具体描述
The term "weakly differentiable functions" in the title refers to those inte grable functions defined on an open subset of Rn whose partial derivatives in the sense of distributions are either Lr functions or (signed) measures with finite total variation. The former class of functions comprises what is now known as Sobolev spaces, though its origin, traceable to the early 1900s, predates the contributions by Sobolev. Both classes of functions, Sobolev spaces and the space of functions of bounded variation (BV functions), have undergone considerable development during the past 20 years. From this development a rather complete theory has emerged and thus has provided the main impetus for the writing of this book. Since these classes of functions play a significant role in many fields, such as approximation theory, calculus of variations, partial differential equations, and non-linear potential theory, it is hoped that this monograph will be of assistance to a wide range of graduate students and researchers in these and perhaps other related areas. Some of the material in Chapters 1-4 has been presented in a graduate course at Indiana University during the 1987-88 academic year, and I am indebted to the students and colleagues in attendance for their helpful comments and suggestions.
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用户评价
《弱可微函数》这本书的书名，立刻吸引了我，因为它触及了数学分析中一个相对“非主流”但又极其重要的分支。在我看来，数学的魅力恰恰在于它对概念的不断探索和精炼，而“弱可微性”正是这样一种探索的体现。我期望这本书不仅能提供一个严谨的数学定义，更能深入阐述其背后的理论逻辑以及它在解决复杂数学问题时的实际应用价值。 我非常想了解，弱可微性的数学定义究竟是什么样的？它是否是通过积分的形式来引入导数的概念，亦或是借助了其他更抽象的数学工具？我特别好奇，为什么我们需要“弱”可微性？它又是如何弥补传统可微性在处理某些“病态”或“奇异”函数时的不足的。例如，那些在特定点上导数不存在，甚至导数行为不规则的函数，弱可微性是否能为我们提供一种更强大的分析工具来描述它们的行为？ 书中对 Sobolev 空间的深入论述，是我尤为期待的部分。Sobolev 空间作为现代偏微分方程理论的基石，其构建离不开弱可微性的概念。