常微分方程几何理论与分支问题 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:北京大学出版社

作者:张锦炎

出品人:

页数:431

译者:

出版时间:2000-1

价格:28.00元

装帧:简裝本

isbn号码:9787301041680

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《常微分方程几何理论与分支问题》图书简介 内容简介： 本书深入探讨了常微分方程（Ordinary Differential Equations, ODEs）的几何理论及其在研究系统动力学和稳定性方面扮演的核心角色，并着重分析了分支问题（Bifurcation Problems）的涌现机制、分类及在不同科学领域的应用。本书的目标读者为对数学、物理、工程、生物科学以及其他依赖于微分方程建模的领域感兴趣的研究生、博士生以及高级研究人员。 第一部分：常微分方程的几何理论 本部分为读者构建理解常微分方程内在结构和行为的几何框架。我们将从基础概念出发，逐步深入到更复杂的几何对象和工具。 相空间（Phase Space）与流（Flow）： 介绍相空间作为描述动力学系统状态演化的几何空间。讨论由微分方程定义的“流”，它将系统的初始状态映射到未来的状态，从而可视化系统的动态行为。我们将分析流的特性，如保持体积、正交性等，并探讨其与守恒律的联系。 奇点（Singular Points）与平衡点（Equilibria）： 详细研究常微分方程解的奇点，特别关注自治（autonomous）系统中的平衡点。分类讨论不同类型的平衡点，如节点（nodes）、鞍点（saddles）、焦点（foci）和中心（centers），并分析它们在相空间中的几何构型。我们将介绍线性化方法，用以近似分析平衡点附近的局部行为。 极限环（Limit Cycles）与周期解（Periodic Solutions）： 探讨由闭合轨迹表示的周期性运动。介绍极限环的概念，它们是孤立的周期解，能够吸引或排斥附近的轨迹。我们将学习识别和分析极限环存在的各种条件，包括Poincaré-Bendixson定理及其推广。 不变流形（Invariant Manifolds）与吸引子（Attractors）： 引入不变流形的思想，它们是在流的作用下保持不变的子空间，例如稳定流形（stable manifolds）、不稳定流形（unstable manifolds）和中心流形（center manifolds）。这些流形对于理解系统全局动态、吸引子（包括不动点、极限环和奇怪吸引子）的结构至关重要。 微分同胚（Diffeomorphisms）与拓扑等价（Topological Equivalence）： 从拓扑和微分几何的角度审视微分方程的解。介绍微分同胚的概念，并探讨系统在拓扑等价下的不变性。这将帮助我们理解不同方程系统之间可能存在的结构性相似性。 第二部分：分支问题 本部分聚焦于系统参数变化时，其定性行为（如平衡点数量、类型、稳定性或极限环的存在）发生突变的现象——即分支问题。 分支的基本概念与分类： 定义分支的含义，并介绍不同类型的分支，如切分分支（saddle-node bifurcation）、跨越分支（transcritical bifurcation）、叉式分支（pitchfork bifurcation）、双稳态分支（ அி் bifurcation）等。我们将深入分析每种分支的代数条件和几何表现。 非线性系统中的分支： 重点研究非线性微分方程系统中的分支现象。讨论如何利用代数和几何方法来识别和分析这些分支。我们将介绍低维系统（如二维系统）中常见的局部分支，并初步探讨高维系统的复杂性。 中心流形理论与约化（Reduction）： 强调中心流形理论在分析分支问题中的核心作用。介绍如何利用中心流形将高维系统的动力学约化到低维子空间，从而简化分支问题的分析。 孤立子（Solitons）与混沌（Chaos）的联系： 探讨分支问题与更复杂动力学现象之间的关联。例如，某些参数区域内的连续分支可能导致混沌行为的出现。 分支在科学和工程中的应用： 广泛展示分支理论在各个领域的实际应用。 物理学： 在非线性光学、激光动力学、统计力学、临界现象研究中，分支现象预示着相变、模式形成等重要物理过程。 工程学： 在控制系统设计、机械振动、结构稳定性分析、电路理论中，分支揭示了系统在参数变化时可能发生的失稳或性能突变。 生物学： 在种群动力学、神经科学、免疫学、生物化学反应网络中，分支解释了生物系统如何响应环境变化而产生新的稳态、周期性活动或突发事件。 经济学与社会科学： 在宏观经济模型、金融市场分析、社会网络动力学中，分支现象可以模拟市场崩溃、流行病传播或观点转变等复杂动态。 学习方法与本书特色： 本书结合了扎实的理论推导、清晰的几何直观和丰富的应用案例。每章末尾均附有习题，旨在巩固读者对概念的理解并锻炼解决实际问题的能力。本书强调理论的系统性与应用的广泛性，力求为读者提供一个深入理解常微分方程几何本质和分支现象的坚实平台。通过本书的学习，读者将能够更深刻地理解复杂动力学系统的行为，并为解决科学和工程中的实际问题提供强大的数学工具。

