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出版者:科学出版社

作者:许天周

出品人:

页数:300

译者:

出版时间:2002-1

价格:29.00元

装帧:简裝本

isbn号码:9787030104854

丛书系列:

图书标签:

• 数学
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好的，这里有一份关于一本名为《现代拓扑学导论》的图书简介，它旨在提供一个扎实且深入的拓扑学基础，完全不涉及泛函分析的内容。 --- 现代拓扑学导论：从点集到流形 内容概述 《现代拓扑学导论》是一部旨在为数学专业学生、研究生以及对抽象结构感兴趣的读者提供严谨、全面且易于理解的拓扑学基础的教材。本书专注于拓扑学这一核心分支的理论构建，从最基础的点集拓扑学出发，逐步过渡到代数拓扑学的初步概念，并最终深入到微分几何中流形的结构。全书严格遵循公理化方法，对关键概念的引入均辅以详尽的动机阐述和严格的证明过程，力求使读者不仅掌握“是什么”，更能理解“为什么”以及“如何构建”。 本书的叙述重点在于拓扑空间的内在结构、连续映射的性质、紧致性、连通性等拓扑不变量的深刻理解，以及如何利用这些工具来分类和区分不同的空间。我们避免了引入向量空间、范数或算子等泛函分析中常见的工具，而是将拓扑学的研究范围限定在对空间形态和连接性的纯粹几何与代数研究上。 章节结构与核心内容 全书共分为七个主要部分，结构清晰，逻辑递进。 第一部分：度量空间与拓扑基础 本部分作为全书的基石，首先回顾了集合论的基本概念，并随后引入了度量空间（Metric Spaces）作为研究拓扑结构的第一个具体范例。我们详细探讨了开集、闭集、邻域、内点、边界和闭包的定义及其相互关系。接着，我们抽象化度量空间的结构，正式定义了拓扑空间（Topological Spaces），并阐述了拓扑由基（Bases）和局部基（Local Bases）生成的概念。 特别强调了连续性在拓扑学中的核心地位，证明了连续映射在保持拓扑结构方面的作用，并引入了商拓扑（Quotient Topology）作为构造新空间的重要手段。 第二部分：拓扑空间的重要性质 本部分深入研究了拓扑空间的两种核心性质：紧致性（Compactness）和连通性（Connectedness）。我们从有限开复有限的定义出发，严格证明了紧致性的等价刻画，包括海涅-博雷尔定理（在 $mathbb{R}^n$ 中）以及紧集上连续函数所具备的极值性质。 连通性的讨论侧重于路径连通性与连通性的关系，并引入了“极大连通子集”的概念。此外，本部分还详细分析了分离公理，从 $T_0$ 空间到豪斯多夫空间（Hausdorff Spaces）的推进，强调了豪斯多夫空间在处理极限和收敛性问题上的重要性。 第三部分：构造与乘积空间 本部分专注于如何从已知的拓扑空间构造出新的空间。重点讨论了乘积拓扑和楔和（Wedge Sums）的构造方法，并详细分析了乘积拓扑空间上的紧致性（Tychonoff’s Theorem的严格证明）。 此外，我们引入了函数空间的初步概念，讨论了函数空间上的收敛模式（如紧致收敛），并将其作为连接点集拓扑与更高级结构（如函数空间的一般研究）的桥梁，但其探讨严格限定在拓扑结构层面，不涉及任何函数空间上的度量或范数。 第四部分：滤子与进阶收敛 为了克服拓扑空间中点列收敛的局限性，本部分系统地引入了滤子（Filters）和网（Nets）。我们详细解释了如何利用滤子和网来刻画拓扑空间中的极限点、聚点和收敛性。本书通过这一工具，为理解更抽象的拓扑结构提供了必要的分析视角，并证明了网是完全描述豪斯多夫空间中收敛性的有效工具。 第五部分：同伦与基本群 从第四部分开始，本书向代数拓扑的初级领域迈进，但其侧重点完全在于对空间结构进行拓扑不变量的代数编码。本部分集中讨论同伦（Homotopy）的概念，并定义了基本群（Fundamental Group）。我们详细构造了基本群的运算（乘法），证明了其群结构，并计算了圆周 $S^1$、圆盘 $D^2$ 等基本空间的 $pi_1$ 群。这部分内容完全是代数结构在几何空间中的体现。 第六部分：覆盖空间与单连通性 本部分基于前面对基本群的分析，引入了覆盖空间（Covering Spaces）的概念。我们详细讨论了提升（Lifting）性质，并证明了霍普夫-霍普夫定理（Hopf-Hopf Theorem）的初步版本，以及关于单连通性和覆盖空间的直接联系。本部分旨在展示如何通过代数工具（群论）来区分拓扑上不同的空间。 第七部分：流形简介 最后一部分，我们将拓扑学的概念推广到更具几何意义的结构——流形（Manifolds）。我们定义了拓扑流形的结构，包括开子集上的坐标图、图册（Atlas）以及光滑结构（仅涉及拓扑上的可微性，不深入微分方程或张量分析）。重点在于理解流形作为“局部欧几里得空间”的本质，例如球面 $S^n$ 和环面 $T^2$ 的拓扑结构。 本书特点 1. 严格性与几何直觉的平衡： 每一概念的引入都伴随着清晰的几何动机，并辅以严密的拓扑学证明。 2. 聚焦不变量： 全书致力于研究如何通过拓扑不变量（如紧致性、连通性、基本群）来解析和区分空间。 3. 纯粹的拓扑视角： 本书完全避开了任何涉及范数、内积、拓扑线性空间、算子理论或测度的讨论，内容紧密围绕拓扑空间的内在结构。 4. 丰富的习题： 每章末尾均设有大量由浅入深的习题，部分习题旨在引导读者重证重要定理或构建反例，以加深对抽象概念的掌握。 《现代拓扑学导论》旨在为读者打下坚不可摧的拓扑学基础，使其能够自信地进入代数拓扑、微分几何或更深入的几何学研究领域。

