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出版者:机械工业出版社

作者:王化久 编

出品人:

页数:293

译者:

出版时间:2003-8

价格:22.00元

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isbn号码:9787111124450

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《线性代数与矩阵理论基础》内容简介 本书旨在为读者构建一个坚实而全面的线性代数与矩阵理论知识体系，是理解现代数学、工程技术、计算机科学乃至经济学等众多学科的基石性教材。本书内容组织严谨，逻辑清晰，注重理论与实际应用的紧密结合，力求帮助学习者深刻领悟向量空间、线性变换、矩阵运算的本质，并熟练掌握矩阵分解、特征值问题等核心分析工具。 --- 第一部分：基础结构与运算（The Foundational Structures and Operations） 本书的开篇部分，我们首先聚焦于线性代数最核心的元素——向量和矩阵。我们将从最基础的定义出发，确保读者对这些基本概念有精确的把握。 第一章：向量空间与子空间（Vector Spaces and Subspaces） 本章深入探讨向量空间的抽象定义及其基本性质。我们不再局限于 $mathbb{R}^n$ 上的几何直观，而是将讨论扩展到更广义的向量空间，例如函数空间、多项式空间等。 向量的定义与运算： 详细介绍向量的线性组合、线性相关性和线性无关性。 基与维度： 引入基的概念，并严谨证明任意向量空间维度的唯一性，这是理解空间“大小”的关键。 子空间： 讨论子空间的闭合性，重点分析由一组向量张成的空间（Span）、零空间（Null Space）、列空间（Column Space）和行空间（Row Space）。 坐标变换： 如何在不同的基下表示同一个向量，理解坐标系选择对描述的影响。 第二章：线性变换与矩阵表示（Linear Transformations and Matrix Representation） 线性变换是描述系统中“映射”或“作用”的核心工具。本章将线性变换与矩阵的乘法建立起牢不可破的联系。 线性变换的性质： 定义域、值域、核（Kernel，即零空间）与像（Image，即列空间）之间的关系，特别是核与像的维度定理（秩-零化度定理）。 矩阵的构造： 学习如何根据给定的线性变换，构造出其在特定基下的矩阵表示。重点讲解基变换如何影响矩阵的表示形式。 复合变换： 通过矩阵乘法理解线性变换的复合操作，以及矩阵乘法的非交换性所代表的几何意义。 同构性： 探究哪些变换是可逆的，并引入逆变换的概念。 第三章：矩阵代数与初等行变换（Matrix Algebra and Elementary Row Operations） 本章侧重于计算工具——矩阵的运算规则，以及求解线性方程组的系统化方法。 矩阵的运算： 深入探讨矩阵的加法、数乘、乘法、转置和迹（Trace）。强调矩阵乘法在实际问题中的应用，如复合变换或多步过程的建模。 初等矩阵与初等行变换： 将行操作（行交换、行缩放、行相加）提升到矩阵层面，引入初等矩阵。 高斯-约旦消元法： 详细阐述如何利用初等行变换将矩阵化为行阶梯形（Row Echelon Form, REF）和简化行阶梯形（Reduced Row Echelon Form, RREF）。 矩阵的秩与逆： 利用RREF确定矩阵的秩，并推导出满秩矩阵存在逆矩阵的充要条件。系统介绍求解逆矩阵的常用方法。 LU分解： 作为高斯消元法的矩阵化表达，LU分解在数值计算中的重要性被突出讲解。 --- 第二部分：结构分析与分解（Structural Analysis and Decomposition） 在掌握了基本运算后，本书进入到线性代数的“分析”层面，即如何通过特征值、特征向量和矩阵分解来揭示矩阵背后隐藏的深层结构和不变性质。 第四章：行列式（Determinants） 行列式是衡量方阵特性的一个标量值，它深刻关联着矩阵的可逆性、线性变换的体积/定向变化。 定义与性质： 从置换的奇偶性出发给出代数定义，并利用行变换的性质推导出行列式的重要性质（如与转置、乘积的关系）。 计算方法： 详细介绍代数余子式（cofactor）展开法，并探讨行列式在求解线性方程组（克拉默法则）中的应用。 