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我一直认为，理解数学概念最有效的方式之一就是将其可视化。常微分方程的解往往是一条条曲线，它们在相空间中的运动轨迹就构成了系统的“几何”表现。《常微分方程几何理论与分支问题》这个书名，正击中了我对这一学习方式的偏好。我期待这本书能够提供大量的图示，用清晰的几何语言来解释微分方程的解的存在性、唯一性、以及它们的稳定性。特别是“分支问题”的部分，我非常希望能看到它如何通过绘制相图、分岔图等方式，来直观地展示系统行为的突变。不知道书中是否会涉及一些现代的可视化工具和技术，来帮助读者更好地理解这些几何结构？是否会有一些关于李群和李代数在常微分方程几何理论中的应用的介绍？

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我一直对非线性动力学领域非常感兴趣，因为现实世界中的许多现象都是非线性的。《常微分方程几何理论与分支问题》这个标题，让我觉得它可能是打开这个领域大门的钥匙。常微分方程是描述动态系统演化的基本工具，而几何理论则能帮助我们理解这些系统的整体行为和结构。我尤其好奇“分支问题”的部分，它是否会涵盖一些关于奇异摄动、多重平衡、以及混沌现象产生的数学解释？例如，是否会讨论到吸引子、极限环、以及它们如何随着参数变化而“分岔”？我期待这本书能够提供一些非常直观的图示和案例研究，来帮助我理解这些复杂的概念。我想知道，这本书是否会深入到一些比较前沿的分支理论，比如陈-斯卡拉分岔理论或者其他与遍历理论相关的部分？

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我一直在寻找能够深化我对数学理解的书籍，而《常微分方程几何理论与分支问题》这个标题，无疑是一个非常具有吸引力的选项。它暗示了这本书不仅会讲解常微分方程的基本理论，更会深入到其几何结构和动态行为的本质。我特别关注“几何理论”这个部分，它是否会介绍微分方程的相空间、流、奇异点、以及它们在几何上所代表的意义？而“分支问题”，更是让人联想到系统行为的非线性、复杂性和突变性。我希望这本书能够帮助我理解，为什么在某些情况下，微小的参数变化会导致系统行为发生质的飞跃。是否书中会包含一些关于不变流形理论的讲解，以及它在分析系统动力学中的重要性？

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虽然我还没有翻开这本书，但仅仅是它的标题就勾起了我学习的欲望。我一直觉得，数学学习的瓶颈往往在于概念的抽象和缺乏直观的理解。很多时候，我们只是死记硬背公式和定理，却不明白它们为何如此，或者它们在现实中意味着什么。《常微分方程几何理论与分支问题》这个名字，似乎预示着它将弥合理论与实践之间的鸿沟。它是不是能帮助我理解，为什么某些看似相似的方程，其解的行为却截然不同？是不是能通过几何的视角，揭示隐藏在复杂动力学背后的简洁规律？我特别希望它能深入浅出地讲解，即使是对于初学者，也能体会到其中的乐趣和深刻。它是否会涉及相平面分析、流形、吸引子等概念，并用几何的语言来解释它们？

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在我看来，一本好的数学书不仅要有严谨的理论，更要有清晰的讲解和丰富的例子。《常微分方程几何理论与分支问题》这个书名，就给我一种既有深度又不失可读性的感觉。我期待它能够以一种引人入胜的方式，引导读者进入常微分方程的几何世界。是否书中会采用一种循序渐进的方式，从最基本的概念讲起，逐步深入到复杂的几何理论和分支问题？是否会穿插一些启发性的思考题或者练习题，帮助读者巩固理解？我希望这本书能够成为我学习常微分方程的得力助手，它是否会提供一些关于数值方法在几何理论和分支问题分析中的应用的介绍，例如龙格-库塔方法或者自适应步长控制？

