北大附中英语题库(高2下) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:丁沪生

出品人:

页数:292

译者:

出版时间:2000-5-1

价格:12.50

装帧:平装(无盘)

isbn号码:9787301037317

丛书系列:

图书标签:

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探寻思维的边界：深度解析与实践应用 书名：思维的架构与逻辑的构建：高等数学解题范式研究 目标读者： 致力于提升抽象思维能力、追求严谨逻辑推导的高年级理科学生、数学爱好者，以及对高等数学理论体系有深入探究需求的学习者。 内容提要： 本书并非侧重于基础公式的简单罗列或应试技巧的堆砌，而是深入剖析高等数学（主要涵盖微积分、线性代数和概率论的基础核心概念）背后深藏的数学思想、逻辑结构与证明方法。全书以“理解而非记忆”为核心宗旨，旨在帮助读者构建起一个坚固、可迁移的数学思维框架。 全书分为三大主要篇章，层层递进，环环相扣。 --- 第一部分：极限、连续与微分——“变化”的精确量化 本部分聚焦于微积分学的核心概念，但着重于对这些概念的ε-δ语言的深刻理解及其在复杂问题中的应用。 第一章：极限的本质与严谨性： 本章抛弃传统的直观理解，深入探讨极限的定义（特别是柯西极限定义）如何成为支撑整个微积分大厦的基石。我们详细分析了极限存在性的充要条件，包括单调有界定理的证明原理与应用。重点章节会探讨极限的反证法应用，例如证明某些函数的极限不存在，这要求读者精确控制 $epsilon$ 和 $delta$ 的关系。 第二章：连续性的拓扑内涵： 连续性不再仅仅是“画图不抬笔”的形象描述。本章探讨了函数在集合上的连续性定义，并深入分析了闭区间上连续函数的介值定理和极值定理的证明过程，这些证明过程是分析学中“取极限”操作的典范。我们将通过拓扑空间的初步概念（仅限于度量空间中的开闭球概念），来解释为什么这些定理在 $mathbb{R}^n$ 空间中成立。 第三章：微分的几何与代数统一： 本章的核心在于揭示导数作为局部线性近似的本质。我们详细分析了高阶导数的物理意义和几何意义，特别是泰勒展开的意义——它不是一个公式，而是一种将复杂函数映射到多项式函数的有效工具。书中包含对拉格朗日中值定理和柯西中值定理的严格推导，并展示了如何利用这些中值定理来证明不等式，而非仅仅用来求导数。 --- 第二部分：积分、级数与多变量分析——“累积”与“高维扩展” 本部分将视野从一维扩展到更高维度，并引入了对无穷求和的严谨处理。 第四章：黎曼积分的构建与反常积分的挑战： 我们不直接介绍牛顿-莱布尼茨公式，而是首先构建黎曼可积性的充要条件（即函数的振幅控制）。通过对上和与下和的精妙控制，读者将理解积分是如何从有限个矩形面积的逼近过程中精确诞生的。在反常积分部分，我们将重点讨论狄利克雷判别法和阿贝尔判别法，这些判别法是处理积分收敛性问题的利器。 第五章：函数项级数的收敛性判据与一致收敛性： 幂级数和傅里叶级数是工程和物理学的基石。本章强调区分“逐点收敛”与“一致收敛”的根本区别。我们将通过魏尔斯特拉斯M检验法和阿贝尔试验，展示一致收敛性如何保证函数序列在极限下保持良好的连续性或可积性。书中设计了大量的反例来凸显不一致收敛带来的灾难性后果。 第六章：向量空间与线性变换的几何解释： 线性代数不再是矩阵运算的堆砌。本章首先定义了抽象的向量空间、子空间、基和维数。重点在于线性变换的本质——它是在不同向量空间之间建立的结构保持映射。我们通过几何实例（如旋转、投影）来理解特征值与特征向量的物理意义，即在变换作用下保持方向不变的特殊向量。 --- 第三部分：方法论与高级应用——思维的迁移与工具箱 本部分旨在将前两部分的知识点串联起来，形成解决复杂问题的思维路线图。 第七章：证明的艺术：从构造到反证： 本章专门分析了数学证明的几种核心范式：直接证明、反证法、数学归纳法、构造法。我们选取了若干经典的、需要综合运用多种工具的定理（如布劳威尔不动点定理的二维简化证明思路），引导读者体会如何选择最恰当的证明路径。 第八章：微分方程的定性分析与稳定性理论入门： 对于常微分方程，本书避开复杂的求解技巧，转而关注定性分析。我们将介绍相图分析法，并运用李雅普诺夫稳定性理论的基本思想来判断非线性系统的长期行为，这对于理解物理、生物系统中的平衡点至关重要。 第九章：复杂问题的高阶分解策略： 本章是全书的总结与提升。我们提出一套“问题分解模型”： 1. 抽象化识别： 将实际问题转化为数学模型（例如，将阻尼振动转化为二阶线性常微分方程）。 2. 结构映射： 识别模型属于已知的数学结构（如线性空间、欧氏空间或特定拓扑结构）。 3. 工具链选择： 根据结构，选择最合适的工具（如特征值分解、拉普拉斯变换的原理基础、或微分中值定理）。 4. 结果逆译： 将数学结论翻译回物理或实际情境，并验证其合理性。 本书特色： 本书强调深度挖掘而非广度覆盖。每一章节都包含大量的“深度探究”附录，详细阐述了某一关键定理的历史背景、不同证明方法的优劣比较，以及该概念在更高层数学（如泛函分析或微分几何）中的初步体现。语言力求精准、严谨，但叙述逻辑清晰，力求构建一座从基础运算到抽象思维的坚实桥梁。读者在阅读过程中，将显著感觉到自己对“为什么是这样”的理解远胜于“怎么算”。

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