几何意义： 解释行列式的绝对值与线性变换对区域面积或体积的缩放因子之间的关系。 第五章：特征值与特征向量（Eigenvalues and Eigenvectors） 特征值和特征向量是线性代数中最具洞察力的概念之一，它们描述了在特定线性变换作用下，方向保持不变的非零向量。 定义与求解： 介绍特征多项式、特征方程的建立，并演示如何求解特征值和对应的特征向量。 对角化理论： 讨论矩阵可对角化的充要条件——特征向量的完备性。重点分析对角化在计算矩阵幂次、求解微分方程初值问题中的强大威力。 相似变换： 解释相似矩阵的特征在于它们共享相同的特征值和特征向量结构。 特殊矩阵的特征值： 探讨对称矩阵的特征值（全为实数）和正交性。 第六章：正交性与最小二乘法（Orthogonality and Least Squares） 本章将重点放在向量空间中的“距离”和“投影”概念，这对于数据拟合和近似求解至关重要。 内积空间： 推广欧几里得空间的概念，定义内积、范数（长度）和角度。 正交与规范正交基： 引入正交集和规范正交基的概念。 格拉姆-施密特正交化过程（Gram-Schmidt Process）： 详细介绍将任意基转化为规范正交基的系统算法。 正交投影： 探讨向量在子空间上的正交投影，这是最小二乘问题的几何基础。 最小二乘解： 针对超定（方程数多于未知数）线性系统，推导出法方程（Normal Equations），求得最佳近似解，广泛应用于数据拟合。 第七章：矩阵分解的深入探究（Advanced Matrix Factorizations） 本章将前面学习的知识进行整合，介绍几种在理论和应用中极具影响力的矩阵分解形式。 QR分解： 利用格拉姆-施密特过程构造正交矩阵 $Q$ 和上三角矩阵 $R$。阐述QR分解在求解最小二乘问题和计算特征值（QR算法的基础）中的应用。 谱分解（Spectral Decomposition）： 专为对称矩阵（或更广义的正规矩阵）设计的对角化形式，揭示了对称矩阵的本质结构。 奇异值分解（Singular Value Decomposition, SVD）： 线性代数中最强大的工具之一。无论矩阵是否是方阵、是否可逆，SVD均适用。我们将详细分析奇异值、左奇异向量和右奇异向量的几何意义，并将其应用于数据降维（如主成分分析PCA的理论基础）、图像压缩和伪逆（Pseudoinverse）的计算。 --- 第三部分：多元应用与广义视角（Multivariate Applications and Generalized Perspectives） 最后一部分将视野从 $mathbb{R}^n$ 拓展到更抽象的代数结构，并展示线性代数在现代科学中的核心作用。 第八章：二次型与正定性（Quadratic Forms and Definiteness） 本章关注由向量的二次函数形式描述的几何对象，如椭圆、双曲线等。 二次型的矩阵表示： 将二次型表示为 $x^T A x$ 的形式，其中 $A$ 是对称矩阵。 主轴定理（Principal Axes Theorem）： 利用对称矩阵的谱分解，说明如何通过正交变换将二次型简化为只含平方项的标准型。 正定性判据： 引入正定、半正定矩阵的概念，并利用顺序主子式和特征值来判断矩阵的正定性，这在优化理论中具有核心地位。 第九章：线性代数在工程与计算中的展望 本章将理论知识回归实际应用场景，展示其在解决复杂问题时的不可替代性。 迭代法基础： 简要介绍求解大型稀疏线性系统的迭代方法（如雅可比法、高斯-赛德尔法），强调其对数值稳定性的依赖。 矩阵函数的概念： 引入矩阵指数、矩阵对数等概念，并解释它们在常微分方程组（LTI系统）解法中的作用。 应用概述： 结合实例简述主成分分析（PCA）的理论推导、图论中的拉普拉斯矩阵、以及有限元分析（FEM）中线性方程组的生成过程。 --- 本书特色： 1. 严谨性与直观性并重： 每个抽象概念都配以清晰的几何或代数直观解释，确保概念的深入理解而非死记硬背。 2. 计算与理论平衡： 对高斯消元、对角化、SVD等关键计算过程的步骤描述详尽。 3. 应用导向： 章节末尾精选了来自物理、工程和数据科学的典型案例分析，展示线性代数作为“现代科学语言”的实际应用价值。 《线性代数与矩阵理论基础》是理工科本科生、研究生以及需要掌握现代数学工具的专业人士的理想读物。

