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出版者:中国人民大学

作者:赵树嫄，魏晴宇，

出品人:

页数:371

译者:

出版时间:2004-1

价格:26.00元

装帧:

isbn号码:9787300038926

丛书系列:

图书标签:

• 高等数学
• 数学基础
• 微积分
• 线性代数
• 解析几何
• 函数
• 极限
• 导数
• 积分
• 数学分析

好的，这是一份名为《高等数学基础》的图书简介，内容将详尽描述该书未涵盖的知识领域，旨在帮助读者理解本书的知识边界和定位。 图书简介：探寻《高等数学基础》的知识疆界 书名：高等数学基础 内容定位： 本书旨在为初涉高等数学的学习者构建坚实的微积分核心概念框架，侧重于函数、极限、连续性、导数及其应用、积分及其应用等基础理论的理解与运算技能的培养。它是一块坚实的基石，为后续更深入的数学学习打下基础。 以下是《高等数学基础》 明确不包含 的知识领域详述： 第一部分：超出基础微积分运算与理论范畴的内容 《高等数学基础》主要聚焦于单变量函数的分析，因此，以下多变量分析、高级积分技术及微分方程的初级内容均不在本书的收录范围之内： 1. 多元微积分（Multivariable Calculus） 本书完全不涉及涉及两个或两个以上变量的函数分析。具体不包括以下内容： 偏导数与全微分（Partial Derivatives and Total Differentials）： 缺乏对 $frac{partial f}{partial x}$ 或 $frac{partial f}{partial y}$ 的计算与几何意义的探讨。多变量函数的链式法则（Chain Rule for multiple variables）的复杂应用场景也未被触及。 多重积分（Multiple Integrals）： 无论是二重积分（Double Integrals）还是三重积分（Triple Integrals），用于计算曲面或三维区域上的体积、质量或平均值的方法，均不在本书的讨论范围之内。笛卡尔坐标系、柱坐标系和球坐标系下的坐标变换计算方法，也未在本教材中出现。 向量场与线积分/面积分（Vector Fields, Line and Surface Integrals）： 涉及如保守场、格林公式（Green’s Theorem）、斯托克斯公式（Stokes’ Theorem）以及散度定理（Divergence Theorem，即高斯公式）等高级向量分析工具，均属于本书的知识边界之外。这些工具是分析流体力学、电磁学等领域的基础。 2. 高级积分技术与特殊函数（Advanced Integration Techniques and Special Functions） 《高等数学基础》侧重于基础的换元法、分部积分法以及有理函数的部分分式展开法。它不深入探讨以下内容： 超越积分的求解（Integrals Requiring Advanced Techniques）： 例如，那些无法通过初等函数的有限次组合求解的积分，如误差函数（Error Function, $ ext{erf}(x)$）、贝塞尔函数（Bessel Functions）的定义积分，或涉及复变函数路径积分的技巧。 无穷级数下的积分交换（Interchange of Limits and Integration）： 关于傅里叶级数或勒贝格积分理论中对积分顺序与极限顺序是否可以交换的严谨讨论，本书未涉及。 积分方程与变分法导论（Introduction to Integral Equations and Calculus of Variations）： 探讨积分形式的微分方程求解方法或寻找使泛函达到极值的曲线的方法，这些均超出了本书的范围。 3. 常微分方程（Ordinary Differential Equations - ODEs） 尽管本书导数部分为微分方程的求解提供了理论基础，但它不包含任何关于如何系统求解特定类型微分方程的章节。具体而言： 求解一阶微分方程的高级方法： 例如，伯努利方程（Bernoulli Equations）、黎卡提方程（Riccati Equations）的特定解法，或精确微分方程（Exact Equations）的条件判断与求解。 高阶线性常系数微分方程的通解： 本书不涉及特征方程求解、常数法（Method of Undetermined Coefficients）或常数变易法（Variation of Parameters）来求解形如 $a_n y^{(n)} + dots + a_0 y = f(x)$ 的方程。 