线性代数自学指导与习题精解 (平装) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:西安交通大学出版社

作者:魏战线

出品人:

页数:279

译者:

出版时间:2002-7

价格:12.0

装帧:平装

isbn号码:9787560515304

丛书系列:

图书标签:

• 线性代数
• 高等数学
• 教材
• 自学
• 习题
• 精解
• 大学
• 考研
• 数学基础
• 平装

《深入理解现代抽象代数》 内容提要： 本书旨在为具有扎实基础代数知识（如群论、环论和域论的初步概念）的学习者提供一个全面而深入的现代抽象代数学习路径。不同于侧重于基础概念介绍的入门教材，本书将重点放在理论的严谨性、核心定理的证明细节，以及代数结构在其他数学分支（如拓扑学、代数几何和数论）中的应用。全书共分为五大部分，共计十八章，涵盖了从群论的高级主题到伽罗瓦理论的精髓，以及模论和范畴论的初步探讨。 第一部分：群论的精深探索 本部分将群论的讨论提升至更高的抽象层次。我们首先回顾了群、子群、正规子群和商群的基本概念，随后立即进入对更复杂结构的分析。 第1章：有限群的结构与表示。 详细讨论Sylow定理的证明及其在确定有限群结构中的关键作用。我们不仅会展示Sylow定理的经典应用，还会探讨p-群的性质，包括中心、交换子群以及由这些性质导出的群的结构分解。此外，本章将引入群的表示论的初步概念，使用向量空间上的线性变换来刻画群的结构，重点阐述特征标理论的起源和基本概念，为后续章节的抽象代数结构提供一个“具象化”的视角。 第2章：群作用与同构理论的延伸。 深入探讨群作用的分类，包括 Cayley 定理的推广形式。重点放在对半直积（Semi-direct Products）的结构分解上，并利用这些分解来构造非平凡的群，例如二面体群的更一般化。此外，本章将对导群（Derived Subgroups）和中心列（Central Series）进行细致分析，阐明幂零群（Nilpotent Groups）和可解群（Solvable Groups）的性质及其在分析特定群族，如有限单群分类的背景下的意义。 第3章：无限群的拓扑与几何联系。 本章将超越有限群的范畴，探讨自由群、自由积（Free Products）的构造。我们将详细介绍群的Cayley图，并利用图论的工具来理解群的几何结构，特别是对于离散群的性质。随后，引入群的（上）同调理论的初步概念，重点关注H1群上同调群的解释，以连接群论与代数拓扑。 第二部分：环、模与同调基础 本部分将焦点从乘法结构（群）转向同时具有加法和乘法结构的代数对象——环与模。 第4章：环论的深化与结构分解。 在复习交换环、理想和商环的基础上，本章着重分析非交换环的结构。详细讨论Artin-Wedderburn 定理，阐明半简单环（Semisimple Rings）的结构。在交换环部分，我们将深入探讨Noetherian 环、Artinian 环，并利用Krull 维度来区分这些环的复杂性。我们还将详细分析局部化（Localization）的过程及其在将环嵌入到其分数域方面的作用。 第5章：模论的建立与结构。 模被视为推广了向量空间的双关概念。本章从定义模开始，然后转向自由模、投射模和内射模的分类。对于Noetherian 环，我们将完整地证明结构定理（Structure Theorem for Finitely Generated Modules over a PID），这是理解矩阵理论和线性算子应用的关键。随后，引入张量积的性质，并展示其作为一种“双线性态射的集合”的强大构造能力。 第6章：同调代数入门。 基于前面对模论的铺垫，本章正式引入同调代数的核心工具——长正合序列。我们将定义 Ext 函子和 Tor 函子，详细解释它们如何衡量一个模（或一个对象）偏离“良好性质”（如投射性或内射性）的程度。