我希望作者能够清晰地阐释，如何从弱可微性的概念出发，构建 Sobolev 空间，以及 Sobolev 空间中的范数是如何与弱导数紧密联系的。 我同样期待书中能够包含一些关于弱可微函数在不同函数空间（例如 L^p 空间）中的性质，比如它们的收敛性、逼近性以及它们在这些空间中的“密度”概念。这些性质对于理解函数的分析行为至关重要。 我非常想知道，书中是否会提供一些判断一个函数是否为弱可微的充要条件。也就是说，一个函数如果满足什么样的积分条件，或者具有什么样的正则性假设，就能够被确认为弱可微？ 我期待书中能够通过一些生动且具有代表性的例子，来帮助我们理解抽象的数学概念。例如，一些经典的函数，它们是弱可微的，但不是强可微的，这样的例子能极大地加深我们对概念的理解。 此外，我对弱可微性在数学科学的各个分支中的应用也充满好奇。它是否在泛函分析、调和分析，甚至在一些应用领域（如物理学中的连续介质力学或概率论）中扮演着关键角色？ 这本书的理论深度是否能够满足一个对数学分析有一定基础的读者？ 我希望《弱可微函数》这本书能够成为我深入理解函数分析的精髓，掌握一种更加强大和灵活的数学工具的指路明灯。
评分这本书的书名《弱可微函数》本身就足够吸引人，因为它触及了数学分析中一个相当微妙且重要的话题。作为一名对纯粹数学，尤其是分析学领域有着浓厚兴趣的读者，我一直渴望能有一本著作能够深入浅出地讲解那些看似边缘但实则基础的数学概念。弱可微性，顾名思义，暗示着对传统可微性概念的某种“放宽”或“拓展”，这本身就充满了探索的魅力。我预期这本书不会止步于简单地定义弱可微，而是会深入探讨其产生的背景、数学上的严谨定义，以及它在更广泛的数学结构中所扮演的角色。 我特别期待书中能够阐述弱可微性与传统可微性之间的关系，以及在哪些情况下，弱可微性能够提供比传统可微性更普适的分析工具。例如，在处理一些具有“病态”性质的函数时，比如在某些点上导数不存在或无界，但函数整体行为仍需被精确刻画的情况下，弱可微性是否能提供一种有效的描述框架？我对书中可能涉及到的 Sobolev 空间以及它与弱可微函数之间的紧密联系充满了好奇。 Sobolev 空间在偏微分方程、几何分析等领域扮演着核心角色，而理解弱可微性是进入这些领域必不可少的第一步。 此外，这本书的书名也暗示了它可能对函数空间的研究有所侧重。函数空间是现代分析学的基石，而弱可微性的概念无疑会为函数空间的理论增添新的维度。我希望作者能够通过清晰的论证和生动的例子，展示弱可微函数在各种函数空间中的性质，例如它们的稠密性、完备性以及在此基础上的逼近性质。 这本书会不会涉及一些关于弱可微函数存在的条件？比如，是否存在一些关于函数的光滑性、连续性或特定积分性质的假设，能够保证一个函数是弱可微的？我对此非常感兴趣，因为理解这些条件有助于我们更深入地认识函数的内在属性。 同时，对于数学研究者而言，这本书能否提供一些新的视角或研究方向？弱可微性作为一个相对“弱”的概念，可能在某些分析问题中展现出独特的优势，尤其是在处理那些传统方法难以奏效的复杂函数。 我期待书中能够包含一些关于弱可微函数应用的例子，无论是在理论数学的内部，还是在应用数学的领域。例如，在物理学中的某些模型，或者在工程学中的信号处理等场景，是否能够找到弱可微函数的应用痕迹？ 这本书的书名《弱可微函数》也引发了我对它在数学分析发展史上的定位的思考。它是否是某一理论突破的产物？它是否开创了新的研究领域？ 我希望这本书能够以一种循序渐进的方式来阐述复杂的概念，从最基础的定义出发，逐步深入到更高级的理论。 我也很想知道，这本书的作者在弱可微函数领域的研究水平如何，是否是该领域的权威人士。 总而言之，《弱可微函数》这本书的书名本身就蕴含着丰富的数学内涵，我对它寄予厚望，希望它能成为我深入理解数学分析领域的一本重要参考书籍。
