函数和极限的故事 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:中国少年儿童出版社

作者:张远南

出品人:

页数:258

译者:

出版时间:2005-7

价格:15.00元

装帧:平装

isbn号码:9787500774631

丛书系列:中国科普名家名作系列·名家精品集萃

图书标签:

• 数学
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《函数与极限的故事》 一、 孕育之初：从直观到抽象的探求 在人类漫长的知识探索旅程中，我们从未停止过对世界规律的追寻。当我们试图理解事物的变化，描述数量间的关系时，一些最初的、朴素的想法便开始萌芽。例如，古人观察到天体的运行规律，描绘出星辰轨迹；农夫测量土地，计算收成，也需要掌握数量的变化。这些早期的探索，虽然粗糙，却为后来更为严谨和抽象的数学工具奠定了基础。 最初，人们对“变化”的理解更多是定性的、形象的。比如，“走得越快，到达的时间越短”，这是一种直观的倒数关系。再比如，“物体的重量越大，需要的力气就越大”，这是一种正比关系。这些简单的观察，在潜意识中已经触及了不同量之间相互依存、相互影响的本质。 随着社会的发展和需求的增加，人们开始尝试用更精确的方式来描述这些关系。例如，在测量长度、面积、体积时，人们发现了一个普遍的规律：当一个量的变化达到一定程度时，另一个量也随之发生相应的变化。这种“变化”的动态性，以及量与量之间“对应”的关系，是函数思想的雏形。 在早期几何学中，虽然还没有明确的“函数”概念，但勾股定理（a² + b² = c²）已经蕴含了边长之间的一种固定关系，可以看作是特殊情况下的“函数”。而随着代数的发展，例如方程的引入，x和y之间的联系也逐渐被揭示。比如，一个圆的方程 $x^2 + y^2 = r^2$，就描述了圆上任意一点的横纵坐标之间的关系。这些都是函数概念在萌芽时期的体现，它们是古人对世界量化描述的智慧结晶。 然而，这些早期的概念往往是零散的、不系统的。直到17世纪，数学家们开始意识到，将这些零散的知识体系化、抽象化，将有助于更深入地理解数学的本质，并解决更多复杂的问题。正是这种对“变化”和“关系”的深刻洞察，以及对数学工具的不断打磨，才最终催生了“函数”这个数学中最核心、最强大的概念之一。 二、 函数的诞生：量化世界的利器 “函数”这个概念的正式提出，并非一蹴而就，而是经过了漫长而曲折的发展过程。直到17世纪，尤其是笛卡尔的解析几何出现后，数学家们才真正找到了描述和研究变量之间关系的强有力工具。 笛卡尔通过坐标系，将几何图形与代数方程联系起来，使得几何图形的性质可以通过代数方程来研究，反之亦然。这个突破性的进展，为“函数”的出现奠定了坚实的基础。此时，数学家们开始意识到，许多几何曲线（如直线、抛物线、圆）都可以用代数方程来表示，而这些方程恰恰描述了曲线上点的坐标之间的对应关系。 例如，一条直线 $y = 2x + 1$，就清晰地表明了纵坐标 $y$ 如何随着横坐标 $x$ 的变化而变化。当 $x$ 取一个值时，$y$ 也就确定了一个值。这种“输入”与“输出”之间的确定性对应关系，正是函数的核心思想。 莱布尼茨在17世纪末首次使用了“函数”（function）这个词，他将其定义为“依赖于变量的量”。这一定义虽然朴素，却抓住了函数的核心——“依赖性”。他用“variable”（变量）和“constant”（常数）来描述数学中的基本元素，并开始系统地研究曲线的性质，比如切线和面积，这些研究都离不开对函数的研究。 随后的几十年里，欧拉对函数概念进行了更加严谨和普遍化的定义。他认为，函数就是“一个变量与另一个变量之间的关系，其中后一个变量是如何随着前一个变量的变化而变化的”。在他的著作《无穷分析引论》中，他系统地介绍了各种初等函数，并研究了它们的性质，如单调性、奇偶性、周期性等。欧拉的工作极大地丰富了函数的内容，并将其推广到无穷级数、积分等更广泛的领域。 函数概念的出现，标志着数学从静态的几何描述向动态的变量关系研究的重大转变。它就像一把瑞士军刀，能够被用来描述物理学中的各种现象，比如物体的运动轨迹、电路中的电流电压关系、经济学中的供需曲线等等。函数成为了量化世界、理解变化规律的基石。 三、 极限的诞生：精确描述无穷的奥秘 在函数的研究过程中，数学家们不可避免地遇到了“无穷”这个概念。很多时候，我们需要研究当一个变量趋近于某个值时，函数的值会发生什么变化。