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出版者:

作者:姚唐生

出品人:

页数:177

译者:

出版时间:2004-1

价格:16.00元

装帧:

isbn号码:9787564002640

丛书系列:

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• 成人高考
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现代高等代数基础与应用 本书简介： 《现代高等代数基础与应用》旨在为具有一定数学基础的读者提供一个全面、深入、且贴近现代应用需求的代数知识体系。本书并非针对特定考试的复习用书，而是着重于代数核心概念的逻辑建构、理论的严谨证明以及其在当代科学技术领域中的实际应用。全书结构清晰，逻辑严密，力求在保持数学深度的同时，兼顾读者的理解难度与学习兴趣。 第一部分：基础代数结构重构 本部分是对传统代数体系的系统梳理与提升，侧重于抽象代数的基本概念和构造。 第一章：集合论基础与数系扩充 本章首先回顾了集合论的基本公理系统（ZFC的简化版本），强调了集合运算的精确性。随后，详细阐述了从自然数 $mathbb{N}$ 到整数 $mathbb{Z}$、有理数 $mathbb{Q}$ 的构造过程，重点在于等价关系和构造函数的严谨定义。最为核心的部分是实数 $mathbb{R}$ 的构造，采用戴德金分割法（Dedekind Cuts）而非柯西序列法，以更清晰地展示实数的连续性。引入了复数 $mathbb{C}$ 域的建立，并为后续的线性代数中的向量空间打下结构基础。本章不涉及任何关于成人高考数学中涉及的初等函数、三角函数或概率统计的零散知识点。 第二章：群论导引：对称性与结构 本章是抽象代数的核心入口。从对称性问题引入群（Group）的概念，详细定义了群的四大公理。内容覆盖了子群、陪集、拉格朗日定理及其推论，这为理解群的阶数提供了关键工具。接着，深入探讨了循环群、二面体群 $D_n$ 以及对称群 $S_n$ 的性质。同态（Homomorphism）与同构（Isomorphism）的定义和性质被详尽阐述，特别是正规子群（Normal Subgroups）和商群（Quotient Groups）的构造，这是理解代数结构分解的关键。本章的习题设计偏向于理论推导和例子分析，完全避开了与考试大纲中初等代数方程求解相关的重复内容。 第三章：环与域：运算的拓展 在群的基础上，本章引入了环（Ring）的概念，关注加法和乘法两种运算的交互作用。阐述了交换环、整环（Integral Domains）以及域（Fields）的定义。重点讨论了理想（Ideals）的概念及其在环结构中的重要性，类比于群中的正规子群。引入了主理想域（PID）和唯一因子域（UFD）的概念，例如多项式环 $mathbb{Z}[x]$ 和 $mathbb{Q}[x]$ 的性质分析。关于域的扩张（Field Extensions）仅作理论引入，不涉及 Galois 理论的深度，但会展示如何从有理数域 $mathbb{Q}$ 构造出 $mathbb{Q}(sqrt{2})$ 这样的例子。 第二部分：线性代数：空间与变换 本部分侧重于现代线性代数的视角，从向量空间的公理化定义出发，强调几何直觉与代数形式的统一。 第四章：向量空间与线性映射 本章的核心在于向量空间（Vector Space）的公理化定义，而非仅仅停留在 $mathbb{R}^n$ 上的操作。讨论了子空间、线性组合、线性相关性与线性无关性。基（Basis）和维数（Dimension）的唯一性证明是本章的理论重点。线性映射（Linear Transformations）被定义为保持向量空间结构的函数，其零化子（Kernel）和像（Image）的性质紧密联系于秩-零化度定理。本章严格区分了“向量空间”与“线性方程组”的求解过程，后者仅作为前者的应用实例出现。 第五章：矩阵理论：坐标无关的视角 本章重新审视矩阵，将其视为线性映射在特定基下的“表示”。矩阵乘法的结合律和分配律从线性映射的复合和加法自然导出。本章深入探讨了矩阵的相似性（Similarity），并重点分析了矩阵的行列式（Determinant）的代数定义和几何意义（如体积和定向的改变），而非仅作为解线性方程组的工具。特征值（Eigenvalues）和特征向量（Eigenvectors）的计算被置于矩阵对角化和谱理论的框架下讨论。 第六章：特征分解与规范形 本章聚焦于理解线性变换的本质结构。详细讨论了特征值的求解（根的性质）和特征空间的构造。对于非对角化矩阵，本章引入了若尔当标准型（Jordan Canonical Form）的理论基础，展示了如何通过相似变换将任意线性映射转化为最简的“块状”结构表示。这部分内容侧重于矩阵函数的定义（如矩阵指数的幂级数展开）及其在常微分方程组解法中的理论价值，完全超越了初等代数对二次型或简单的特征值计算要求。 第三部分：多线性代数与应用前沿 本部分是本书难度较高的部分，旨在为学习微分几何、代数拓扑或高级数值分析做准备。 第七章：内积空间与正交性 本章引入内积（Inner Product）的概念，从而在抽象向量空间中引入长度和角度的概念。重点讨论了施密特正交化过程（Gram-Schmidt Process）的理论推导及其在构造标准正交基中的应用。自伴随算子（Adjoint Operators）的引入是连接实数域和复数域在线性代数中的桥梁。本章完全围绕欧几里得几何的抽象化展开。 第八章：张量代数初步 张量（Tensors）被引入作为多线性函数的推广，是现代物理学和数据科学（如机器学习中的高维数据处理）的基础工具。本章从双线性函数和双线性形式（Bilinear Forms）出发，定义了张量的上下指标（Covariant and Contravariant indices）的概念，并讨论了张量积（Tensor Product）的构造。张量在不同坐标系下的变换律是本章的理论核心，而非具体的数值计算。 第九章：二次型与正定性 本章结合了线性代数和微积分的观点，详细分析了二次型函数，它们在代数上的表示就是对称矩阵。通过合同变换（Congruence Transformation）和特征值分解，展示了如何将任意二次型转化为标准形（如拉格朗日定理的矩阵形式）。正定性、半正定性的判定标准（如主子式判别法）被置于矩阵对称性和特征值符号的背景下进行深刻理解。 总结与展望： 《现代高等代数基础与应用》是一本面向具有扎实初等代数功底的读者，致力于提供一个逻辑自洽、深入且具有前瞻性的代数知识体系。本书的编写宗旨是培养读者的抽象思维能力和严谨的数学证明习惯，其内容深度和广度远超任何针对特定职业资格考试的数学复习材料。本书的每一章都旨在建立一套独立的、相互支撑的代数结构，而非仅仅是工具性的解题技巧汇编。

