小学数学奥林匹克解题23法 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:少年儿童出版社

作者:朱鹏程编

出品人:

页数:165

译者:

出版时间:2004-4

价格:16.0

装帧:平装

isbn号码:9787532460137

丛书系列:

图书标签:

• 小学数学
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《跨越界限：现代几何与拓扑学的思想探索》 内容简介 本书旨在为读者提供一个深入而全面的视角，探索二十世纪以来数学领域中最为深刻和活跃的分支之一：现代几何学及其与拓扑学的交汇与融合。我们关注的焦点并非具体的公式推导或例题解析，而是那些驱动现代数学发展的核心思想、概念的演变及其对更广泛科学领域的深远影响。 第一部分：黎曼几何的复兴与微分几何的勃兴 本部分将追溯黎曼几何在爱因斯坦广义相对论中的关键作用，并以此为起点，探讨微分几何如何从纯粹的曲率研究演变为描述复杂空间结构的基础语言。 1. 从欧几里得到黎曼：空间概念的革命 介绍高斯“奇异章节”的重要性，如何从曲面内在几何出发，构建非欧几何的严谨框架。 探讨测地线、曲率张量（里奇张量、里奇标量、黎曼曲率张量）的物理和几何意义。我们不会过多纠缠于坐标计算，而是着重于其在描述物质分布和时空弯曲中的直观理解。 讨论正曲率、负曲率空间（如双曲几何）的结构特性及其在数学模型中的应用。 2. 纤维丛理论与联络的引入 介绍向量丛、纤维丛的概念，理解“局部扁平，整体弯曲”的几何范式。 深入探讨联络（Connection）——如何定义空间中向量的平行移动，这是将微分结构与拓扑结构缝合在一起的关键工具。介绍惠特尼联络和赫尔曼联络的基本思想。 重点分析陈-西蒙斯（Chern-Simons）理论的几何起源，及其在低维拓扑中的体现。 3. 规范场论与杨-米尔斯理论的几何视角 将现代物理的观点引入几何讨论。解释杨-米尔斯理论如何用微分几何中的规范群和平移概念来描述基本粒子间的相互作用。 探讨霍奇理论在微分形式上的应用，理解德拉姆上同调与拓扑不变量之间的深刻联系。 第二部分：拓扑学的核心结构与不变量 本部分将聚焦于拓扑学——研究空间在连续形变下保持不变的性质——的经典成就及其现代分支。我们关注的是“什么不变”而非“如何测量”。 1. 代数拓扑的基石：同调与同伦 详细介绍同伦群（$pi_n(X)$）的概念，阐释其衡量空间“洞”的复杂程度，特别是基本群（$pi_1$）在分类流形和群表示中的作用。 探讨辛普利夏同调和奇异同调的构造思想，理解它们如何将复杂的几何对象转化为可计算的代数对象（如阿贝尔群）。 介绍著名的Hurewicz定理，连接了同调群和同伦群的桥梁。 2. 低维拓扑学的突破：流形与嵌入 聚焦于三维和四维流形的研究进展。讨论庞加莱猜想（现已被证明）的思想核心——单连通三维闭流形是否一定是三维球面。 介绍纽结理论（Knot Theory）作为三维流形研究的入口。分析琼斯多项式等拓扑不变量的代数结构及其在区分扭结上的威力。 讨论嵌入理论（Embedding Theory）中的关键问题，例如如何判断一个空间能否“平坦地”嵌入到更高维空间中而不自交。 3. 几何化猜想与瑟斯顿的洞察 深入剖析威廉·瑟斯顿的几何化纲领，这是对三维流形分类的宏伟蓝图。 介绍瑟斯顿八种几何结构（如球面几何、双曲几何、庞加莱几何等）的概念，以及如何通过“穿刺化”和“穿刺邻域”来分解复杂的三维流形。 第三部分：现代融合与前沿领域 本书的最后一部分将探讨几何与拓扑学在二十世纪末和本世纪初的交融，以及它们如何渗透到数学的其他领域。 1. 辛几何与李群的动态系统 介绍辛流形的概念，它为哈密顿力学提供了一个自然的几何框架。 探讨李群和李代数在描述对称性方面的核心地位，以及它们在微分方程和表示论中的应用。 简要介绍李群在旗流形上的作用及其与旗曲面的拓扑结构。 2. 几何分析的胜利：阿蒂亚-辛格指标定理 重点介绍指标定理的深远影响，它通过分析椭圆算子的指标（一个拓扑量），解决了本质上是分析和拓扑的问题。 阐释该定理如何将微分几何、拓扑学和偏微分方程的知识完美统一起来。 3. 空间、形变与代数几何的对话 简要触及代数几何中的概念如何影响拓扑研究，特别是卡拉比-丘流形在弦理论中的重要性。 探讨莫里（Morse Theory）如何将流形的拓扑特征与能量极值点联系起来，体现了几何优化思想。 本书特色 本书的叙述风格侧重于概念的清晰阐释和历史脉络的梳理，旨在培养读者对现代几何拓扑思想的直觉和宏观把握能力。我们着重于“为什么”这些理论被发展出来，以及它们如何解决前人遗留的难题，而不是陷入繁复的计算细节。它适合对数学原理有一定基础，并希望了解现代几何与拓扑学全貌的读者。本书将引导读者领略这些分支如何共同构建起我们理解“空间”与“形状”的现代数学殿堂。