评分《弱可微函数》这本书的书名，本身就蕴含着一种对数学概念边界进行探索的意味。作为一名热衷于纯粹数学，尤其是对数学分析的精妙之处着迷的读者，我一直期待能有一本著作能够深入浅出地讲解那些看似晦涩但却极其重要的数学概念。弱可微性，这个词汇就暗示着对传统可微性定义的某种拓展，一种更具普适性的分析框架。我猜想，这本书不仅仅是简单地介绍一个新概念，而是会深入挖掘其数学根源和应用价值。 我非常期待书中能够对弱可微性的数学定义进行严谨而清晰的阐述。这其中必然涉及到对导数概念的某种“弱化”，可能是通过积分形式，或者引入测试函数来刻画导数的存在性。我特别想了解，弱可微性究竟是如何弥补传统可微性在处理某些“病态”函数时出现的局限性的。例如，在某些点上导数不存在或无界的函数，弱可微性是否能提供一个更强大的分析工具来描述它们的行为？ 这本书对 Sobolev 空间的论述，是我尤为关注的部分。Sobolev 空间是现代偏微分方程理论的基石，而其定义很大程度上依赖于弱可微性的概念。我希望作者能够清晰地阐释，如何从弱可微性的概念出发，构建 Sobolev 空间，以及 Sobolev 空间中的范数与弱导数之间的关系。 我同样期待书中能够包含一些关于弱可微函数在不同函数空间（如 L^p 空间）中的性质，例如它们的收敛性、逼近性以及它们在这些空间中的“密度”概念。这些性质对于理解函数的分析行为至关重要。 我非常想知道，书中是否会提供一些判断一个函数是否为弱可微的充要条件。也就是说，一个函数如果满足什么样的积分条件，或者具有什么样的正则性假设，就能够被确认为弱可微？ 我期待书中能够通过一些生动且具有代表性的例子，来帮助我们理解抽象的数学概念。例如，一些经典的函数，它们是弱可微的，但不是强可微的，这样的例子能极大地加深我们对概念的理解。 此外，我对弱可微性在数学科学的各个分支中的应用也充满好奇。它是否在泛函分析、调和分析，甚至在一些应用领域（如物理学中的连续介质力学或概率论）中扮演着关键角色？ 这本书的理论深度是否能够满足一个对数学分析有一定基础的读者？ 我希望《弱可微函数》这本书能够成为我深入理解函数分析的精髓，掌握一种更加强大和灵活的数学工具的指路明灯。
评分《弱可微函数》这本书的书名，无疑触动了我对数学分析领域中那些精妙而又极具挑战性概念的求知欲。在我看来，数学的魅力恰恰在于其不断地对自身概念进行审视、拓展和深化，而“弱可微性”正是这样一种拓展的产物。我预期这本书不仅会提供一个严格的数学定义，更会深入剖析其产生的背景、数学上的意义以及在更广泛的数学框架中所扮演的角色。 我非常期待书中能够对弱可微性的精确定义进行详细的介绍。这其中必然涉及到对导数概念的某种“柔化”处理，可能是通过积分形式，或者引入测试函数来实现。我尤其想了解，弱可微性是如何克服传统可微性在描述某些“行为怪异”的函数时的局限性的。例如，那些在特定点上导数不存在，或者导数无界的函数，弱可微性是否能为我们提供一种更普适的分析工具？ 书中对 Sobolev 空间的论述，是我最为期待的部分之一。Sobolev 空间是现代偏微分方程理论的核心，而其构建离不开弱可微性的概念。我希望作者能够清晰地阐释，如何从弱可微性出发，构建 Sobolev 空间，并解释 Sobolev 空间中的范数是如何与弱导数紧密联系的。 我同样好奇，这本书是否会探讨弱可微函数在某些特定函数空间（例如 L^p 空间）中的性质，比如它们的收敛性、逼近性以及它们在这些空间中的“密度”概念。 我非常想知道，书中是否会给出一些判定一个函数是否为弱可微的充要条件。例如，一个函数如果满足什么样的积分条件，或者具有什么样的结构特征，就必然是弱可微的？ 我期待书中能够提供一些具有启发性的例子，通过具体的函数，生动地展示弱可微性的概念，以及它与传统可微性的微妙区别。 此外，我对弱可微性在数学科学的各个分支中的应用也充满好奇。它是否在泛函分析、调和分析，甚至在一些应用领域（如概率论、图像处理）中扮演着关键角色？ 这本书的理论深度是否能够满足一个对数学分析有一定基础的读者？ 我希望《弱可微函数》这本书能够成为我理解函数分析精髓，掌握一种更加强大的数学工具的钥匙。
