反问题的数值解法 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:科学出版社发行部

作者:肖庭延等

出品人:

页数:276

译者:

出版时间:2003-1

价格:30.00元

装帧:简裝本

isbn号码:9787030115669

丛书系列:信息与计算科学丛书·典藏版

图书标签:

• 数学
• 反问题的数值解法
• 反问题
• 计算
• 反演
• 2009
• 反问题
• 数值解法
• 数学建模
• 科学计算
• 工程应用
• 优化算法
• 数据拟合
• 误差分析
• 偏微分方程
• 计算方法

《数值方法中的反问题探究》 本书旨在深入探讨计算科学领域中一个至关重要但又充满挑战的分支——反问题的数值解法。我们将告别直接计算因果关系、预测给定参数下的结果的“正问题”模式，转而专注于从观测到的效应或数据出发，去推断其潜在的原因或模型参数。这正如我们试图从一张模糊的照片中还原出被拍摄的对象，或者从一段心电图信号中诊断出潜在的疾病一样，其核心在于“逆向思考”和“证据推理”。 核心内容与结构： 1. 反问题的理论基础与分类： ill-posedness 的本质： 书籍将从根本上阐述反问题为何普遍存在“不适定性”（ill-posedness）。我们将详细分析三类不适定性：解的存在性、解的唯一性以及解对数据扰动的稳定性。通过具体的数学模型和直观的例子，如拉普拉斯方程的反向计算、阻尼振动系统的参数识别等，让读者深刻理解为何直接求解这些问题往往会导向无解、多解或极端敏感的结果。 反问题的分类： 我们将对反问题进行系统性的分类，以便读者能根据问题的具体性质选择合适的数值方法。常见的分类包括： 参数估计型反问题： 试图从观测数据中识别出未知的模型参数，例如在地球物理勘探中，根据地震波数据反推地下地层的密度和速度分布；在医学成像中，根据 X 射线衰减数据重构体内组织的密度信息。 成像型反问题： 旨在重构问题的空间分布信息，例如在无损检测中，利用超声波信号确定材料内部的缺陷位置和大小；在遥感应用中，根据卫星观测数据反演地表参数。 初边值反问题： 在已知系统方程和部分边界（或初始）数据的情况下，推断另一部分的边界（或初始）数据，例如热传导问题中，已知末端温度随时间的变化，推测起始时的温度分布。 正问题与反问题的联系： 虽然关注点不同，但反问题的求解往往依赖于对其对应正问题的理解。我们将展示如何构建与反问题相对应的正问题模型，并说明这种联系在数值方法设计中的重要性。 2. 正则化方法：应对不适定性的利器： 正则化的核心思想： 由于不适定性，直接对不稳定的反问题进行求解会放大数据中的噪声，导致不可靠的解。正则化方法的核心是通过引入额外的约束或先验信息，将不适定问题转化为适定问题。我们将深入剖析这一思想的数学原理。 Tikhonov 正则化： 作为最经典且广泛应用的正则化方法之一，我们将详细介绍 Tikhonov 正则化，包括其一阶和二阶形式，以及如何选择合适的正则化参数（如 L 曲线法、泛函最小化法等）。我们将通过线性最小二乘问题的正则化来阐释其基本思想，并讨论其在图像去噪和边缘检测等领域的应用。 截断奇异值分解（Truncated SVD）： 奇异值分解（SVD）是分析线性反问题的重要工具。我们将展示如何通过截断 SVD 中的小奇异值来抑制噪声的影响，从而获得稳定且有意义的解。理论分析将结合实际算例，例如从模糊图像中恢复清晰图像。 全变分（Total Variation, TV）正则化： 针对具有分段常数或阶梯状特征的反问题，TV 正则化因其能够有效保持边缘信息而受到青睐。我们将介绍 TV 的数学定义，并探讨基于梯度下降等优化算法的 TV 求解方法。在图像恢复、医学成像等领域，TV 正则化展现了其独特的优势。 迭代正则化方法： 除了上述“病态”的直接正则化，迭代方法本身也能起到正则化作用。我们将讨论如 Landweber 迭代、共轭梯度法等在反问题求解中的应用，并分析它们如何在迭代过程中实现正则化效果。 其他正则化技术： 此外，我们还会简要介绍一些其他重要的正则化技术，如贝叶斯正则化、非局部均值（Non-local Means）方法等，并分析它们各自的适用范围和特点。 3. 反问题数值求解的算法与技术： 离散化方法： 无论是偏微分方程描述的物理过程，还是积分方程形式的反问题，都需要进行离散化才能在计算机上求解。我们将介绍有限差分法、有限元法、边界元法等主流的离散化技术，并分析它们在反问题中的适用性和优缺点。 优化算法： 求解反问题通常归结为求解一个优化问题，即最小化一个包含数据保真项和正则化项的成本函数。我们将深入探讨一系列数值优化算法，包括： 梯度下降及其变种： 如批量梯度下降、随机梯度下降（SGD）、Adam 等，它们在处理大规模问题时尤其有效。 牛顿法及其拟牛顿法： 如 BFGS、L-BFGS 等，它们具有更快的收敛速度，尤其适用于光滑的成本函数。 共轭梯度法（CG）和广义最小残差法（GMRES）： 对于大型线性或非线性最小二乘问题，这些迭代求解器是不可或缺的。 模型降阶技术： 在处理高维反问题时，直接求解往往计算量巨大。模型降阶技术，如主成分分析（PCA）、独立成分分析（ICA）以及更先进的深度学习降维方法，可以有效地降低问题的维度，提高计算效率。 蒙特卡罗方法： 在某些复杂反问题中，解析或半解析的离散化方法难以构建。蒙特卡罗方法，特别是马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）方法，提供了一种强大的工具来处理具有高度不确定性的反问题，并从中采样得到参数的后验分布。 机器学习与深度学习在反问题中的应用： 近年来，机器学习，尤其是深度学习，在反问题求解领域取得了显著进展。我们将介绍如何利用神经网络来学习反问题的映射关系，如使用卷积神经网络（CNN）进行图像重建，或者利用图神经网络（GNN）处理结构化数据中的反问题。此外，还将讨论如何将深度学习与传统的正则化方法相结合，以获得更优的性能。 4. 典型应用案例分析： 医学成像： 从 CT、MRI、PET 等成像技术中，我们学习如何从传感器的观测数据中重构出人体内部的结构或功能信息。我们将重点分析如 Radon 变换逆问题（CT成像）、电磁逆问题（MRI成像）等。 地球物理勘探： 在石油、矿产资源勘探中，通过地震波、电磁波等数据反推地下地质构造，识别潜在的油气藏或矿藏。 无损检测（NDT）： 利用超声波、X 射线、涡流等技术检测材料内部的裂纹、空洞等缺陷，保障结构安全。 图像处理： 包括图像去模糊、图像去噪、图像超分辨率等，这些都是典型的反问题应用。 数据同化： 在天气预报、气候模型等领域，将实时观测数据融入数值模型，以提高预测精度。 其他领域： 还会触及声学反问题、弹性力学反问题、以及近年来兴起的与生物信息学、金融建模等相关的反问题。 本书特色： 理论与实践并重： 不仅深入讲解反问题的理论背景和数学原理，更侧重于介绍各种数值算法的实现细节和实际应用。 算法的系统性梳理： 全面覆盖了从传统正则化方法到现代机器学习方法等各类反问题数值解法。 丰富的算例与讨论： 通过大量精心设计的算例，帮助读者理解算法的性能和局限性，并提供深入的分析与讨论。 面向广泛读者： 适合数学、计算机科学、物理学、工程学、生物学、医学影像学等多个领域的学生、研究人员和工程师。 通过本书的学习，读者将能够理解反问题的本质挑战，掌握解决这些挑战的关键数值技术，并能够将所学知识应用于解决实际科学与工程问题。