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这本书的**《应用泛函分析》**，让我对“应用”二字有了更深刻的理解——真正的应用，源于对底层数学结构的深刻理解。我以前接触过一些侧重于工程算法的书籍，它们往往直接跳到如何运用某个积分方程的解法，却很少追溯到那个解法存在的数学依据。而这本书恰恰弥补了这一缺失。它用大量的篇幅，系统地探讨了为什么某些优化问题在泛函空间中会有解，以及这些解的稳定性如何保证。书中关于泛函微商的讨论，与传统微积分的思路有着显著的不同，它将导数的概念扩展到了无限维空间，这对于理解变分法中的欧拉-拉格朗日方程的严格推导至关重要。唯一让我感到略有不适的是，排版设计略显传统，某些复杂的公式堆砌在一起时，如果缺乏清晰的层级标记，可能会让习惯了现代出版风格的读者在快速阅读时产生轻微的视觉疲劳。但抛开这些表面因素，其内容的扎实程度和逻辑的严密性，绝对值得反复研读。

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这本看起来封面设计得相当朴素的书，**《应用泛函分析》**，拿到手里沉甸甸的，让人对它内涵的深度充满期待。我原本以为它会是一本晦涩难懂的纯理论教材，毕竟“泛函分析”这个词本身就带着一股高冷的学术气息。然而，当我翻开第一章时，发现作者的叙述方式出奇地平易近人。他没有一上来就抛出那些令人头晕目眩的抽象定义和复杂定理，而是巧妙地从一些实际的物理或工程问题中引入概念，比如信号处理中的傅里叶变换，或者变分法中的基础思想。这种“问题导向”的教学方法，极大地降低了初学者的入门门槛。我特别欣赏作者在讲解勒贝格积分和希尔伯特空间时所下的功夫，他用了大量的图示和类比，试图将那些高维空间中的几何直觉“拉”到我们日常可以理解的范围内。当然，即便如此，涉及到诸如算子理论的深入讨论时，我还是得放慢速度，反复咀嚼。不过，整体而言，这本书更像是一位经验丰富的导师在耐心领你进入这个数学殿堂，而不是一味地强迫你背诵公式。对于那些希望了解泛函分析如何“落地”的工程师或应用数学背景的学生来说，这本书提供了一个非常扎实的“应用”视角。

