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出版者:山西教育出版社

作者:周春荔 编

出品人:

页数:240

译者:

出版时间:2004-8

价格:8.00元

装帧:

isbn号码:9787544027885

丛书系列:

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探索广阔的数学世界：精选竞赛辅导与经典名著导读 本书集合了当代数学思想的精华，旨在为对数学有浓厚兴趣的读者提供一个系统而深入的探索平台。我们聚焦于现代数学的基石、前沿领域的热点问题，以及历史上那些里程碑式的数学发现。本书内容经过精心筛选和组织，力求在深度与广度之间取得完美的平衡，既能满足有志于提升自身数学素养的自学者，也能为专业研究者提供有价值的参考。 第一部分：现代数学的结构与逻辑——从集合论到拓扑学基础 本部分将带领读者系统地回顾现代数学的公理化基础，并逐步深入到抽象代数和分析学的核心概念。 第一章：集合论与数理逻辑的严谨基石 我们将从集合论的公理化体系出发，探讨策梅洛-弗兰克尔集合论（ZFC）的构建。重点分析选择公理的深刻含义及其在数学中的应用与争议。随后，我们将深入到数理逻辑的领域，详细阐述命题演算和一阶逻辑的结构、完备性定理和紧致性定理。这部分内容旨在帮助读者建立起对数学语言和证明规范的深刻理解，为后续更复杂的理论学习打下坚实的基础。我们将通过分析构造性数学与经典数学的差异，展现不同逻辑框架对数学内容建构的影响。 第二章：抽象代数：结构之美 本章致力于解析代数结构的核心——群、环和域。我们将不仅仅停留在定义和基本性质的罗列，而是着重于通过实例和经典定理来揭示这些结构内在的统一性。讨论内容涵盖了：有限群的结构定理（如Sylow定理及其应用）、环论中的理想、主理想整环（PID）和唯一因子化整环（UFD）的性质。在域论部分，我们将详细阐述伽罗瓦理论的精髓，解释其如何优雅地解决了五次及以上代数方程无一般代数解的问题，并将伽罗瓦理论的应用延伸至有限域的构造及其在编码理论中的初步体现。 第三章：实分析的严密构建 本章将超越微积分中的直观概念，转向更严谨的实数系统构建。内容包括：戴德金分割点对实数的构造、$varepsilon-delta$ 语言的精确应用、序列与函数的收敛性判定。重点章节将放在勒贝格积分理论的介绍。我们将阐述勒贝格积分相对于黎曼积分的优越性，并详细讨论单调收敛定理、富比尼定理等关键工具，为现代泛函分析的深入研究铺平道路。 第四章：拓扑学的空间概念 拓扑学是研究空间不变性质的学科。本章将从最基本的拓扑空间定义开始，逐步引入拓扑学中的核心概念，如开闭集、连续映射、紧致性、连通性。我们将重点分析度量空间（Metric Spaces）与一般拓扑空间的区别与联系，并探讨可数性、分离公理等性质对空间结构的影响。通过对布尔巴基学派的视角进行简要介绍，让读者领略现代数学对结构统一性的追求。 --- 第二部分：几何学的演变与现代应用 本部分将追溯欧氏几何的发展脉络，并介绍非欧几何的诞生及其在现代物理学中的重要地位。 第五章：欧氏几何的公理体系与非欧几何的诞生 本章首先回顾欧几里得几何的公理体系，深入分析第五公设（平行公设）的特殊性。随后，我们将详细介绍罗巴切夫斯基和黎曼几何的基本原理，通过双曲空间和椭圆空间的模型，直观地展示非欧几何的内在一致性。这部分内容将有助于读者理解数学的灵活性和对公理选择的依赖性。 第六章：微分几何的初步探索 微分几何是连接代数、分析与几何的桥梁。本章聚焦于曲线和曲面的局部性质研究。我们将引入切向量、曲率、挠率等基本概念，并探讨曲面的第一、第二基本形式。重点内容将放在高斯绝妙定理（Theorema Egregium）的阐述，解释为何曲率可以仅通过曲面自身的度量信息来确定，这为理解曲面嵌入到三维空间之外的可能性奠定了基础。 --- 第三部分：数论的奥秘与应用——从狄利克雷到现代密码学 数论作为“数学女王”的魅力在于其既古老又充满活力的研究前沿。 第七章：解析数论的核心工具 本章聚焦于利用复变函数方法解决整数问题。我们将详细讲解狄利克雷 L-函数的构造及其性质。核心内容将集中在对素数分布的研究，包括素数定理的精确表述和误差估计。读者将学习到圆法、筛法等解析数论中的重要技巧，并了解其在证明哥德巴赫猜想部分成果中的应用。 第八章：代数数论导论 本章将代数结构引入数论研究。我们将介绍代数数域、整数环、理想论在数论中的应用。重点分析二次域 $mathbb{Q}(sqrt{d})$ 上的单位群结构和类数问题。我们还会简要探讨费马大定理的背景及其在代数数论框架下的证明思路，展现现代数论的复杂性和深度。 第九章：现代应用：数论与信息安全 本章将数论原理与现代信息技术紧密结合。我们将详述模运算在加密系统中的应用，重点分析RSA公钥加密算法的数学原理、椭圆曲线的代数结构，以及椭圆曲线离散对数问题的难度（ECDLP）。这部分内容旨在展示基础数学理论如何转化为保护现代信息流动的强大工具。 --- 第四部分：离散数学与算法思维 本部分关注计算机科学与数学交叉的前沿领域，培养读者进行结构化思考和优化求解的能力。 第十章：图论的高级主题 我们将从连通性、匹配理论出发，深入探讨图论的结构性质。内容将包括：平面图的欧拉公式、对偶图的概念、以及著名的四色定理的证明思想。此外，本章还会介绍网络流理论，如最大流最小割定理，并探讨其在资源分配和优化问题中的实际应用。 第十一章：组合优化与生成函数 组合数学是计数艺术的体现。本章将侧重于母函数（生成函数）在求解复杂递推关系和组合问题中的强大能力。我们将详细分析指数型母函数在排列组合问题中的应用。此外，本章还会介绍动态规划思想在组合优化问题（如背包问题、旅行商问题）中的建模方法，强调算法的效率分析（大O表示法）。 --- 结语：数学思维的训练与展望 全书最后将汇集贯穿始终的数学思维方法：从具体问题抽象化、利用对称性简化复杂性、以及运用反证法和构造法探索边界。我们鼓励读者将这些工具应用于跨学科领域，培养终身学习和解决未知问题的能力。本书不仅仅是一本知识的汇集，更是一本关于如何思考的指南。

