非线性问题的数学方法及其应用 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:浙江大学出版社

作者:潘祖梁

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1998-02

价格:13.00元

装帧:平装

isbn号码:9787308019705

丛书系列:

图书标签:

• 11
• 非线性问题
• 数学方法
• 数值分析
• 优化算法
• 微分方程
• 泛函分析
• 变分法
• 控制理论
• 应用数学
• 科学计算

经典力学中的拉格朗日与哈密顿体系 本书深入探讨了经典力学中描述和分析复杂物理系统的两大核心框架——拉格朗日力学与哈密顿力学。作为物理学、工程学和数学领域研究者必备的理论基石，本书旨在提供一个既严谨又直观的数学视角，以应对传统牛顿力学在处理约束运动和高维系统时所面临的局限性。 全书结构清晰，从基础的变分原理和欧拉-拉格朗日方程出发，逐步构建起系统的理论体系。首先，我们将重点解析最小作用量原理（或称哈密顿原理）在推导运动方程中的核心地位。这不仅仅是一个数学技巧，更是对物理系统内在运动规律的一种深刻洞察。书中会详细阐述如何构造系统的拉格朗日量 $L(q, dot{q}, t)$，即动能 $T$ 与势能 $V$ 之差，并展示如何利用此量导出系统的微分方程组——即欧拉-拉格朗日方程。大量的实例分析将贯穿始终，从简单的单摆、圆锥摆，到更具挑战性的耦合振子系统和移动约束系统，确保读者能够熟练掌握将物理描述转化为数学模型的全过程。 在拉格朗日力学的框架下，本书专门辟出章节讨论守恒量和诺特定理。诺特定理作为联系对称性和守恒量的桥梁，是现代物理学的基石之一。我们将细致地考察系统在时间平移、空间转动以及广义坐标平移下的不变性，并严格证明动量、角动量和能量的守恒律是如何自然而然地从拉格朗日量中涌现出来的。这部分内容的深度和广度，将使读者对能量和动量概念有一个更本质的理解，而非仅仅停留在牛顿第二定律的积分形式上。 随后，本书的重点将转向构建更具普适性和结构性的哈密顿力学。哈密顿力学是对拉格朗日力学的勒让德变换，它将描述系统状态的自由度从广义坐标及其速度 $(mathbf{q}, dot{mathbf{q}})$ 转换到广义坐标及其共轭动量 $(mathbf{q}, mathbf{p})$。本书将详细推导共轭动量 $mathbf{p}_i = partial L / partial dot{q}_i$ 的定义，并构建系统的哈密顿量 $H(mathbf{q}, mathbf{p}, t)$，通常情况下 $H = T + V$（当约束不显含时间时）。 哈密顿力学的核心在于哈密顿方程（或称正则运动方程）： $$ dot{q}_i = frac{partial H}{partial p_i} quad ext{和} quad dot{p}_i = -frac{partial H}{partial q_i} $$ 这组一阶微分方程组相较于拉格朗日方程的二阶形式，在计算和理论分析上具有显著的优势。本书将通过具体例子，如理想气体的微观运动、自由粒子的运动等，来展示哈密顿方程的应用。 理论的进一步深化体现在对相空间（Phase Space）概念的引入和详尽阐述。相空间中的轨迹代表了系统的演化历史。本书将深入探讨泊松括号（Poisson Bracket）的代数结构及其在描述物理量时间演化中的作用。泊松括号不仅简洁地表达了哈密顿方程，也是连接经典力学与量子力学变换理论的关键数学工具。我们还将考察泊松括号的性质，特别是李氏括号的定义，并展示如何利用它来判断一个物理量是否是守恒的（即其泊松括号是否为零）。 为了应对更复杂的动力学问题，本书专门介绍了正则变换（Canonical Transformations）。正则变换是保持哈密顿方程形式不变的坐标变换，它们是寻找系统积分（即守恒量）的强大工具。我们将讲解生成函数（Generating Functions）的四种类型，以及如何利用它们来寻找可以简化哈密顿量（例如将其对时间变为零或直接解出）的坐标系。泊松括号在正则变换下的协变性也将被严格证明。 最后，本书将触及经典力学的进阶主题，特别是泊松括号与正则方程的联系，以及它们如何自然地过渡到量子力学中的对易子关系。虽然本书主要关注经典领域，但对这些“边界”的探讨，能帮助读者建立起宏观与微观物理理论间的联系。全书配备了大量的数学推导和物理插图，旨在帮助读者建立对连续介质、场论以及更广义的分析力学中变分原理的深刻理解。 本书适合作为高等院校物理系、应用数学系、航空航天及机械工程专业高年级本科生或研究生的教材或参考书。它要求读者具备扎实的微积分和线性代数基础，并对经典力学（牛顿力学）有初步了解。阅读本书后，读者将能够独立解决涉及复杂约束和高维自由度的动力学问题，并为深入学习微分几何、分析力学、场论及理论物理学打下坚实的数学基础。

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