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作为一名对数学史略有了解的读者，我总是好奇那些伟大的数学思想是如何一步步形成的。《常微分方程几何理论与分支问题》这个书名，让我联想到庞加莱、刘维尔等早期对微分方程几何性质进行探索的数学家。这本书是否会追溯这些几何理论的起源和发展，展示数学家们是如何通过几何直观来理解微分方程的解空间的？同时，“分支问题”也让我想到，在科学史上，许多重大发现都源于对系统行为的细微观察和对突变现象的深入研究。这本书是否会穿插一些历史故事，或者介绍一些历史上重要的分支理论的发现过程？我希望它能不仅仅是纯粹的数学理论，也能带来一些人文的色彩。例如，是否会讨论到伽罗瓦理论在解方程中的作用，以及它与几何理论的联系？

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在我的学习过程中，我发现很多数学分支之间是相互关联的，它们共同构建了我们对数学世界的理解。《常微分方程几何理论与分支问题》这个书名，让我对“几何理论”和“分支问题”这两个看似独立的数学概念之间的联系产生了浓厚的兴趣。它们之间是如何相互作用，又如何共同揭示常微分方程的深刻内涵？是否“分支问题”的发生，往往伴随着相空间中某些几何结构的突变？或者说，几何理论的发展，为理解和分类“分支问题”提供了有力的工具？我希望这本书能够清晰地阐述这种联系，让我看到数学知识是如何融会贯通的。是否会探讨到微分几何在常微分方程理论中的应用，例如黎曼流形或者曲率的概念？

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这本书的书名《常微分方程几何理论与分支问题》真是让我眼前一亮，我一直对数学中那些看似抽象的概念如何与我们身边的现实世界产生联系感到着迷。常微分方程，这个名字本身就带着一种严谨和深邃的气息，它描述的往往是事物随时间或其他变量变化的速度和规律，这简直就是物理、工程、生物甚至经济等各个领域最基础的语言。而“几何理论”这个词，更是勾起了我的好奇心。我一直觉得，数学的美很大程度上体现在它的几何直观性上，比如微积分中的曲线下面积、导数的斜率，都是最直接的几何表达。这本书是否能将那些看似枯燥的代数公式，转化为一套套精妙的几何图形和运动轨迹的描述？是否能让我们看到方程的解在相空间中是如何演化，形成各种有趣的“几何对象”？我期待它能提供一种全新的视角，让我不再只是被动地求解方程，而是能理解方程背后蕴含的几何结构和动态过程。

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“分支问题”这个词，则立刻让我联想到复杂系统和非线性动力学中的许多经典难题。我听说过许多情况下，系统的行为会随着某个参数的微小变化而发生突变，从平稳状态突然进入混沌或周期性的震荡，这种现象就是所谓的“分岔”。这本书如果能深入探讨这些分岔现象的产生机制、分类以及它们在现实世界中的体现，那将是多么令人兴奋的体验！想象一下，一个系统从一种稳定的运行模式突然切换到另一种完全不同的模式，这背后隐藏着怎样的数学规律？它是否解释了某些社会现象的突发性，或者生态系统中物种数量的剧烈波动？我希望这本书能够提供清晰的解释，通过几何的语言，让我们直观地理解这些复杂而又普遍存在的现象。是否会有对诸如倍周期分岔、Saddle-node分岔、Hopf分岔等经典分岔的详细解析，并辅以直观的图示和例子？

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我一直对能够解释现实世界现象的数学理论充满敬意。《常微分方程几何理论与分支问题》这个书名，让我好奇它是否能为我们理解诸如天气模式的转变、股票市场的波动、或者生物体内的信号传导等复杂现象提供数学模型和解释。常微分方程是描述这些动态过程的基础，而“几何理论”和“分支问题”则可能揭示了这些系统行为的内在规律和易变性。我尤其期待它能提供一些具体的应用案例，将抽象的数学概念与生动的现实场景联系起来。例如，是否会讨论到洛伦兹吸引子及其在混沌理论中的作用，或者在生态学中关于捕食者-猎物模型的分岔分析？书中是否会涉及到一些与控制论或系统辨识相关的理论？

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动力系统

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马上读，明天复习动力系统

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写的简单易懂

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