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这本书的难度梯度设置得非常科学合理，让人有种“跳一跳才能够得着”的成就感。开篇的章节，比如基础代数运算的巧妙处理，和初中课本难度相差不远，主要是帮你建立信心，熟悉作者的表达方式。但是一旦进入到中后期的专题训练，比如在解析几何部分引入了向量的概念进行坐标系的转换，一下子就把难度提升了好几个层级。不过作者的过渡非常自然，他会先用代数方法讲解一个复杂的例子，然后再展示如何用向量方法来优雅地解决同一个问题，这样对比下来，新方法的优势就体现出来了。这种循序渐进，但每一步都有新挑战的设计，让我在学习过程中始终保持着旺盛的求知欲，不会因为太简单而懈怠，也不会因为太难而气馁。

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这本厚厚的册子，拿到手里沉甸甸的，光是目录就让人眼花缭乱，感觉像是挖掘一座知识的宝藏。我本来只是想找点提高一下平时功课的资料，没想到里面竟然涵盖了那么多初中阶段数学竞赛会涉及到的各个分支。像什么数论、组合计数、几何变换这些，我本来觉得挺高深的，结果作者用非常直白的方式把那些复杂的定理和公式给拆解开来，配上大量的例题和变式，看得我茅塞顿开。尤其是关于函数与方程那一部分，很多我以前绕不出去的题，看了书里的解题思路后，才发现原来可以这么巧妙地构造函数，或者利用对称性来简化运算。感觉这本书不仅仅是教你解题技巧，更是在培养一种解决问题的思维模式，那种抽丝剥茧、层层深入的逻辑推导过程，比单纯背公式有用多了。我正在准备报一个线下的集训班，这本书简直就是我的“随身教练”，随时可以翻开来巩固一下薄弱环节。

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这本书的装帧设计也挺讲究，纸张质量不错，印刷清晰，阅读体验很好，长时间看也不会觉得眼睛很累，这对于需要长时间跟数学打交道的学生来说，是个加分项。我个人是对几何部分特别感兴趣，这本书在欧几里得几何的证明方法上做得非常到位。它不像传统教材那样只教你勾股定理和相似三角形，而是深入讲解了“反演变换”和“射影几何”在初等几何中的应用实例。那些图示都画得特别精细，辅助线的位置、角度的标注都非常明确，让人可以跟着图一步步推导出结论。我印象最深的是一个关于圆内接四边形证明的例子，用到了割补法和旋转法相结合，看得我直拍大腿，感觉这才是数学的魅力所在。这本书让我觉得，数学竞赛不是靠死记硬背，而是靠创造力和对图形的深刻理解。

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我向来对那种故作高深的数学书敬而远之，总觉得作者在卖弄学问，读者看了抓瞎。但这本《大全》的语言风格就显得非常“亲民”和“实用主义”。它不追求华丽的辞藻，就是实实在在地告诉你，遇到A类问题，你应该启动B策略，然后C步骤是关键的转化。在讲述组合数学的容斥原理时，它甚至用到了类似讲故事的方式来解释原理的推导过程，把原本抽象的集合关系用生活中的例子给具象化了。这种讲授方式，对于我这种需要明确操作指导的学生来说，简直是福音。它不是高高在上的理论指导，而是非常贴近考场实战的“工具箱”，每学到一个方法，都感觉自己手里多了一件趁手的兵器，准备迎接下一场挑战。

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说实话，我买很多教辅书都是抱着试试看的心态，很多都是堆砌题目，看完跟没看区别不大。但这本书真的不一样，它的结构安排非常精妙。它不是简单地罗列那些“大路货”的技巧，而是深入挖掘了奥赛中那些“非主流”但极其高效的解题路径。比如在处理数列问题时，它不仅讲了递推公式的建立，还花了大量篇幅讲解了如何运用母函数这种略显“高阶”的工具来求解非线性递推数列，这一点我在其他任何初中辅导书上都没见过。对于初学者来说，可能一开始会觉得有点吃力，但如果能坚持下去，消化掉这些内容，那在同龄人中绝对能拉开一个档次。我最欣赏的是，书中的每一章都会有一个“思维定势打破”的小栏目，专门分析我们常见的错误思维定势，这比只看标准答案更有启发性，让人能真正理解“为什么别人能想到，而我想不到”。

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