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出版者:开明出版社

作者:辛洁

出品人:

页数:552

译者:

出版时间:2003-1-1

价格:19.80

装帧:平装(无盘)

isbn号码:9787801335715

丛书系列:

图书标签:

• 重点关注
• 小学数学
• 奥数
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深入探索：几何图形的奥秘与应用 图书主题： 本书将带领读者领略几何学这一数学基石的魅力，从基础的平面图形到复杂的三维空间构造，进行一次全面而深入的探索。我们专注于几何学的核心概念、定理的证明、经典问题的解法，以及它在现实世界中的广泛应用。 目标读者： 本书面向所有对几何学有浓厚兴趣的学习者、教师、几何爱好者，以及需要巩固或提升几何学知识的高中生和大学生。无论你是初学者还是希望挑战更深层次问题的进阶学习者，都能从中获得启发与收获。 --- 第一部分：平面几何的坚实基础 (The Solid Foundation of Plane Geometry) 本部分着重于欧几里得几何学的经典体系，为后续更复杂的学习打下不可动摇的基础。我们强调逻辑推理和严格证明的艺术。 第一章：点、线、角与基本公理 欧氏几何的基石： 详细阐述欧几里得五大公设（公理）及其重要性。讨论公理化体系的构建方式，以及它们如何作为所有几何推论的起点。 线的属性与度量： 探索线段、射线、直线之间的关系。重点讲解角的分类（锐角、钝角、直角、平角、周角）及其度量单位（度、弧度）。 相交线与平行线： 深入分析两条直线被第三条直线（截线）所截时形成的八个角的关系（同位角、内错角、同旁内角）。详细证明平行线的判定定理（如：同位角相等，则两直线平行）及其逆定理。 第二章：三角形的精妙结构 全等与相似的判定标准： 细致讲解三角形全等的五种判定方法（SSS, SAS, ASA, AAS, RHS）和相似的判定方法（AA, SAS, SSS）。这些是解决许多几何问题的核心工具。 三角形的特殊点与线： 深入研究高线、中线、角平线、边垂线。重点剖析四种重要交点：重心（中线的交点）、外心（边垂线的交点）、内心（角平线的交点）和垂心（高的交点），并讨论它们在三角形中的性质和位置关系。 勾股定理及其推广： 不仅是回顾著名的勾股定理，更将探讨其在直角三角形中的应用，并引出余弦定理和正弦定理，作为处理任意三角形边角关系的关键工具。 第三章：多边形的世界 凸多边形的内角和与外角和： 推导并证明多边形内角和公式 $ ext{S} = (n-2) imes 180^circ$ 的过程。 特殊四边形探秘： 详尽分析平行四边形、矩形、菱形、正方形的定义、性质及相互转化条件。探讨梯形（等腰梯形、直角梯形）的独特性质。 正多边形的构造与镶嵌： 讨论如何利用尺规作图精确构造正三角形、正方形、正五边形、正六边形等。探讨平面密铺（镶嵌）的条件。 第四章：圆的几何学——永恒的完美 圆的基本元素： 彻底解析圆心、半径、直径、弦、弧、扇形、弓形的定义。 圆心角与圆周角定理： 重点证明圆周角定理（圆周角等于它所对圆心角的一半）及其推论。这是解决圆内角度问题的关键。 圆与直线、圆与圆的位置关系： 分析切线的性质（切线垂直于过切点的半径）。探讨两圆外切、内切、相交、分离的条件及其公共切线数量。 圆中的比例关系： 探讨相交弦定理、相交弦定理的推论（割线定理）、切线长定理等，这些是计算线段长度的重要工具。 --- 第二部分：解析几何的坐标化 (The Coordinate System Approach) 本部分将几何图形与代数方程相结合，利用笛卡尔坐标系将几何问题转化为代数运算，大大增强了解决复杂问题的能力。 第五章：平面直角坐标系与向量初步 建立坐标系： 学习如何在平面上建立直角坐标系，点的坐标表示法，以及距离公式的推导。 