然而，直接讨论“无限接近”或者“趋近于零”这样的概念，在早期数学中是模糊不清的，容易引起争议。 例如，在计算曲线的切线斜率时，我们常常需要考虑在一点附近的两个点，当这两个点的距离无限趋近于零时，连接这两点的割线的斜率会如何变化。这个过程涉及到“无穷小”的概念，而“无穷小”的含义在当时并没有得到清晰的界定。 牛顿和莱布尼茨在发明微积分时，虽然巧妙地运用了无穷小量，但其理论基础不够严谨，常常被后来的数学家诟病。例如，牛顿在描述“流数”（导数）时，使用了“最初的速度”（fluxions）和“瞬时”（moments）等概念，这些都蕴含了极限的思想，但缺乏形式化的定义。 18世纪，一些数学家，如达朗贝尔，尝试对“趋近”进行更清晰的解释。他认为，当一个量“无限接近”一个定值时，我们可以把它看作这个定值。但这种解释仍然不够精确。 真正的突破来自于19世纪。科西在1821年出版的《代数分析教程》中，首次引入了“极限”的严格定义。他用“epsilon-delta”（ε-δ）语言来精确描述极限的概念。科西的定义可以概括为：如果当变量 $x$ 趋近于 $a$ 时，函数 $f(x)$ 的值可以任意接近一个定值 $L$，那么 $L$ 就是 $f(x)$ 当 $x$ 趋近于 $a$ 时的极限。 用数学语言表达，就是：对于任意给定的正数 $varepsilon > 0$，都存在一个正数 $delta > 0$，使得当 $0 < |x - a| < delta$ 时，都有 $|f(x) - L| < varepsilon$。 这个定义至关重要，它用明确的、可验证的方式，将“无限接近”这个模糊的概念数学化了。它使得数学家们能够严谨地讨论连续性、导数、积分等概念，为微积分的坚实发展奠定了理论基础。 随后，魏尔斯特拉斯进一步完善了科西的极限定义，使得其更加普适和严谨。他消除了对“无穷小”的依赖，构建了一个完全基于逻辑和代数运算的极限理论。 极限概念的出现，解决了一个困扰数学界多年的难题，它为无穷的分析提供了精确的工具，使得数学分析这门学科能够达到前所未有的高度。可以说，没有极限，就没有现代微积分，就没有今天我们所见的许多高深数学理论。 四、 函数与极限的交响：构建现代数学的基石 函数和极限，这两个看似独立的数学概念，在它们的融合中，展现出无穷的魅力和力量。它们不是孤立存在的，而是相互依存、相互促进，共同构筑了现代数学的宏伟大厦。 函数描述了量与量之间的静态对应关系，而极限则揭示了这种关系在“变化”过程中的动态规律。当我们将函数视为描述变化的工具时，极限就成为了理解这些变化“趋向”和“终点”的眼睛。 例如，导数，作为微积分的核心概念之一，正是通过极限来定义的。一个函数 $f(x)$ 在某一点 $x_0$ 的导数，就是函数在这一点处变化率的极限。具体来说，它定义为： $f'(x_0) = lim_{h o 0} frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$ 这个公式清晰地展示了函数和极限的完美结合。分子 $frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$ 代表了在 $x_0$ 附近一个微小区间内，函数值的平均变化率，而极限则使得我们能够精确地抓住当这个区间无限缩小时，平均变化率所趋近的那个“瞬时”变化率。这使得我们能够精确地描述曲线的斜率，物体的瞬时速度，等等。 同样，定积分，即计算曲线下面积的工具，也离不开极限。我们常常通过将曲线下的区域分割成无数个细小的矩形，并对这些矩形的面积求和，然后取当矩形数量趋于无穷（即每个矩形的宽度趋于零）时的极限来得到精确的面积。 $ int_{a}^{b} f(x) dx = lim_{n o infty} sum_{i=1}^{n} f(x_i^) Delta x $ 这个定义同样体现了函数、求和以及极限的协同作用。 函数与极限的结合，不仅深刻地改变了数学本身，更极大地推动了自然科学和社会科学的发展。物理学中的运动学、动力学、电磁学、量子力学，工程学中的控制理论、信号处理，经济学中的宏观和微观经济模型，甚至生物学中的种群动态模型，都离不开函数和极限的强大支撑。 可以说，《函数与极限的故事》不仅仅是在讲述两个数学概念的起源和发展，更是在描绘人类对世界规律的不断探索和认识的深化过程。它展现了数学如何从简单的计数和测量，发展到能够精确描述和预测复杂现象的抽象理论体系。这个故事，是关于智慧、关于逻辑、关于人类不断追求真理的辉煌篇章。