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这本书的封面设计得极其朴实，甚至可以说有些过时了，那种深蓝色的背景配上橘黄色的粗体字，让人立刻联想到上世纪末的考研资料。我拿到手的时候，其实心里是有些打鼓的，毕竟现在市面上的教辅材料设计越来越精美，图文并茂，色彩鲜艳，而这本《全国成人高考数学》给我的第一印象，就是一本“纯粹的工具书”。翻开内页，果然，没有任何花哨的排版或者多余的理论阐述，全篇几乎都是密密麻麻的公式、定理的推导和例题的解析。它没有采用循序渐进的“讲故事”式教学，而是直接将知识点像清单一样罗列出来。比如在解析微积分部分时，它几乎没有提及微积分在实际生活中的应用背景，而是直接给出了各种求导和积分的公式，并且紧接着就是一连串的变式练习。我花了很长时间才适应这种略显枯燥的阅读节奏，但不得不说，如果你是那种目标明确，只想在最短时间内攻克考点、查漏补缺的考生，这种直给的风格反而是一种高效。它更像是一位严厉的、不苟言笑的数学老师，只管往你面前堆放试卷，要求你独立完成，很少用安慰或鼓励的语言。对于基础薄弱、需要建立完整知识体系的读者来说，可能会感到吃力，因为这本书默认你已经具备了一定的数学基础，它更像是对这些基础进行一次高效的“提纯”和“强化训练”。它唯一给我的安慰是，那些公式的推导步骤都写得非常清晰，没有省略关键的一步，这对于理解公式的来龙去脉还是有帮助的，但整体阅读体验，绝对称不上“愉悦”。

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我必须承认，这本书的习题质量非常高，但其“难度曲线”的设置显得有些反常理。通常我们期待的是从易到难，逐步递进。但这本书的开篇例题有时会直接抛出一个中等偏上的难题，让人措手不及，比如在讲解一次函数与二次函数的图像交点问题时，它给出的第一个例题就涉及到了复杂的参数范围讨论。然而，一旦你攻克了第一个“难关”，后续的变式练习反而会变得相对容易，很多都是对第一个例题核心思想的简化应用。这种“先抑后扬”的设置，可能是为了快速筛选出有一定基础的读者，并立刻将他们带入到考试思维状态中。最让我感到惊喜的是，它在某些偏难点的解析中，会提供多种解题思路的对比，这对于拓宽解题视野非常有帮助。例如，对于一个求最值的问题，它会先用传统的微积分方法求解，随后又用均值不等式（如果适用的话）来验证，最后再尝试用图像的几何意义来快速估算答案。这种“多角度验证”的模式，极大地增强了对知识掌握的深度和准确性。唯一的不足在于，对于那些需要大量重复练习来巩固记忆的考生来说，这本书的变式可能不够多，它更倾向于展示解题的“智慧”而非“量变”。

