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出版者:清華大學齣版社

作者:雷詠梅

出品人:

頁數:178 页

译者:

出版時間:2003-9

價格:16.00元

裝幀:平裝

isbn號碼:9787302070191

叢書系列:

圖書標籤:

• 計算機網絡
• 信息安全
• 保密技術
• 網絡安全
• 數據保護
• 密碼學
• 網絡協議
• 安全工程
• 信息技術
• 通信安全

離散數學及其應用：理論基礎與算法設計 本書簡介 《離散數學及其應用：理論基礎與算法設計》旨在為讀者提供一個全麵、深入且富於實踐性的離散數學知識體係。本書內容涵蓋瞭離散數學的核心理論框架，並著重探討瞭這些理論在現代計算機科學和信息技術領域中的具體應用，尤其側重於算法設計與分析。本書的目標讀者是計算機科學、軟件工程、信息安全、數據科學等相關專業的本科生、研究生，以及需要鞏固或提升離散數學基礎的從業人員。 第一部分：基礎邏輯與集閤論 (Foundational Logic and Set Theory) 本部分奠定瞭離散數學的基石。我們首先深入探討命題邏輯 (Propositional Logic)，詳細闡述連接詞、真值錶、重言式、矛盾式以及邏輯等價性。隨後，我們將進入一階謂詞邏輯 (First-Order Predicate Logic)，引入量詞（全稱量詞與存在量詞）的嚴謹錶達方式，並討論邏輯推導和證明的有效性。 在集閤論方麵，本書不僅僅停留在集閤的定義和基本運算（並、交、差、補集），更詳細分析瞭笛卡爾積、冪集的性質。我們引入關係 (Relations) 的嚴格概念，區分自反性、對稱性、傳遞性和反對稱性。特彆地，本書將大量篇幅用於講解等價關係 (Equivalence Relations) 及其劃分（商集）的構建過程，這對於理解數據結構中的分組和分類至關重要。同時，函數 (Functions) 作為特殊的關係，其單射、滿射和雙射的特性被深入剖析，為後續的計數理論打下基礎。 第二部分：計數原理與概率初步 (Counting Principles and Introduction to Probability) 計數是離散數學在算法復雜度分析中最直接的應用領域之一。本部分係統性地介紹瞭基本計數法則，包括乘法原理和加法原理。接著，我們深入講解排列 (Permutations) 和組閤 (Combinations)，特彆是帶重復的排列組閤，以及鴿巢原理 (Pigeonhole Principle) 在證明和約束問題中的巧妙應用。 隨後，本書引入二項式定理 (Binomial Theorem) 及其廣義形式，並結閤容斥原理 (Principle of Inclusion-Exclusion) 來處理復雜的計數問題，如錯排問題。 在概率部分，我們側重於離散概率。本書定義瞭樣本空間、事件、概率的公理化定義，並詳細討論瞭條件概率和獨立事件。通過數個經典的圖論和算法相關的概率模型（例如，隨機圖的初步概念或算法的期望運行時間），展示離散概率在分析隨機算法中的實用價值。 第三部分：圖論核心 (Core Graph Theory) 圖論是離散數學中應用最為廣泛的分支之一，本書對其進行瞭係統且深入的介紹。 我們從圖的基本概念入手，定義瞭無嚮圖、有嚮圖、多重圖、簡單圖，並探討瞭鄰接矩陣和關聯矩陣的錶示方法。核心內容包括圖的度數、路徑、迴路以及連通性。 隨後，我們將重點放在具有特殊結構和性質的圖上：歐拉圖與哈密頓圖（及其判定條件和相關算法）、二分圖及其在匹配問題中的應用（例如，最大匹配的求解）。 本書對樹 (Trees) 的性質進行瞭詳盡的論述，包括其充要條件、生成樹的概念。我們隨後介紹瞭著名的圖的遍曆算法——深度優先搜索（DFS）和廣度優先搜索（BFS），並展示如何利用這些算法來解決連通性、拓撲排序等實際問題。 此外，平麵圖理論，包括歐拉公式（$v-e+f=2$）及其在網絡布局中的意義，也會被詳細講解。最後，我們將介紹圖的染色問題，涉及圖著色數以及著名的四色定理的曆史背景與意義。 第四部分：代數結構與數論基礎 (Algebraic Structures and Number Theory Foundations) 本部分將讀者從直觀的計數和結構轉嚮抽象的代數係統。 代數結構方麵，本書首先聚焦於群論 (Group Theory) 的基礎。我們嚴格定義瞭群、半群、獨異點，詳細分析瞭子群、陪集、拉格朗日定理及其推論。同態和同構的概念被用於比較不同代數結構的相似性。這些概念是理解有限域和編碼理論的先決條件。 在數論方麵，本書的核心內容是整除性、素數和同餘關係 (Modular Arithmetic)。我們深入探討瞭歐幾裏得算法及其擴展形式（用於求解綫性丟番圖方程和模逆元）。費馬小定理和歐拉定理是重點講解對象，它們直接關聯到現代密碼學中的RSA算法。本書還將初步介紹中國剩餘定理 (Chinese Remainder Theorem) 的應用。 第五部分：遞歸、生成函數與算法分析 (Recursion, Generating Functions, and Algorithm Analysis) 本部分將離散數學工具與算法分析緊密結閤。 首先，我們將討論遞歸關係 (Recurrence Relations)。我們不僅教授如何通過特徵方程法求解綫性齊次遞歸關係，更重要的是，展示如何利用迭代法和主定理 (Master Theorem) 來分析分治算法（如快速排序、歸並排序）的時間復雜度。 生成函數 (Generating Functions) 作為一種強大的計數工具，將被詳細介紹。本書展示瞭如何利用生成函數來求解復雜的遞歸關係、計數問題，以及在處理概率分布中的應用。 最後，本書將離散數學的知識係統性地匯聚到算法的正確性證明上。我們將使用數學歸納法、循環不變量、以及前麵提到的各種邏輯和計數工具，來嚴格論證關鍵算法（如圖的遍曆、最短路徑算法的某些變體）的正確性和效率邊界。 本書特色： 1. 理論與實踐的緊密結閤： 每章均包含大量的“應用實例”或“算法視角”小節，直接連接離散數學概念與實際的編程挑戰。 2. 嚴格的證明訓練： 強調讀者進行清晰、邏輯嚴密的數學證明，而非僅僅停留在計算層麵。 3. 豐富的習題集： 包含概念性、計算性和證明性三類習題，配有詳細的解答思路，以鞏固學習效果。 通過係統學習本書內容，讀者將能夠建立堅實的數學思維基礎，為深入學習計算機科學的高級課程（如算法設計與分析、形式化驗證、密碼學、復雜性理論）做好充分準備。

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