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我拿到这书时，主要抱着希望它能帮我回顾和巩固大学微积分基础的心态，但阅读完后，收获远超预期。这本书的厉害之处在于它没有停留在“是什么”的层面，而是深入探讨了“为什么会是这样”的内在逻辑。特别是对于“无穷小”和“无穷大”的处理，作者展示了从牛顿莱布尼茨时代的直观运用，到柯西魏尔斯特拉斯时代严格化的完整演变路径。这种历史的纵深感，让读者清晰地看到数学是如何在不断的质疑和修正中成长的。我特别欣赏书中对一些关键转折点的深入剖析，比如对连续性概念的精确界定，以及为什么必须引入极限来统一处理无穷序列和函数的行为。行文风格上，它显得既严谨又充满激情，仿佛是在和一位知识渊博的导师对话，他既能精确地指出每一个逻辑环节的必要性，又能用富有感染力的语言激发你的好奇心。对于那些渴望超越教科书表面定义的读者来说，这本书提供了一个绝佳的视角，去领略函数和极限这两个概念在整个数学体系中的支柱地位及其相互间的辩证关系。

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这本书展现出一种罕见的洞察力，它将数学的逻辑美学与人类思维的发展史紧密地结合起来。它没有回避函数定义在不同历史阶段的演变，从最初的几何函数观到笛卡尔的代数表示，再到后来的拓扑和泛函分析的雏形，这些都为理解极限的本质提供了丰富的背景支撑。我尤其对其中关于“一致收敛性”的论述印象深刻，作者用生动的例子说明了点态收敛和一致收敛在对函数求导和积分操作上的本质区别，这远比单纯给出定义然后做几道习题来得深刻。这本书的结构设计就像一个精密的钟表，每一个齿轮——无论是关于有界性、单调性，还是连续性的探讨——都精确地咬合在一起，推动着我们对极限这个核心概念的理解不断深入。它不追求速度，更注重每一步的扎实与准确，适合那些愿意慢下来、细细品味数学思想精髓的读者。

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这本《函数和极限的故事》无疑是一次对数学核心概念的深度探索，它不仅仅是枯燥的公式堆砌，更像是一场引人入胜的智力冒险。作者以一种非常人性化的笔触，将抽象的数学思想具象化，仿佛带着读者亲手去触摸那些奠定现代微积分基石的思考过程。尤其是在讲解极限的严谨定义时，那种循序渐进、抽丝剥茧的叙述方式，让我这个曾对 $epsilon-delta$ 定义感到头疼的读者，茅塞顿开。它没有急于抛出结论，而是先构建了直觉上的理解，再缓缓引入逻辑的框架。这种教学方法极大地降低了初学者的畏难情绪，使得原本高高在上的数学概念变得亲切可感。全书的结构安排也颇为精妙，每当感觉即将陷入纯理论的泥淖时，总会穿插一些历史背景或者实际应用的小插曲，为这段严肃的旅程增添了趣味性和目的性。阅读体验中，我深刻体会到数学家们在构建这些理论时所经历的挣扎与辉煌，这使得我对这门学科的敬畏之心油然而生。可以说，它成功地完成了“讲故事”的任务，将枯燥的定义转化为富有生命力的数学叙事。

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读完《函数和极限的故事》，我最大的感受是它的“通透性”。很多数学读物，尤其是涉及基础概念的，往往在介绍完皮亚诺公理或者集合论基础后，就开始快速跳跃到分析学的核心部分，中间的逻辑桥梁往往是模糊不清的。然而，这本书却非常耐心地铺陈了从直观的几何概念到严格的代数描述之间的过渡地带。它巧妙地平衡了直觉与形式的需要。例如，在处理无穷级数的收敛问题时，它不仅展示了比值检验、根值检验这些工具，更重要的是阐释了为什么这些工具在面对特定函数序列时是必要的和充分的。我甚至觉得，这本书可以作为一本高阶微积分预备课程的辅助教材，因为它强迫读者去思考那些平时被默认接受的“常识”。语言上，它不像某些学术著作那样冷硬，反而带有一种娓娓道来的叙事感，确保读者在理解复杂的数学结构时，认知负荷不会过重。这种对读者心智过程的体察，是这本书脱颖而出的关键。

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如果要用一个词来形容这本书给我的感受，那就是“重塑认知”。在阅读过程中，我不断地反思过去对极限的理解是否过于表浅。作者在对“有界闭区间套定理”和“介值定理”进行细致阐释时，展示了这些定理是如何为后续更复杂的分析学建立起坚实的“地基”。这些看似基础的定理，在书中被赋予了极高的地位，因为它们是实现严密推理的必要条件。书中的论证过程逻辑链条清晰到令人赞叹，几乎没有一处跳跃性的思维，即便是那些最核心的、最容易让人迷失的证明，也被分解成了几个可以被单独攻克的模块。我感觉这不仅仅是在学习一个数学分支的知识，更是在学习一种严谨、审慎的、追求真理的思维方式。对于那些希望从“会做题”跨越到“理解数学本质”的进阶学习者来说，这本书提供了无可替代的价值，它教会你如何像一个真正的分析学家那样思考问题。

评分☆☆☆☆☆

这书写得确实差。作者根本没有什么高等数学的功底，比张景中差的太远了。枉论什么“著名科普作家”，搞笑呢。

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