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我特别欣赏书中关于“先验信息”的讨论。反问题的“病态性”使得直接求解往往不可行，而引入先验信息，即我们在求解问题之前对未知解的一些合理假设，是稳定和获得可靠解的关键。书中详细介绍了不同类型的先验信息，例如平滑性先验、稀疏性先验等，以及如何将其融入到数值求解过程中。例如，在图像去噪的反问题中，我们知道真实的图像应该是平滑的，这种平滑性就可以作为先验信息来约束求解。书中通过具体的例子，比如Shepp-Logan模型的重建，展示了如何利用不同的先验信息来改善重建图像的质量，减少伪影的出现。这种对先验信息作用的细致讲解，让我不再只是机械地套用公式，而是能够根据问题的实际情况，有策略地选择和应用合适的先验。

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我对书中关于“正则化参数选择”的多种策略的详细介绍印象深刻。如前所述，正则化参数的选择直接影响到反问题的稳定性和解的质量，因此如何选择一个合适的参数是一个既重要又困难的问题。书中介绍了交叉验证、L曲线法、偏差-方差权衡等多种常用的方法，并分析了它们各自的优缺点以及适用场景。通过具体的算例，我能够清晰地看到不同参数选择方法带来的结果差异，也学会了如何根据实际情况选择最适合的方法。这种对细节的关注，体现了作者严谨的治学态度。

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在学习过程中，我最受益的部分是书中对各种数值方法，如正则化方法（Tikhonov正则化、截断奇异值分解等）以及迭代方法（Landweber迭代、共轭梯度法等）的详细讲解。作者在介绍每种方法时，不仅仅是罗列公式，更深入地探讨了它们背后的数学原理，以及它们在处理反问题时的优缺点。例如，Tikhonov正则化通过引入先验信息来约束解的范围，从而稳定了 ill-posed 的反问题，但如何选择合适的正则化参数是关键，书中对此进行了深入的讨论，并通过算例展示了参数选择不当可能带来的负面影响。而奇异值分解（SVD）则是一种非常强大的工具，它能够揭示问题的“病态性”程度，并为正则化提供理论依据。书中关于SVD在反问题中的应用，让我对矩阵的秩、奇异值和奇异向量有了更深刻的理解，也理解了为什么某些反问题会“病态”。此外，对迭代方法的介绍，也让我看到了数值计算效率的重要性，特别是当问题的规模很大时，迭代方法比直接求解更具优势。