线段的定比分点公式： 掌握如何通过公式计算分点坐标，并应用于求中点、求重心等。 向量在几何中的应用： 引入二维向量的基本概念（加减法、数乘、点积）。利用向量的性质来判断平行和垂直关系，并计算线段长度和夹角。 第六章：直线方程的探究 直线的表示方法： 详细介绍直线的点斜式、斜截式、两点式、一般式等多种方程形式，理解每种形式的适用情境。 斜率与倾角： 深入理解直线的斜率（slope）的几何意义，以及如何利用斜率判断直线间的平行、垂直关系。 点到直线的距离公式： 推导并应用点到直线的最短距离公式。利用此公式解决求最值、构造切线等问题。 直线相交与夹角： 利用斜率计算两条相交直线的夹角公式。 第七章：圆锥曲线的代数描述 椭圆的定义、标准方程与性质： 从定义出发，推导标准方程 $frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1$。分析长短轴、焦点、离心率等核心参数。 双曲线的定义、标准方程与性质： 研究双曲线的渐近线、实轴、虚轴，理解其分支的走向。 抛物线的定义、标准方程与性质： 探讨焦点、准线、通径，重点分析抛物线作为“反射面”的物理特性。 曲线与直线的关系： 学习如何利用判别式判断直线与圆锥曲线的相交（相切、相交于两点）情况，并利用韦达定理解决弦长、中点等问题。 --- 第三部分：立体几何与空间想象 (Three-Dimensional Geometry and Spatial Reasoning) 本部分将视角从二维平面提升到三维空间，培养读者精确的空间想象能力和逻辑构建能力。 第八章：空间几何体与投影 基本概念： 区分线、面、体之间的位置关系（平行、相交、垂直）。理解空间直角坐标系的建立。 多面体与旋转体： 详细介绍棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球体的结构特征。 三视图与展开图： 学习如何通过主视图、左视图、俯视图准确还原一个立体图形，以及反向进行三视图的绘制。探讨几何体的表面展开图。 第九章：空间中的平行与垂直关系 线面平行、线线平行： 掌握判定定理，例如“如果一条直线平行于一个平面，那么它与该平面内的任意直线平行”。 线面垂直、面面垂直： 重点讲解线面垂直的判定定理（线垂直于平面内两条相交直线）。深入探讨二面角的概念、定义、计算方法（如三垂线定理的应用）。 异面直线所成的角： 分析空间中两条不相交也不平行的直线之间的夹角如何定义和求解。 第十章：空间几何体的度量计算 体积与表面积： 系统总结常见几何体的体积和表面积公式，并给出推导过程（特别是棱锥、圆锥的体积公式）。 球体的性质： 讨论球体的截面性质、球缺、球冠的面积和体积计算。 利用向量解决空间问题： 引入空间向量，使用向量的坐标运算来计算线段长度、判断平行与垂直，以及求解空间中点到平面的距离。 --- 第四部分：几何学的拓展与应用 (Extensions and Applications) 本部分探讨几何学在更广阔领域中的体现，激发读者对数学美感的深层理解。 第十一章：非欧几何的启示 罗氏几何（双曲几何）简介： 讨论对欧几里得第五公设（平行公设）的质疑如何催生了新的几何体系。 球面几何（椭圆几何）： 介绍在球面上最短路径（大圆弧）的概念，以及三角形内角和大于 $180^circ$ 的现象。 第十二章：几何学在现代科学中的作用 仿射几何与射影几何： 简介这些几何学分支，它们更关注变换下的不变性。 拓扑学概述： 介绍拓扑学——“橡皮膜几何”，关注图形在连续形变下保持不变的性质（如咖啡杯和甜甜圈的同胚性）。 实际应用案例： 探讨几何学在工程设计（结构优化）、计算机图形学（渲染）、导航定位（GPS）以及建筑艺术中的实际应用案例分析。 全书特色： 本书注重逻辑链条的严密性，每一结论都有清晰的推导过程。书中穿插了大量图示和精选的例题与习题，旨在培养读者“几何直觉”与“代数求解”相结合的综合能力。我们相信，掌握几何，就是掌握了理解世界结构的一种核心思维方式。

