重于递推关系背后的结构性规律。 线性常系数齐次递推关系： 系统讲解特征方程法的原理和应用，如何利用特征根的性质（实根、复根、重根）来确定数列的通项公式。 周期性与模运算在数列中的结合： 讨论如何利用模运算（取余数）来快速判断一个数列的项是何种形式，特别是在处理与三角函数或指数相关的数列时，周期性往往是解题的捷径。 第四部分：数学史观与思维方法的融会贯通 本书的价值在于提供一个多角度审视数学问题的视角。我们鼓励读者： 从代数到几何的转化： 遇到代数方程组时，思考其是否对应于几何图形的交点问题。 从整体到局部的分解： 面对复杂结构时，尝试将其拆解为若干个可控的子问题，逐一击破。 从特殊到一般性的推导： 通过检验 $n=1, 2, 3$ 的特殊情况来推测一般规律，再使用归纳法或构造法加以证明。 本书并非一本考前突击的“秘籍”，而是一部陪伴高中数学学习者长期探索、提升内在逻辑力量的思维训练手册。它要求学习者投入时间去理解“为什么”，而非仅仅记住“怎么做”。通过对这些核心主题的系统化梳理和深度剖析，读者将能够更自信地面对高中阶段乃至未来更深层次的数学挑战。

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