评分《弱可微函数》这本书的书名，乍听之下，便勾勒出一种探索数学概念边界的意图。作为一名对函数论及其相关领域有着深厚兴趣的读者，我一直对那些挑战传统定义的数学对象充满好奇。弱可微性，这个词语本身就预示着它并非简单地复述我们熟知的“可微”概念，而是对其进行某种程度的扩展或泛化，这无疑为深入研究数学的精妙之处提供了绝佳的切入点。我期待这本书能够详尽地阐述弱可微性的数学根基，不仅仅是提供一个抽象的定义，更要深入剖析其背后的逻辑以及它在解决实际数学问题时的必要性。 我尤其希望作者能够深入探讨弱可微性与我们更为熟悉的“强可微性”之间的内在联系与区别。在什么情况下，一个函数可以被视为弱可微，但却不是强可微？这种“弱”体现在何处？这种区别又带来了哪些分析上的便利或挑战？我猜想，这本书可能会大量涉及积分形式的定义，或者使用某种“测试函数”作为工具来刻画弱可微性，这在现代分析学中是非常普遍且强大的方法。 Sobolev 空间的构建，往往离不开弱可微性的概念。因此，我非常期待书中能详细介绍弱可微性如何在 Sobolev 空间的理论框架中发挥作用。 Sobolev 空间在偏微分方程理论中具有举足轻重的地位，理解了弱可微性，才能更好地理解 PDE 解的存在性、光滑性等关键问题。书中是否会通过具体的例子来演示，如何利用弱可微性的概念来定义和研究 PDE 的弱解？ 另外，我对弱可微函数在某些特殊函数空间中的行为也很感兴趣。例如，它们在 L^p 空间，或者其他更复杂的函数空间中的性质，比如它们是否构成一个完备的空间，或者它们是否具有某种稠密性，能够逼近其他类型的函数？ 这本书的书名也暗示了它可能包含一些关于弱可微函数存在的充分必要条件。例如，一个函数如果满足什么样的积分条件，或者具有什么样的“正则性”属性，就能够被确认为弱可微？ 我同样好奇，作者是否会为我们揭示弱可微性在一些数学分支中的应用，例如在调和分析、几何分析，甚至概率论等领域。 我还想知道，这本书是否会对弱可微函数的“可积性”或“可积性”给出更深入的分析。 我期待书中能够提供一些直观的解释，帮助我们理解抽象的数学概念。 这本书的理论深度是否适合我这样一个有着一定数学基础的读者？ 我迫切希望通过阅读《弱可微函数》这本书，能够拓展我对函数分析的理解边界，掌握一种更普适、更强大的分析工具。
评分《弱可微函数》这本书的书名，立刻就勾起了我对数学中那些“边缘”概念的浓厚兴趣。在我的认知中，数学的魅力往往体现在其对概念的精确界定以及对这些概念的不断拓展和深化。弱可微性，这个词汇本身就暗示着一种对传统可微性概念的挑战，一种将分析工具推向更广阔领域的新尝试。我深信，这本书绝不仅仅是对“可微”概念的简单“稀释”，而是蕴含着深刻的理论思想和分析技巧。 我期待书中能够对弱可微性的数学定义进行严谨而详尽的阐述。这其中必然涉及到对积分、对导数的“弱”的理解。它是否是通过某种积分形式来定义的？是否需要引入一些特殊的函数类，比如测试函数，来完成对导数的“存在性”的刻画？我特别想知道，弱可微性是如何弥补传统可微性在处理某些“病态”函数时的不足的。 这本书是否会深入探讨弱可微性与黎曼可积性、勒贝格可积性之间的关系？一个弱可微函数，是否必然具有某种形式的可积性？这种可积性又是什么样的？ 我尤其对弱可微性在 Sobolev 空间中的角色充满期待。Sobolev 空间作为现代偏微分方程理论的基石，其定义很大程度上依赖于弱可微性的概念。我希望这本书能够清晰地阐释，如何从弱可微性出发，构建 Sobolev 空间，以及 Sobolev 空间的范数与弱导数之间的关系。 我同样好奇，这本书是否会介绍一些与弱可微性相关的积分不等式，例如 Gagliardo–Nirenberg 不等式等，这些不等式在分析学中扮演着至关重要的角色。 对于函数的逼近性质，这本书是否会探讨弱可微函数是否能够逼近某些更光滑的函数，或者反之？ 我期待书中能够包含一些具有代表性的例子，通过具体的函数，来直观地展示弱可微性的概念，以及它与传统可微性之间的差异。 此外，我希望这本书能提供一些关于弱可微函数在某些特定数学领域中的应用。例如，在泛函分析、调和分析，或者在一些应用领域，比如物理或工程的数学建模中，弱可微性是否扮演着重要角色？ 我是否能从这本书中获得一些关于如何判断一个函数是否为弱可微的实用技巧？ 我期待《弱可微函数》能够成为我理解函数分析深层内涵的一扇窗口，帮助我掌握一种更加灵活和强大的分析工具。