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我带着对该领域某些模糊概念的困惑翻开了**《应用泛函分析》**，特别是关于泛函分析在概率论中如何与随机过程相结合的部分。我原以为这部分会是泛泛而谈，或者干脆略过。然而，作者竟然用相当大的篇幅，以一种严谨的分析视角去审视了测度论在概率论中的地位，并自然地过渡到了$L^p$空间在随机变量空间中的作用。这种跨学科的连接处理得非常巧妙，使得那些原本看起来相互独立的数学分支，在泛函分析的框架下，展现出惊人的一致性。这本书的阅读体验是“慢热”型的，它不提供即时的“啊哈！”时刻，而是通过持续的、渐进式的知识积累，最终让你豁然开朗。对于希望从应用侧深入研究，但又不愿意牺牲理论严谨性的科研人员来说，这本书几乎是教科书级别的参考资料。它提供的不仅仅是知识点，更是一种面对复杂数学问题时，可以信赖的思维框架和分析工具箱。

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坦白讲，我这次选择阅读**《应用泛函分析》**，主要是冲着它名字里那个“应用”二字去的，毕竟我更侧重于数值模拟和优化算法的研究。这本书在处理偏微分方程（PDEs）的弱解和能量方法时，展现出了极高的专业水准。作者没有止步于介绍Sobolev空间的基本性质，而是直接将这些工具链条化地应用于实际的椭圆型和抛物型方程的分析中。特别是关于Riesz表示定理在求解自伴随算子上的应用，书中给出的推导过程清晰流畅，逻辑链条扣得非常紧密，让人能直观地感受到泛函分析在为现代数学物理提供强大理论支撑时的那种力量感。不过，对于那些希望看到大量成熟软件实现细节的读者，这本书的深度可能略显不足。它更多的是在构建数学的“骨架”和“逻辑”，而非直接提供“肌肉”和“皮肤”。有些章节，比如紧算子理论的应用，虽然数学上严谨至极，但如果能配上一些与具体数值方法（比如有限元法的收敛性分析）的联系实例，对我们这些偏应用的研究者来说，或许会更具吸引力。总的来说，它是一部不可多得的、理论与实际应用之间保持了优良张力的著作。

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阅读**《应用泛函分析》**的过程，对我而言，更像是一场严谨的智力体操。我发现这本书在构建知识体系上，有着近乎偏执的完美主义倾向。作者似乎深谙，如果基础的拓扑学和度量空间的知识点没有铺垫牢固，后续的范数收敛、一致性收敛等概念就会变得像空中楼阁。因此，前几章花了大量篇幅来夯实这些基础，虽然读起来稍显冗长，但一旦进入函数空间的研究，那些基础知识便如同坚实的基岩，支撑起了整个理论大厦。我尤其欣赏书中对巴拿赫空间（Banach Space）和希尔伯特空间（Hilbert Space）的区分与联系的阐述，那种对结构差异的敏锐洞察，是很多初级教材会轻描淡写的。遗憾的是，在涉及更高级的谱理论时，篇幅似乎有些压缩。对于那些对量子力学或更抽象的算子理论有浓厚兴趣的读者，可能需要寻找专门的补充材料。这本书的风格是内敛而深沉的，它要求读者投入时间和精力，去体会每一个数学符号背后的深刻含义，而不是走马观花地掠过。

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虽然基本一点没懂，但是总算是挺过来了……

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写得一般吧，基本上就是知识点的堆积。

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