拉普拉斯变换（Laplace Transforms）： 用于简化和求解线性常微分方程（特别是含有初始条件的初值问题）的强大工具，本书未作介绍。 级数解法（Series Solutions for ODEs）： 采用泰勒级数或弗罗贝尼乌斯方法（Frobenius Method）来求解无法用初等函数表示解的微分方程（如勒让德方程、贝塞尔方程），这些内容完全被排除在外。 第二部分：代数与离散数学的深入领域 《高等数学基础》是基于分析学（Analysis）的视角构建的，因此，以下纯代数结构和离散数学主题也未被纳入： 4. 线性代数（Linear Algebra） 本书侧重于函数和变化的分析，对向量空间、矩阵代数及其在解线性方程组中的应用缺乏系统性介绍： 向量空间理论（Vector Space Theory）： 没有引入基（Basis）、维度（Dimension）、线性映射（Linear Transformations）、核（Kernel）和像（Image）等抽象代数概念。 矩阵运算的结构化分析： 矩阵的秩（Rank）、行列式（Determinant）的几何意义、特征值（Eigenvalues）和特征向量（Eigenvectors）的计算与对角化（Diagonalization）理论，均不属于本书范畴。 规范形（Canonical Forms）： 如若尔当标准型（Jordan Normal Form）的讨论是本书的知识前沿之外。 5. 离散数学与组合学（Discrete Mathematics and Combinatorics） 概率论、集合论的严格定义或计算机科学中的算法基础，均不包含在本教材内： 数理逻辑与证明技术： 归纳法（Mathematical Induction）可能作为证明工具被提及，但关于命题逻辑、谓词逻辑、集合论的公理系统等深层讨论，本书未涉及。 组合计数的高级原理： 例如，容斥原理（Inclusion-Exclusion Principle）的系统应用，生成函数（Generating Functions）在解决递推关系中的运用。 图论基础（Graph Theory）： 网络的结构分析，如欧拉路、哈密尔顿回路等概念，完全不属于本书范围。 第三部分：分析学的进阶与严谨性提升 《高等数学基础》提供的是一套直观且实用的微积分工具，但它通常不会触及分析学后续章节所关注的数学严谨性深度： 6. 实数系统与拓扑（Real Analysis Foundations and Topology） 本书对极限和连续性的处理是基于 $varepsilon - delta$ 定义的初步应用，但缺乏深入的拓扑学基础： 实数系的完备性（Completeness of Real Numbers）： 依赖于实数的完备性公理（如上确界原理），但本书不会深入探讨其作为公理系统被建立的过程。 拓扑概念的引入： 开集（Open Sets）、闭集（Closed Sets）、紧致性（Compactness）、完备性（Completeness in metric spaces）等在拓扑空间中定义的性质，这些是后续实分析的基础，在本书中不会出现。 一致收敛性（Uniform Convergence）： 函数序列与函数级数的收敛性，特别是函数项级数的积分与求导与极限顺序的交换条件（如Weierstrass M-Test），这些涉及对“一致性”的精确把握，超出了基础范围。 7. 复变函数论（Complex Analysis） 《高等数学基础》完全基于实数域 $mathbb{R}$ 上的分析。因此，对复数域 $mathbb{C}$ 上的函数的讨论是缺失的： 复变函数的解析性（Analyticity）： 柯西-黎曼方程（Cauchy-Riemann Equations）的引入与应用。 留数定理（Residue Theorem）： 使用复积分来计算涉及三角函数或在实轴上有奇点的实积分的方法，是复变函数论的核心，本书未涵盖。 共形映射（Conformal Mappings）： 莫比乌斯变换（Möbius Transformations）等。 总结 《高等数学基础》致力于让学习者掌握单变量函数求导、积分的技巧及其背后的直观几何意义。它成功地铺设了单变量函数的微积分大厦。然而，当学习的视野需要扩展到多变量空间、需要处理更复杂的微分方程、或需要从更抽象的代数结构去理解数学的严密性时，读者将需要转向上述被明确排除在外的领域，例如多元微积分、线性代数、常微分方程以及实分析的进阶课程。本书的价值在于其聚焦与深度，而非广度与前沿性。