评分《弱可微函数》这本书的书名，本身就带着一股数学的神秘感和探索的吸引力。它暗示着对我们习以为常的“可微”概念的一种超越，一种对函数性质更深层次的理解。我预期这本书不仅会提供一个抽象的定义，更重要的是要阐述弱可微性在现代数学分析中所扮演的关键角色。 我迫切想了解，弱可微性的数学定义究竟是什么样的？它是否依赖于积分的某些性质？或者是否需要引入某些“测试函数”作为辅助工具来定义导数的存在性？我十分好奇，为什么我们需要“弱”可微性？它又是如何解决传统可微性在某些情况下无法处理的问题的？例如，一些不光滑的函数，或者在某些点上导数不存在甚至无界的函数，弱可微性是否能提供一个更普适的框架来描述它们的行为？ 这本书是否会详细介绍与弱可微性紧密相关的 Sobolev 空间？Sobolev 空间是现代偏微分方程理论的基石，而其定义很大程度上依赖于弱可微性的概念。我希望这本书能够清晰地阐释，如何从弱可微性的概念出发，构建 Sobolev 空间，以及 Sobolev 空间中的范数与弱导数之间的关系。 我同样好奇，这本书是否会探讨弱可微函数在某些特定函数空间（如 L^p 空间）中的性质，比如它们的连续性、紧致性，以及它们在这些空间中的密度性质。这些性质对于理解函数的逼近能力和在不同空间中的行为至关重要。 本书是否会涉及一些关于弱可微性存在的条件？也就是说，一个函数如果满足什么样的积分条件，或者具有什么样的结构特征，就能够被确认为弱可微？ 我希望作者能够通过一些生动且具有代表性的例子，来帮助我们理解抽象的数学概念，比如一些经典的函数，它们是弱可微的，但不是强可微的。 此外，我对弱可微性在数学研究中的实际应用也非常感兴趣，比如在泛函分析、调和分析，甚至在一些交叉学科领域（如物理学中的连续介质力学或概率论）中，是否能够找到弱可微函数的应用？ 这本书的理论深度是否能够满足一个对数学分析有一定基础的读者？ 我期待《弱可微函数》能够成为我理解函数分析深层内涵的一扇窗口，帮助我掌握一种更灵活和强大的分析工具。
评分《弱可微函数》这本书的书名，一下子就吸引了我。它暗示着对传统数学分析概念的一种拓展和深化，这正是我所追求的。我一直对那些能够提供更一般化、更具普适性分析工具的数学理论充满兴趣，而“弱可微性”无疑是这样一个概念。我预期这本书能够为我打开一扇新的窗户，让我以更广阔的视角来审视函数及其性质。 我非常想知道，弱可微性的数学定义究竟是如何构建的？它是否依赖于积分的某些性质，亦或是引入了某种“测试函数”来刻画导数的存在性？我特别好奇，为什么我们需要“弱”可微性？它又是如何弥补传统可微性在处理某些“病态”或“奇异”函数时的不足的。例如，那些在特定点上导数不存在，甚至导数行为不规则的函数，弱可微性是否能为我们提供一种更强大的分析工具来描述它们的行为？ 书中对 Sobolev 空间的论述，是我尤为期待的部分。Sobolev 空间作为现代偏微分方程理论的基石，其构建离不开弱可微性的概念。我希望作者能够清晰地阐释，如何从弱可微性的概念出发，构建 Sobolev 空间，以及 Sobolev 空间中的范数是如何与弱导数紧密联系的。 我同样期待书中能够包含一些关于弱可微函数在不同函数空间（例如 L^p 空间）中的性质，比如它们的收敛性、逼近性以及它们在这些空间中的“密度”概念。这些性质对于理解函数的分析行为至关重要。 我非常想知道，书中是否会提供一些判断一个函数是否为弱可微的充要条件。也就是说，一个函数如果满足什么样的积分条件，或者具有什么样的正则性假设，就能够被确认为弱可微？ 我期待书中能够通过一些生动且具有代表性的例子，来帮助我们理解抽象的数学概念。例如，一些经典的函数，它们是弱可微的，但不是强可微的，这样的例子能极大地加深我们对概念的理解。 此外，我对弱可微性在数学科学的各个分支中的应用也充满好奇。它是否在泛函分析、调和分析，甚至在一些应用领域（如物理学中的连续介质力学或概率论）中扮演着关键角色？ 这本书的理论深度是否能够满足一个对数学分析有一定基础的读者？ 我希望《弱可微函数》这本书能够成为我深入理解函数分析的精髓，掌握一种更加强大和灵活的数学工具的指路明灯。