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从实战应用的角度来看，这本书的价值是无可替代的。它不仅仅停留在理论层面，更是对各种竞赛场景中高频出现的问题类型进行了系统性的梳理和归类。我注意到书中对各种题型都有给出详细的“陷阱”预警和“最优解”推荐，这对于备战高强度数学竞赛的学生来说，简直就是一份详细的作战地图。更重要的是，它训练的是一种举一反三的能力。通过对不同方法论的深度剖析，我发现自己看待新的数学问题时，思路变得更加开阔，不再局限于单一的视角。这种迁移和应用能力的提升，远比死记硬背几个公式要来得重要和持久。这本书真正教会我的，是如何像一个“数学家”一样去思考问题，而非仅仅是一个“解题机器”。

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这本书的语言风格非常独特，既有学术著作的严谨，又不乏一位经验丰富教师的亲切和耐心。作者的叙述如同和一位博学的良师面对面交流，语调平和却充满力量，没有那种拒人于千里之外的晦涩难懂。在处理一些抽象概念时，作者擅长使用生动形象的比喻和生活化的例子来进行类比说明，一下子拉近了读者与复杂数学世界之间的距离。这种将“高冷”的奥数知识“接地气”的讲解方式，极大地激发了我继续钻研下去的兴趣。它成功地将学习的枯燥感降到了最低，取而代之的是一种探索未知领域的兴奋感和成就感。读这本书，感觉就像是在攀登一座高山，虽然过程需要努力，但每一步的风景都值得回味。

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这本书的排版和装帧设计得相当用心，拿到手里就能感受到一种沉甸甸的质感，封面设计简洁而不失力量感，色彩搭配也很和谐。内页纸张的质量也属上乘，阅读起来非常舒适，长时间翻阅也不会感到眼睛疲劳。尤其值得一提的是，字体选择恰到好处，大小适中，行距也经过了精心的调整，使得即使是复杂的数学公式和图表也能清晰呈现。作者在图文排版上的功力可见一斑，一些关键的概念和解题步骤都有用醒目的方式标出，这种视觉上的引导极大地降低了阅读的认知负担。整体来看，这本书的物理形态完全体现了它作为一本专业学习资料的价值，让人愿意时常把它捧在手里细细品味，而不是仅仅作为工具书束之高阁。这种对细节的关注，无疑提升了读者的整体阅读体验，让人在学习之余也能享受到阅读的乐趣。

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这本书的逻辑结构组织得非常严谨，从基础概念的引入到复杂技巧的阐述，层层递进，环环相扣。作者显然对不同知识点之间的内在联系有着深刻的理解，并没有孤立地介绍每一种解题方法，而是将其置于一个更大的数学思维体系中进行讲解。初学者可能会担心内容过于深奥，但实际上，书中对每一个新概念的引入都做了详尽的背景铺垫和直观解释，使得即便是初涉奥数领域的人也能快速跟上节奏。对于有一定基础的读者而言，书中对不同解题路径的对比分析更是提供了宝贵的启发，有助于构建更全面、更灵活的解题思路。这种结构化的组织方式，让学习过程不再是零散知识点的堆砌，而是一个不断构建和完善知识大厦的动态过程，受益匪浅。

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阅读这本书的过程，就像是经历了一场精心设计的思维马拉松。作者在讲解每种方法时，都会引用一系列精心挑选的例题，这些例题并非是简单的套用公式，而是巧妙地将奥数思维的精髓融入其中。最让我欣赏的是，书中对“为什么”的追问，它不满足于给出“怎么做”的标准答案，而是深入剖析了每种解题策略背后的数学原理和思想火花。有些解法初看之下匪夷所思，但经过作者的层层剥茧，最终能让人恍然大悟，感受到数学的美妙与严谨并存的魅力。这种深层次的引导，真正培养的是一种主动探究和批判性思考的能力，而非仅仅是机械地记忆解题模板。这对于真正想提升数学素养的读者来说，是极其宝贵的财富。

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