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我最近入手了《天体物理学基础》，这本书的叙事能力堪称一绝，它成功地将原本枯燥的物理常数和复杂的辐射传输方程，编织成了一部关于宇宙宏大史诗的生动教材。作者的笔触极其流畅，无论是讲解恒星的诞生、演化，还是星系的形成与消亡，他总能找到最贴切、最富画面感的语言来描绘。比如，在描述超新星爆发时，那种能量的释放和元素的播撒，简直让人感觉仿佛置身于宇宙剧场的前排，亲眼目睹恒星生命的最后一幕。我特别喜欢它在介绍观测技术和数据分析时的部分，它没有把望远镜和光谱仪当作冰冷的机器，而是描绘成人类感官向宇宙深处延伸的“触手”，每一次数据采集都是一次对未知领域的勇敢探索。这本书的价值不仅在于传授知识，更在于激发那种对未知宇宙的敬畏之心和永不满足的好奇心。它让我深刻体会到，物理学不仅仅是计算，更是人类对自身在宇宙中位置的一种深刻反思和不懈追问。对于非专业人士来说，它提供了足够的深度，但又不至于让人望而却步，是一部将科学的严谨与文学的美感完美结合的典范之作。

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坦白说，《微积分的逻辑与应用》这本书，一开始我是带着些许不安去翻开的。我总觉得“微积分”这三个字就意味着无穷无尽的极限和导数的推导，很容易陷入机械计算的泥潭。然而，这本书完全颠覆了我的刻板印象。它最成功的地方在于，它极其重视“为什么”而不是“怎么做”。作者花了大量的篇幅来解释极限的概念是如何从直觉的模糊过渡到严格的 $epsilon-delta$ 定义的，这种逻辑上的严谨性，让我第一次真正理解了微积分作为数学基石的稳固性。书中大量的几何背景铺垫，比如用曲线下面积的逼近来引入定积分，用瞬时变化率的极限来定义导数，都使得那些抽象的运算有了坚实的物理或几何意义。我发现自己不再只是会套用公式求导数和积分，而是理解了这些操作背后的“力量”——即处理变化和累积的能力。书中的案例分析也十分贴近实际工程问题，从优化建筑结构到计算流体动力，都展示了微积分强大的模型构建能力。这本书的阅读体验是扎实的、富有启发性的，它让我明白，真正的数学学习，是建立在清晰的逻辑链条之上的，而不是零散的技巧集合。

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最近沉迷于《量子力学导论》，这本书的写作风格简直是思想的漫游指南，与其说它在教你公式，不如说它在带你进行一场深刻的哲学思辨。作者的文字充满了诗意和穿透力，他并没有急于给出薛定谔方程，而是先用大量的篇幅探讨了经典物理学的局限性，以及“观测者”在物理世界中扮演的颠覆性角色。阅读的体验就像是在一个雾气弥漫的森林中跋涉，每当你快要迷失方向时，作者总会适时地抛出一个精妙的类比或一个令人震撼的思想实验，比如双缝干涉的悖论，让你对现实的本质产生更深层次的怀疑和探索欲。这本书的难度是显而易见的，它要求读者具备相当的数学基础，但最吸引人的是它对物理直觉的培养。它不会让你死记硬背那些波函数和算符的表达式，而是引导你去体会为什么粒子会表现出概率性的行为。我感觉自己读完后，看待世界的角度都变得更加多维和复杂了，不再满足于事物的表象，而是渴望探究驱动万物运行的底层逻辑。这是一本需要反复咀嚼、时常停下来沉思的书，它对思维的深度和广度的拓展，远超一本普通的教科书所能达到的境界。

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我刚刚读完了《数论初步》，这本书给我的震撼是巨大的，它让我意识到，在最基础的自然数的世界里，竟然蕴藏着如此复杂而优美的结构。作者以一种近乎侦探小说般的笔法，带领读者探索质数的奥秘。他不是直接抛出费马大定理或欧拉定理，而是从最简单的除法和余数开始，一步步引出同余的概念，整个过程如同剥洋葱一样，层层深入，引人入胜。我尤其欣赏它对历史背景的引入，每当引入一个定理，作者都会简要介绍它是哪位数学家在何种背景下提出的，这让冰冷的公式瞬间有了“人情味”和历史的厚重感。书中对素性测试和加密算法（如RSA）的应用探讨，更是让人拍案叫绝，它清晰地展示了看似纯粹的理论，是如何支撑起现代信息安全体系的。这本书的魅力在于它的“纯粹”与“强大”的对比，它让你在处理最简单的整数时，却能感受到数学宇宙的广袤无垠。读完后，我常常会不由自主地拿起笔，在纸上写下一些数字，然后试图找出隐藏在它们背后的规律，这是一种非常愉悦的智力活动。

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这本《线性代数入门》简直是数学学习的救星！我一直对矩阵和向量这些概念感到头大，总觉得它们抽象得抓不住重点，但这本书的讲解方式实在是太人性化了。作者没有直接堆砌那些复杂的定义和定理，而是从几何直观入手，比如用三维空间的旋转和平移来解释矩阵变换，一下子就让那些原本晦涩的符号“活”了起来。比如，当我看到行列式被解释成在变换下面积或体积的缩放因子时，那种豁然开朗的感觉真是无与伦比。书中的习题设计也极其巧妙，难度梯度设置得非常科学，基础题帮你巩固概念，稍难的题目又能激发你主动去思考如何运用这些工具去解决实际问题。我尤其欣赏它对计算技巧的细致梳理，那些高斯消元法、求逆矩阵的步骤，作者都用非常清晰的图示和详尽的文字步骤来呈现，完全不用担心会看晕。对于我这种偏爱“眼见为实”的学习者来说，这本教材简直是打开了新世界的大门，让我对这门曾经的拦路虎产生了浓厚的兴趣，感觉自己真的在一步步构建起坚实的代数思维框架。它不仅仅是一本工具书，更像是一位耐心十足的私人导师，引导你从零开始，扎实地掌握线性代数的精髓。

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