评分《弱可微函数》这本书的书名，本身就带着一股数学的神秘感和探索的吸引力。它暗示着对我们习以为常的“可微”概念的一种超越，一种对函数性质更深层次的理解。作为一名对数学分析，尤其是对函数空间理论和微分方程理论抱有浓厚兴趣的读者，我非常渴望能够阅读到这样一本能够拓展我视野、深化我理解的著作。我预期这本书不仅仅是提供一个抽象的定义，更重要的是要阐述弱可微性在现代数学分析中所扮演的关键角色。 我迫切想了解，弱可微性到底是如何被精确定义的？它是否依赖于积分的某些性质？或者是否需要引入某些“测试函数”作为辅助工具来定义导数的存在性？我十分好奇，为什么我们需要“弱”可微性？它又是如何解决传统可微性在某些情况下无法处理的问题的？例如，一些不光滑的函数，或者在某些点上导数不存在甚至无界的函数，弱可微性是否能提供一个更普适的框架来描述它们的行为？ 这本书是否会详细介绍与弱可微性紧密相关的 Sobolev 空间？Sobolev 空间在偏微分方程、几何分析等领域有着极其重要的应用，而理解弱可微性是进入这些领域的基础。我期待书中能够清晰地解释，如何从弱可微性的概念出发，构建 Sobolev 空间，以及 Sobolev 空间中的范数与弱导数之间的联系。 我同样期待书中能包含一些关于弱可微函数性质的深入探讨，比如它们的连续性、紧致性，以及它们在某些函数空间（如 L^p 空间）中的密度性质。这些性质对于理解函数的逼近能力和在不同空间中的行为至关重要。 本书是否会涉及一些关于弱可微性存在的条件？也就是说，一个函数如果满足什么样的积分条件或正则性假设，就能够被确认为弱可微？ 我希望作者能够通过一些生动且具有代表性的例子，来帮助我们理解抽象的数学概念，比如一些经典的函数，它们是弱可微的，但不是强可微的。 此外，我对弱可微性在数学研究中的实际应用也非常感兴趣，比如在泛函分析、调和分析，甚至在一些交叉学科领域（如物理学中的连续介质力学或概率论）中，是否能够找到弱可微函数的应用？ 这本书的理论深度是否适合我这样一个对数学分析有一定了解的读者？ 我期待《弱可微函数》能够成为我深入理解函数分析，掌握更强大分析工具的指路明灯。
评分《弱可微函数》这本书的书名，立刻吸引了我，因为它触及了数学分析中一个相对“非主流”但又极其重要的分支。在我看来，数学的魅力恰恰在于它对概念的不断探索和精炼，而“弱可微性”正是这种探索的体现。我期望这本书不仅能提供一个严谨的数学定义，更能深入阐述其背后的理论逻辑以及它在解决复杂数学问题时的实际应用价值。 我非常想了解，弱可微性的数学定义究竟是什么样的？它是否是通过积分的形式来引入导数的概念，亦或是借助了其他更抽象的数学工具？我特别好奇，为什么我们需要“弱”可微性？它又是如何克服传统可微性在处理某些“病态”函数时的局限性的。例如，那些在某些点上导数不存在，甚至导数是奇异的函数，弱可微性是否能提供一个更普适的分析工具来描述它们的行为？ 这本书对 Sobolev 空间的深入论述，是我最为期待的部分。Sobolev 空间作为现代偏微分方程理论的基石，其构建离不开弱可微性的概念。我希望作者能够清晰地阐释，如何从弱可微性的概念出发，构建 Sobolev 空间，以及 Sobolev 空间中的范数是如何与弱导数紧密联系的。 我同样期待书中能够包含一些关于弱可微函数在不同函数空间（例如 L^p 空间）中的性质，比如它们的收敛性、逼近性以及它们在这些空间中的“密度”概念。这些性质对于理解函数的分析行为至关重要。 我非常想知道，书中是否会提供一些判断一个函数是否为弱可微的充要条件。也就是说，一个函数如果满足什么样的积分条件，或者具有什么样的正则性假设，就能够被确认为弱可微？ 我期待书中能够通过一些生动且具有代表性的例子，来帮助我们理解抽象的数学概念。例如，一些经典的函数，它们是弱可微的，但不是强可微的，这样的例子能极大地加深我们对概念的理解。 此外，我对弱可微性在数学科学的各个分支中的应用也充满好奇。它是否在泛函分析、调和分析，甚至在一些应用领域（如物理学中的连续介质力学或概率论）中扮演着关键角色？ 这本书的理论深度是否能够满足一个对数学分析有一定基础的读者？ 我希望《弱可微函数》这本书能够成为我深入理解函数分析的精髓，掌握一种更加强大和灵活的数学工具的指路明灯。
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