这部分内容对后续的代数几何和微分方程的分析至关重要。 第三部分：域论与伽罗瓦理论的精妙 本部分是本书的理论核心之一，它将群论的工具精确地应用于域的扩张问题，形成了伽罗瓦理论的宏伟框架。 第7章：域扩张的理论基础。 细致区分代数扩张、超越扩张。深入探讨极小多项式和域扩张次数的乘法性。本章将集中于有限扩张的性质，并引入更高级的结构，如有限域的构造，特别是 $GF(p^n)$ 的唯一性证明。 第8章：伽罗瓦扩张的构造与性质。 引入伽罗瓦群的定义，并严格证明伽罗瓦理论的四大基本定理，包括子群与中间域之间的一一对应关系。我们将利用 Artin 证明来展示 $ ext{Gal}(L/K)$ 的阶与 $[L:K]$ 的关系。 第9章：不可解性与伽罗瓦理论的应用。 利用伽罗瓦理论来分析经典几何构造问题，特别是“用尺规作图”的问题，并给出五次及以上方程没有一般求根公式的代数证明。本章还将探讨无限伽罗瓦扩张的结构，包括绝对伽罗瓦群的概念。 第四部分：交换代数与代数几何的桥梁 本部分将代数结构扩展到更一般的交换环，为后续学习代数几何打下坚实的基础。 第10章：交换环上的素理想结构。 深入探讨素理想和极大理想的性质，并详细分析环的谱（Spec(R)）的拓扑结构。引入整环（Integral Domains）的概念及其分数域的构造。 第11章：代数扩展：积分扩张与诺特环。 详细分析积分扩张（Integral Extensions）的性质，例如Lying Over 引理和Going Down 引理。重点讨论诺特环（Noetherian Rings）和交换代数的核心概念——正则局部环的性质。 第12章：张量积与外代数。 重新审视张量积的定义，并将其推广到环上的模。随后，系统地介绍对称代数（Symmetric Algebras）和外代数（Exterior Algebras）的构造，这些代数结构是理解微分形式和代数几何中“切空间”概念的先决条件。 第五部分：高级主题与交叉领域 本部分将本书的讨论提升至更抽象、更前沿的领域，展现抽象代数的广阔应用前景。 第13章：非交换环与除环。 深入研究除环（Division Rings）的结构，并探讨中心（Center）和换位子子群（Commutator Subgroup）的性质。讨论有限域上的矩阵环的性质。 第14章：范畴论基础。 从集合论的视角转向更高级的结构视角。介绍范畴、函子、自然变换的基本概念。重点讲解极限与余极限（Products and Coproducts）在不同范畴中的具体实现，以及伴随函子（Adjoint Functors）的强大构造能力。 第15章：李代数简介。 李代数作为李群的“切线空间”，在物理学和几何学中至关重要。本章介绍李括号、李代数的结构，并探讨 $sl_2$ 的结构和表示。引入半单李代数的Killing 形式和根系的概念。 第16章：希尔伯特环与希尔伯特多项式。 在域论的基础上，本章专门探讨有限域上代数簇的研究，这是代数几何的早期形式。详细介绍希尔伯特零点定理（Hilbert's Nullstellensatz）的非平凡内容及其在代数几何中的基础地位。 第17章：特殊结构群的表示。 选取几个重要的矩阵群（如一般线性群 $GL_n$、特殊线性群 $SL_n$）进行深入的表示论分析，特别是复数域上的情形，展示如何利用特征标理论来计算群的表示维度。 第18章：代数数论的初步连接。 简要介绍代数数域 $mathbb{Q}(alpha)$ 的环 $mathcal{O}_K$ 上的理想类群（Ideal Class Group）的概念，展示抽象代数如何被用来解决数论中的基本问题，如费马大定理的部分推广。 本书要求读者具备一定的数理逻辑基础和对线性代数、初等代数有深刻理解。每一章后都附有具有挑战性的习题，旨在引导读者从概念的理解走向理论的创造性应用。

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