具体描述
概率论与数理统计，ISBN：9787560604633，作者：王光锐 温小霓
好的，以下是一本名为《高等代数基础与应用》的图书的详细简介，该书内容与《概率论与数理统计》无关： --- 高等代数基础与应用 一、 图书概述与定位 《高等代数基础与应用》是一本系统、深入且面向现代应用的本科及研究生基础教材。本书旨在为读者打下坚实的线性代数、矩阵理论、多项式理论以及群、环、域等抽象代数结构的核心基础。我们深知，高等代数不仅是数学学科内部各分支（如几何、分析、拓扑）的基石，更是现代工程技术、计算机科学、经济建模和信息科学等领域不可或缺的数学语言。 本书的编排遵循由具体到抽象，由计算到理论，由基础到拓展的逻辑主线。我们摒弃了传统教材中过于繁琐的集合论预备知识堆砌，而是直接从最直观的向量空间概念入手，逐步引导读者理解抽象代数结构的美妙与威力。全书内容力求做到概念清晰、推导严谨，并通过大量的实例和应用背景来激发读者的学习兴趣。 目标读者群：数学专业本科生（尤其是一、二年级）、理工科其他专业对代数有深入学习需求的学生、准备进行数学建模或进入计算科学领域的研究人员。 二、 内容结构与核心章节详解 全书共分为七个主要部分，共计二十章，辅以丰富的习题和思考题。 第一部分：向量空间与线性变换（基础构建） 第一章：数域、向量空间与子空间 本章奠定了全书的物质基础。我们首先明确了实数域 $mathbb{R}$ 和复数域 $mathbb{C}$ 上的运算规则。重点在于向量空间的定义、线性组合、线性相关与线性无关的判定。子空间的概念通过零空间和生成集来引入，并详细讨论了维度和基的概念。对于有限维空间，我们强调了基变换的实际意义。 第二章：线性映射与矩阵表示 本章将几何直觉与代数结构紧密结合。我们定义了线性映射（或称线性变换）的性质，如核空间（Kernel）和像空间（Image）。重中之重是矩阵作为线性映射在特定基下的表示。通过讲解相似变换，揭示了矩阵表示的依赖性，并引出了等价性概念。 第三章：线性方程组的求解与矩阵的秩 本章回归代数应用的核心——求解线性方程组 $AX=B$。重点介绍高斯消元法及其背后的理论依据，如初等行变换。详细分析了方程组解的存在性和唯一性，并严格证明了矩阵的秩等于其行空间和列空间的维数，这是连接矩阵理论与解空间结构的关键桥梁。 第二部分：行列式与矩阵的深入分析 第四章：行列式理论 行列式的定义从二阶、三阶推广到 $n$ 阶，并侧重于行列式的代数性质（如乘法性质、行（列）变换对行列式的影响）。我们深入探讨了行列式的计算技巧，并利用代数余子式和伴随矩阵阐述了逆矩阵的求解，为后续的特征值理论做铺垫。 第五章：矩阵的对角化与经典分解 本章是理论与应用结合最紧密的部分之一。我们引入特征值和特征向量的概念，并详细讨论了矩阵可对角化的充要条件（特征值的代数重数与几何重数相等）。此外，还引入了Jordan标准型理论，使得非对角化矩阵的结构分析成为可能。 第三部分：内积空间与正交性（几何化拓展） 第六章：内积、范数与欧几里得空间 本章将代数结构提升到具有几何度量的空间。定义了实数域和复数域上的内积，导出了范数和距离的概念。重点是正交和正交补子空间的理论，这是傅立叶分析和最小二乘法的理论基础。 第七章：正交变换与对称矩阵 着重分析了保持内积不变的线性变换——正交变换。通过施密特（Gram-Schmidt）正交化过程，证明了任意$n$维实内积空间都存在一组标准正交基。对实对称矩阵的正交对角化进行了详尽的论述，并阐释了其在二次型分析中的中心地位。 第八章：二次型与主轴变换 二次型是矩阵理论在几何描述上的重要体现。本章讲解了二次型的标准形和规范形，并利用对称矩阵的正交对角化理论，导出了主轴变换，帮助读者理解二次曲面的几何本质。 第四部分：多项式理论与有理标准型 第九章：数域与多项式环 本部分转向抽象代数的初步接触。我们首先讨论了多项式的代数性质，如带余除法、整除性。关键在于引入了多项式环 $mathbb{F}[x]$ 的结构，并证明了该环是唯一分解整环（UFD）。 第十章：多项式的根与域扩张基础 深入探讨多项式的根的性质，包括根的重数、有理根定理等。本章为后续的伽罗瓦理论打下基础，引入了扩域的概念，并讨论了最小多项式。 第十一章：有理规范型 这是矩阵理论中比Jordan标准型更具普适性的结论。我们利用多项式理论，特别是不变因子理论，导出了矩阵的有理标准型（也称魏尔标准型），它不依赖于数域的代数闭合性。 第五部分：线性代数在应用中的拓展 第十二章：广义特征值问题与广义对角化 本章讨论涉及多个矩阵的特征值问题，特别是广义特征值问题 $AX = lambda BX$，并利用Schur分解和广义对角化技术进行分析。 第十三章：矩阵函数 利用矩阵的对角化或Jordan标准型，严格定义了矩阵的指数函数、对数函数等矩阵函数，这在微分方程的求解中具有核心地位。 第六部分：抽象代数的初步探索 第十四章：群论基础 本部分转向更抽象的结构。群的四大公理、子群、陪集与拉格朗日定理构成了本章核心。通过具体的例子（如对称群 $S_n$，循环群），展示了群作为对称性的一般化描述。 第十五章：同态与同构 群的结构保持映射——同态与同构的定义和性质。重点分析正规子群、商群（或称因子群）的构造，并阐述第一同构定理，这是理解代数结构层级关系的关键。 第七部分：环与域的结构 第十六章：环与理想 环的定义，特殊环（如交换环、整环）的性质。理想的概念被引入，作为加法上的子群和乘法上的吸收元。 第十七章：整环与域 讨论了域的定义及其重要性。通过商环与域的联系，解释了如何由一个整环构造出它的分数域。 第十八章：域的扩张 深入研究域扩张的结构，特别是有限域（Galois Field）的存在性与唯一性，及其在编码理论中的应用。 三、 教材特色与创新点 1. 计算与理论的平衡：全书的推导过程详尽，但每章开头都会辅以直观的几何或应用背景，确保读者理解“为什么这么算”。 2. 矩阵分解的统一性：从SVD（奇异值分解，将在习题拓展中涉及）到Jordan标准型，再到有理标准型，展示了矩阵分解理论在不同要求下的统一视角。 3. 抽象思维的渐进培养：将抽象代数的引入放在最后部分，确保读者在对线性结构有深刻理解后，再平稳过渡到群、环、域的公理化体系中。 4. 丰富的应用导向：穿插讲解了傅里叶分析中的正交基选择、控制论中的可观测量、以及现代密码学中对有限域结构的需求。 ---
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