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说实话，我拿到这本书时，内心是有点忐忑的，因为我女儿（小学四年级）对数学奥赛的兴趣刚刚萌芽，我担心市面上那些“秘籍”会让她过早地被拔苗助长。这本书给我的第一个惊喜就是它的“温度”。它不像有些资料那样冷冰冰地堆砌公式和解答，而是仿佛有一位经验丰富、语气温和的老师在旁边指导。比如在解析一些几何题时，它会非常细致地描绘辅助线的添加过程，甚至会讨论“如果我不加这条线，而是加另一条线，会出现什么情况”，这种引导性的思考过程，比直接给出答案要宝贵得多。我观察我女儿使用这本书的频率，她不再是死记硬背解题套路，而是开始主动思考不同解法之间的联系。更让我欣赏的是，它对一些“陷阱”题的分析，会明确指出初学者最容易在哪里犯错，这种预判能力体现了编者极高的教学经验。对于家长来说，这本书也充当了一个很好的桥梁，让我们能够理解孩子在学习过程中遇到的思维障碍点，从而进行更有效的沟通和辅导。它不是那种只适合天才儿童的“天书”，它更像是一本努力让所有有潜力的孩子都能跨越门槛的阶梯。

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如果让我总结一下这本书最独特的价值，那可能在于它对“思维模式”的培养而非“解题技巧”的灌输。市面上很多奥赛辅导书都是围绕着“绝招”“秒杀技巧”来构建的，虽然短期内可能提分效果明显，但缺乏持久的内驱力。这本书则完全走的是另一条路。它通过大量的例题变异和深入的分析，潜移默化地训练读者如何从不同的角度审视一个数学问题。比如，它在分析行程问题时，会对比“代数法”、“图示法”和“相对运动法”的优劣，而不是只推崇某一种最优解。这种辩证的视角，对于塑造一个成熟的数学思维至关重要。我注意到，在解析中，即便是最难的题目，作者也尽可能地提供不止一种思路，这鼓励了孩子去探索和比较，最终形成自己最顺手的解决框架。这本书更像是一份“思维健身房”的指导手册，你必须自己去举起“哑铃”（即解决问题），但它提供的器械和指导，确保你的训练是科学且高效的，而非盲目乱练。它培养的是一种面对未知问题的系统性应对能力，这远比记住几道题目的解法要宝贵得多。

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这本书的装帧和排版，虽然朴实，却极其注重阅读体验，这是很多专注于竞赛内容的书籍容易忽略的地方。试题和详解之间的分隔非常明确，通常是通过不同的字体、加粗或者留白来区分，这大大减少了阅读时的认知负担。我一个成年人长时间阅读下来，眼睛也不会感到特别疲劳，这在厚厚的教材中是难能可贵的。而且，它对图表的运用也非常考究。在处理立体几何或复杂的平面几何切割问题时，插图不仅清晰，而且往往会用不同颜色的线条来突出关键的分割线或等量关系，这种视觉辅助效果远胜于单纯的文字描述。我记得有一道关于圆中弦长的问题，如果光靠文字描述，我可能需要反复读好几遍才能在脑海中构建出准确的图形，但这本书的配图几乎是瞬间就让概念清晰起来了。它在细节上的用心程度，体现了编者对“有效学习时间”的尊重，让读者能把精力集中在思考本身，而不是被混乱的排版所困扰。

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我主要关注的是书中关于数论部分的论述，这部分内容处理得相当精彩，展现了极高的学术水准和清晰的逻辑脉络。特别是对于“同余”概念的引入和应用，书中采用了多种不同的视角去阐释，从最初的“余数”概念自然延伸到代数表示，再到如何用它来高效解决复杂的“不定方程”雏形问题。我发现很多其他资料在处理这类问题时，往往直接跳到复杂的公式，让读者摸不着头脑，而这本教材则非常注重“铺垫”。它不是简单地罗列历年真题，而是将真题作为检验和巩固特定知识点的工具。每一个知识板块结束后的总结，都像是一次对核心思想的提炼，非常精炼到位。比如，在讨论最大公约数和最小公倍数时，它不仅给出了辗转相除法的具体步骤，还深入探讨了其背后的欧几里得原理，这种对数学本质的追溯，使得学习过程从“应用题解算”升华到了“数学原理理解”。对于那些对数学有深度探究欲望的孩子和家长来说，这本书的深度是远远超出普通辅导书范畴的，它提供了一种严谨且富有启发性的学习体验。

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这本厚重的书，我入手其实是冲着它名字里“奥林匹克”这三个字去的，想着能从中窥见那些顶尖小学生的思维火花。然而，实际翻阅下来，给我的感觉更像是一份详尽、甚至可以说是百科全书式的数学知识梳理。它不像我预想中那样，一上来就抛出那些让人头皮发麻的竞赛难题，反而更像是一个循序渐进的向导。书中的章节划分非常清晰，从最基础的数论、几何、排列组合，到后期的函数与方程，几乎覆盖了小学阶段所有可能出现的数学分支。特别值得一提的是，对于每一个知识点，作者都不仅给出了定义，还配上了大量的例题和变式，这些例题的难度梯度设置得极其合理。初学者可能会先被那些看似简单的基础题引入，然后逐步过渡到需要巧妙构思的中等难度题。这种由浅入深的编排方式，让一个已经离开小学很久的我，重新找回了对数学逻辑的亲近感。它更像是一套完善的自学教材，而不是单纯的题库，如果你只是想找几道难啃的骨头，这本书可能显得有点“大材小用”了，但如果你想系统性地补强或深入理解小学数学的底层逻辑，它绝对是上乘之作。我尤其喜欢它在解析中对“为什么”的探讨，而不是仅仅告诉你“怎么做”，这才是真正能提升思维层次的关键。

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