具体描述
《线性代数习题与考研题解析》与同济三版《线性代数》教材同步，立足工科本科，兼顾理科、农林经管与专科及考研者，按照“教学基本要求”和“考研教学大纲”的要求编写，各章分为考纲要求、复习指导以及主要公式、例题增补、习题题析与考研题解析四个栏目，对一些典型的范例、习题和考研题进行了精避的分析与解答，书末附有当年的考研题。
《线性代数习题与考研题解析》具有代表性、通用性，是大学生学习数学的入门工具和良师益友，是考研者备考数学的必备资料和复习指南，由浅入深，循序渐进，适用面广，可读性强，特别适用于各工、理、农林、财经管等本科和专科各专业大学生和考研者（或专升本者）阅读，也可为教师备课、辅导和命题参考。
现代控制理论基础：理论、方法与应用 本书聚焦于现代控制理论的核心概念、分析方法与实际应用，旨在为读者构建扎实的理论框架和解决实际工程问题的能力。 --- 第一部分：系统描述与状态空间表示 第一章 动态系统的数学描述 本章首先回顾经典控制理论中传递函数模型的局限性，并引入现代控制理论的基石——状态空间方法。详细阐述连续时间系统和离散时间系统的状态方程标准形式，包括$dot{mathbf{x}} = mathbf{A}mathbf{x} + mathbf{B}mathbf{u}$和$mathbf{x}(k+1) = mathbf{A}mathbf{x}(k) + mathbf{B}mathbf{u}(k)$的推导与物理意义。重点分析系统状态、输入和输出之间的内在联系。 第二章 状态空间模型的变换与规范型 深入探讨状态变量选择的任意性，介绍相似变换（Similarity Transformations）的数学原理及其对系统特性的不变性。详细讲解如何通过相似变换将系统矩阵 $mathbf{A}$ 化为若干标准规范型，包括约旦标准型（Jordan Canonical Form）、可控规范型（Controllable Canonical Form, C.C.F.）和可观性规范型（Observable Canonical Form, O.C.F.）。这些规范型的导出对于后续的系统分解和结构分析至关重要。 第三章 线性系统的基本性质：可控性与可观性 可控性（Controllability）和可观性（Observability）是现代控制理论的两个核心判据。本章将系统地介绍这两个概念的定义、几何解释和代数判据，包括卡尔曼（Kalman）可控性矩阵和可观性矩阵的秩判据。通过具体的算例，演示如何判断一个线性时不变（LTI）系统是否完全可控、完全可观，并探讨在不可控/不可观部分存在时的系统分解。此外，还将讨论如何利用输入/输出关系来分析系统的结构特性。 --- 第二部分：状态反馈与系统稳定性 第四章 系统的稳定性分析 本章专注于线性系统的稳定性理论。首先复习李雅普诺夫（Lyapunov）第二法（直接法）在线性系统中的应用，介绍二次型李雅普诺夫函数在判别系统稳定性中的作用。深入分析状态矩阵 $mathbf{A}$ 的特征值（极点）位置与系统稳定性的直接关系，包括渐近稳定、指数稳定和边界稳定等概念。对于离散系统，则侧重于特征值位于单位圆上的情况分析。 第五章 反馈极点配置（Pole Placement） 极点配置是状态反馈控制设计的核心技术。本章详细阐述如何利用全状态反馈 $mathbf{u} = -mathbf{K}mathbf{x} + mathbf{r}$ 来重新配置系统的闭环极点位置。通过推导Ackermann公式，演示如何精确设计反馈增益矩阵 $mathbf{K}$，使得闭环系统满足预定的动态性能要求（如响应速度和阻尼比）。同时，讨论当系统不可控时极点配置的局限性。 第六章 状态观测器设计 在无法直接测量所有状态变量的情况下，需要设计状态观测器（State Observer）来估计系统状态。本章首先介绍观测器的基本原理，包括Luenberger观测器的结构。详细推导观测器增益 $mathbf{L}$ 的设计方法，确保估计误差 $ ilde{mathbf{x}} = mathbf{x} - hat{mathbf{x}}$ 能够快速收敛。接着，讨论观测器极点配置与主系统极点配置的解耦关系，以及如何处理误差收敛速度的平衡问题。 第七章 最小阶观测器与滤波 针对高阶系统，全阶观测器会增加不必要的复杂性。本章引入最小阶观测器的概念，基于系统的可观性结构，设计出阶数等于不可观状态数目的观测器。随后，将现代滤波理论引入控制系统设计，重点介绍卡尔曼滤波（Kalman Filter）的基本原理，包括系统的状态估计与噪声协方差矩阵的迭代更新过程，特别适用于随机系统状态估计。 --- 第三部分：最优控制与鲁棒性基础 第八章 线性二次型最优控制（LQR） 最优控制旨在以性能指标最小化的方式设计控制器。本章集中研究线性二次型调节器（LQR）问题，其性能指标采用二次型代价函数 $J = int_{0}^{infty} (mathbf{x}^Tmathbf{Q}mathbf{x} + mathbf{u}^Tmathbf{R}mathbf{u}) dt$。通过推导哈密顿-雅可比-贝尔曼方程（HJB），求解代数黎卡提方程（ARE）以获得最优反馈增益 $mathbf{K}^$。重点分析权重矩阵 $mathbf{Q}$ 和 $mathbf{R}$ 对控制性能和控制能量的权衡影响。 第九章 复合控制结构：分离原理与动模（DIH） 本章探讨将极点配置与最优估计相结合的策略。首先阐述分离原理（Separation Principle），证明在最优控制问题中，最优状态反馈增益 $mathbf{K}$ 和最优状态估计器（如卡尔曼滤波器）的设计可以独立进行。随后，详细介绍基于观测器输出 $hat{mathbf{x}}$ 的反馈控制律 $mathbf{u} = -mathbf{K}hat{mathbf{x}} + mathbf{r}$ 的设计与稳定性分析，形成完整的状态反馈控制系统。 第十章 系统模型的简化与分解 在处理复杂系统时，模型降阶是必要的步骤。本章介绍基于模态分析和能控性/能观性判据的平衡截断法（Balanced Truncation）进行模型降阶。该方法通过奇异值分解，使得降阶模型在输入-输出关系上保持最优近似，是现代系统辨识与控制应用中的重要工具。 --- 第四部分：非线性系统初步探讨 第十一章 非线性系统的描述与稳定性 本章作为向非线性控制过渡的桥梁，首先回顾非线性系统的数学描述（微分方程形式）。着重分析非线性系统局部稳定性的概念，包括平衡点的局部稳定性分析。介绍李雅普诺夫稳定性理论在非线性系统中的推广应用，重点讨论利用特定二次型或已知正定函数来验证非线性系统的稳定性。 第十二章 线性化方法与局部反馈 针对局部工作点附近的非线性系统，介绍线性化技术，即通过泰勒级数展开得到局部线性模型。基于此线性模型，可以应用前述的LQR或极点配置技术设计局部反馈控制器。同时，讨论反馈线性化（Feedback Linearization）的基本思想及其在特定形式非线性系统中的应用潜力。 --- 适用读者对象： 本书适合于自动控制、电子信息工程、机械工程、航空航天等相关专业的本科高年级学生、研究生，以及从事系统设计与控制工程的工程师作为进阶参考教材或专业参考书。内容深度适中，兼顾理论推导的严谨性与工程应用的实用性。
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