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坦白说，我不是一个擅长自学的学生，很多时候需要老师的实时反馈。但有了这本《高等数学基础》后，我感觉自己像是拥有了一位全天候待命的私人导师。它不是那种只给出“是什么”的书，而是深入探讨“为什么是这样”的书。书中对每一个定理的证明，都像是在进行一场缜密的法庭辩论，环环相扣，逻辑严密。我注意到，作者非常强调基本概念的精确定义，这一点在其他一些教材中常常被一笔带过。例如，在处理无穷级数的敛散性时，作者对“收敛”的定义阐述得极其到位，让我彻底明白了为什么有些数列可以趋近于一个确定的值，而有些则像脱缰的野马。这种对基础的固执坚守，虽然让初读时的进展稍慢，但一旦基础打牢，再学习更高级的分析学时，就会发现自己如履平地。这本书的价值，在于它构建了一个完整且坚固的知识框架，而非零散的知识点集合。

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说实话，我对数学一直抱着一种敬而远之的态度，总觉得那玩意儿是天才的专属。然而，拿到这本《高等数学基础》后，我的看法有了颠覆性的改变。它最大的优点在于其极强的可读性和人文关怀。书中并非只是冷冰冰的数学符号堆砌，而是在讲解每一个概念时，都穿插了数学家们是如何思考、如何发现这些规律的历史背景。比如讲到牛顿和莱布尼茨对微积分的争论，那段描述简直像在看一部精彩的历史剧，瞬间拉近了我和这些“高冷”概念的距离。这种叙事性的讲解，让我不再觉得数学是凭空产生的玄学，而是人类智慧长期积累和碰撞的结果。书中的习题设计也很有层次感，从最基础的代数运算到需要综合运用多个定理的综合题，难度梯度设计得非常合理。我发现，很多习题的表述都非常贴近实际工程问题，这让我这个非数学专业的学生也能找到学习的动力——原来这些看似无用的公式，在现实世界中真的有大用。看完这本，我不再是“会做题”，而是开始“理解”数学了。

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这本书的排版和设计，用现代的眼光来看，略显传统，但这种传统也带来了一种沉稳的学术气息。纸张的质感很好，印刷清晰，长时间阅读也不会感到眼睛疲劳，这对于一本动辄几百页的数学教材来说非常重要。我特别欣赏它在理论推导上的严谨性，每一个步骤都力求无懈可击，这对于培养逻辑思维能力是极大的助益。虽然有时候会觉得过于冗长，例如某些冗余的例子可以简化，但从教学法的角度看，这种详尽的重复和铺垫，确实能有效降低初学者的理解门槛。最让我感到惊喜的是书后附带的“难点辨析”部分，它集中解答了学生最容易混淆的概念，比如定积分和不定积分的区别、收敛域的判断准则等，这些都是我过去学习时经常卡壳的地方。作者似乎非常了解学生的思维误区，直击痛点。虽然内容扎实，但如果能增加一些现代数学软件（如Mathematica或MATLAB）的应用示例，结合计算工具进行验证，可能会让体验更完美，毕竟时代在进步嘛。

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这本《高等数学基础》真是让人又爱又恨，学完之后感觉像是攀登了一座知识的高峰，视野一下子开阔了不少。我记得第一次翻开它的时候，那些密密麻麻的公式和抽象的概念差点把我劝退。什么极限、导数、积分，听起来就头大。但是，作者的叙述方式其实相当巧妙，他没有一上来就堆砌复杂的理论，而是从一些非常直观的例子入手，比如计算曲线下面积、瞬时变化率这些我们生活中似乎能接触到的场景。这种“先应用，后理论”的写法，让我这个数学基础薄弱的人感觉没那么吃力。特别是在讲解微积分的基本定理时，作者用了大量的图示和几何解释，让我深刻体会到导数和积分之间的“互逆”关系，而不是仅仅停留在符号运算的层面。当然，书里也有一些让我抓狂的地方，比如某些定理的证明过程，逻辑跳跃得太快，我得反复阅读好几遍，甚至对照网上的讲解视频才能勉强跟上思路。不过，正是这种挑战性，让最终掌握知识时的成就感倍增。总体来说，它更像一位耐心的引路人，虽然有时步伐稍快，但指引的方向绝对是正确的，为后续更深入的数学学习打下了坚实的地基。

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阅读这本《高等数学基础》的过程，与其说是在学习数学，不如说是在进行一场智力上的探险。它不像市面上很多流行的速成读物，追求的是快速得出答案，而是引导你去欣赏数学本身的结构美和内在的和谐。书中对于向量空间、线性变换等更抽象概念的引入，虽然安排得比较靠后，但处理得非常精妙。作者没有直接使用过于深奥的线性代数语言，而是通过几何直观和坐标变换的方式进行软着陆，这种“润物细无声”的过渡手法，极大地缓解了学生对抽象代数模型的恐惧感。我个人特别喜欢其中关于多元函数微积分的部分，它将平面上的导数概念推广到了三维空间，通过梯度、方向导数等工具，让人对函数的局部变化有了立体化的感知。唯一的“挑刺”可能在于，部分习题的答案解析不够详尽，只有最终结果，如果能提供关键步骤的提示或引导，对于自我检验和纠错会更加高效。但瑕不掩瑜，这本书无疑是一部值得反复研读的经典之作。

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