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这本书在理论的严谨性与应用的实用性之间取得了很好的平衡。它不仅仅停留在抽象的数学理论层面，而是紧密结合了诸如医学成像、地球物理勘探、信号处理等多个领域的实际问题。书中通过大量的案例分析，展示了反问题的数值解法在解决这些实际问题中的强大能力。例如，在CT成像中，如何从二维投影数据恢复出三维的断层图像，以及在这个过程中可能遇到的各种挑战，如散射、衰减不均等，书中都给予了深入的剖析，并介绍了相应的数值方法来应对。这种理论与实践的紧密结合，让我深刻体会到反问题的数值解法并非只是纸上谈兵，而是具有重要的科学和工程价值。

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这本书的封面设计相当朴实，没有那种花哨的插画或者夺人眼球的标题，这反而让我一开始就对它产生了专业且严谨的期待。当我翻开第一页，扑面而来的学术气息更是印证了我的感觉。书中对反问题的定义、分类以及其在科学和工程领域中的广泛应用做了细致的阐述。作者并没有一开始就抛出复杂的数学公式，而是循序渐进地引导读者理解反问题的本质——我们已知的是“结果”，却要推断“原因”，这与我们日常解决问题的方式恰恰相反。例如，在医学影像学中，我们观察到的是X射线穿过人体后的衰减图像，而我们的目标是重建出人体内部的结构。这种“逆向思维”的阐述，让我对反问题有了全新的认识。书中还提到了“病态性”的概念，即微小的测量误差可能导致反问题解的巨大偏差，这是反问题之所以困难且需要特殊数值方法处理的关键所在。对这类问题的深入分析，让我意识到，不仅仅是数学理论，理解问题的内在特性同样重要。

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书中关于“不确定性量化”的探讨，也是我非常看重的一点。在实际应用中，我们的测量数据总是有噪声的，而且我们对模型本身的假设也可能存在误差。因此，仅仅得到一个“最优解”是不够的，我们还需要了解这个解的不确定性有多大。书中介绍了诸如贝叶斯方法、蒙特卡罗方法等处理不确定性的技术，并展示了它们如何在反问题的求解中发挥作用。这让我意识到，科学研究和工程实践，最终都是在与不确定性打交道，而掌握量化不确定性的方法，是做出更可靠决策的关键。

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在阅读本书的过程中，我不仅仅是在学习技术，更是在学习一种解决问题的思维方式。反问题的数值解法教会我如何面对“不确定”和“病态”，如何在信息不完全的情况下做出最优的决策。这种思维方式不仅适用于数值计算领域，在科研、金融、甚至日常生活决策中都具有借鉴意义。作者通过对历史案例的引用，比如古希腊数学家们如何尝试解决一些“逆问题”，也为本书增添了一层人文色彩，让我感受到科学探索的漫长和不易。

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总的来说，这本书是一部非常优秀的反问题数值解法教材。它既有扎实的理论基础，又有丰富的实践经验，内容详实，讲解深入浅出，非常适合相关领域的学生、研究人员以及工程师阅读。尽管我对其中的某些高级主题还需要进一步钻研，但这本书无疑为我打开了一扇通往更深层次理解反问题数值解法的大门。它所提供的知识和方法，将是我未来在科学研究和工程实践中宝贵的财富。

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本书在算法的实现细节方面也毫不含糊。对于每一个介绍的数值方法，作者都提供了清晰的算法步骤，并且在一些关键的实现技巧上给予了提示。例如，在处理大型稀疏矩阵时，如何有效地存储和计算，避免内存溢出和提高计算效率，这些都是实际应用中非常重要的问题。书中还涉及到了一些常用的数值库和软件工具，虽然没有直接给出代码，但其描述足以让有一定编程基础的读者自行实现。我尤其欣赏书中关于“收敛性分析”的部分，它不仅告诉我们如何计算，更告诉我们计算出的结果是否可靠，是否会趋近于真实解。理解算法的收敛性，对于评估计算结果的准确性和稳定性至关重要。

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这本书的内容组织非常合理，逻辑清晰，层次分明。从反问题的基本概念出发，逐步深入到各种数值方法的理论推导、算法实现以及实际应用。每个章节之间都有良好的衔接，使得读者能够顺畅地学习。即使是对于一些较为复杂的数学概念，作者也通过生动的语言和图示进行了清晰的解释，降低了理解的难度。我尤其喜欢书中在讲解复杂算法时，会先给出一个简化的模型或者特例，然后再推广到一般情况，这种循序渐进的学习方式让我感到很受用。

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已知结果求原因----反问题；其实就是一种类型的积分方程的求解。正则方法：反问题的方法就是构造紧邻问题的正则算子，控制参数和数值实现三部曲

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随便看看

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