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坦白说，这本书的讲解方式更像是给已经“入门”的读者准备的“进阶秘籍”，而非面向零基础的入门教材。它的知识点覆盖面广得惊人，简直像是一本压缩版的高等数学辞典。我尤其注意到，它对某些特定题型的处理方式非常独到。例如，在解析概率论部分时，它花了大量篇幅去解析那些看似简单却极易混淆的“古典概型”和“几何概型”之间的边界问题，而不是简单地给出公式。它会通过对比两个极其相似的实际问题场景，指出在何种情况下应该使用哪种概率模型进行计算。这种对比分析，比起单独讲解每一个模型要深刻得多，但对读者的思维要求也更高。书中对于选择题和填空题的解题技巧梳理得尤为细致，不是那种泛泛而谈的“快速审题”，而是针对特定数学符号或特定运算步骤，给出了一个可以快速排除干扰项的“捷径”。比如，对于涉及参数的方程求值问题，它会推荐使用“特殊值代入法”的精确操作步骤，而不是仅仅提及这个方法。然而，这种深度也带来了一个副作用：对于那些数学思维比较慢热的读者，初看可能会觉得信息量过载，甚至有“被碾压”的感觉。它没有花笔墨去解释为什么要发展出矩阵的概念，而是直接从如何计算逆矩阵开始。因此，如果你期待在轻松的氛围中重拾高中数学的信心，这本书可能会让你失望；但如果你是想挑战自己的极限，追求对考点各个角度的精确打击，这本书的“硬核”程度是值得肯定的。

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这本书在章节间的逻辑衔接上，显得有些过于“独立化”了。它不像我以前看过的那些畅销教辅那样，会用一段引言或小故事来承上启下，将前后知识点串联起来。这里的每一章，包括后面的每一节，都更像是一块块独立的知识模块，被整齐地码放在一起。你完全可以跳过第三章直接去看第五章，它也不会“抱怨”你跳过了中间的内容。这种结构非常适合那种时间紧张，只需要针对性复习某一特定知识模块的考生。比如我这次复习的重点是立体几何中的空间向量法，我可以直接翻到对应章节，里面对空间角和距离的计算步骤描述得非常清晰，直接就是纯粹的向量运算，没有掺杂过多复杂的空间想象过程。但是，对于那些需要构建完整数学知识体系的读者来说，这种割裂感可能会导致学习效率降低。因为你很难从整体上把握这些知识点是如何相互支撑和演进的。我甚至觉得，这本书的设计初衷，可能就是为了应对不同省份或不同年份成人高考大纲中对知识点权重不同的微调需求。它提供了一个高度模块化的知识库，使用者可以像搭积木一样，根据自己的需求去组合使用。但话说回来，作为一本应试工具书，这种高度的灵活性和模块化，绝对是一种优势，只是牺牲了叙事上的连贯性。

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这本书的装帧和印刷质量，坦白说，是偏向于实用主义的极致体现。纸张是那种略带灰度的哑光纸，反光度很低，这对于长时间阅读来说是个优点，能有效减轻眼睛的疲劳感。油墨的着色均匀，尤其是那些数学符号，黑白分明，即使用铅笔在旁边批注，也不会与原书内容混淆。但是，这本书在图示方面，显得异常节俭。比如在解析解析几何的椭圆和双曲线章节时，几乎所有的图形都是由最基础的线条和坐标轴构成的，没有任何阴影、渐变或其他美化处理。这再次强调了它的核心定位：这是一本给已经知道图形长什么样的人看的参考书。它不会浪费任何篇幅去“教你画图”，而是直接假设你已经知道圆锥曲线的基本形态，然后直接将坐标系和关键点标注出来，开始进行复杂的代数推导。这种极简主义的排版，虽然在视觉上缺乏吸引力，但却极大地提高了信息密度，你可以在有限的页面空间内获取到最多的有效信息。对于追求效率的成人考生而言，这种“去芜存菁”的排版哲学，比那些充满插图和动画效果的教材更具实操价值。

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