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出版者:科技文献

作者:胡东华

出品人:

页数:648

译者:

出版时间:2002-5-1

价格:10.00元

装帧:平装(无盘)

isbn号码:9787502335434

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深入浅出：现代概率论与数理统计精要 内容简介 本书聚焦于概率论与数理统计领域的核心概念、基本理论及其在实际问题中的应用。全书结构严谨，逻辑清晰，旨在为高等院校理工科学生、研究生以及需要深入理解统计学原理的研究人员提供一本全面而实用的参考教材。我们摒弃了过多繁复的纯粹理论推导，转而强调对核心思想的理解和对解题技巧的掌握，力求在理论深度与应用广度之间找到最佳平衡点。 第一部分：概率论基础——随机性的量化描述 本部分内容旨在为读者构建现代概率论的坚实基础，从最基本的随机现象描述出发，逐步过渡到严谨的概率空间构建。 第一章：随机事件与古典概率 本章首先介绍随机现象的背景，定义随机试验、样本空间和随机事件。在此基础上，我们引入古典概型的基本原理，侧重于排列组合在概率计算中的应用。重点解析了“等可能性的假设”及其适用范围。此外，通过大量实例阐释了事件的并、交、差运算在概率推理中的实际意义。理解事件之间的相互独立性是本章的难点，我们通过对独立事件与互斥事件的对比分析，帮助读者精确区分两者。 第二章：概率的基本性质与加法/乘法公式 本章深入探讨概率的公理化基础，推导并证明了概率的基本性质，如单调性、有限可加性等。重中之重是条件概率的定义及其应用。通过贝努利试验的框架，详细介绍了乘法公式，并对其在序列事件概率计算中的应用进行了详尽的讲解。贝叶斯公式作为本章的高潮，我们不仅阐述了其公式形式，更着重于其在先验概率与后验概率相互修正中的思维逻辑，这是统计推断的逻辑起点。 第三章：独立性与伯努利试验序列 本章的核心在于“独立性”概念的深化。通过独立事件的乘法法则，我们将分析多个随机试验之间相互不影响的场景。伯努利试验序列的引入，自然地引出了二项分布（Binomial Distribution）。我们详细推导了二项分布的概率质量函数（PMF），并分析了其均值与方差。此外，对泊松分布（Poisson Distribution）的引入，则是作为二项分布在特定极限条件下的近似，这为后续处理稀有事件提供了强有力的工具。 第四章：随机变量与分布函数 本章完成了从事件到随机变量的抽象飞跃。首先明确区分离散型随机变量（DCV）与连续型随机变量（CCV）。对于离散型，重点讲解概率质量函数（PMF）及其性质；对于连续型，则详细介绍了概率密度函数（PDF）的定义、几何意义以及累积分布函数（CDF）的作用。CDF作为连接两种变量类型的桥梁，其性质（如单调不减、极限值等）的掌握至关重要。 第五章：重要连续型分布 本章专注于描述自然界和工程实践中常见的连续分布。均匀分布（Uniform Distribution）作为最基础的连续分布，用于模拟等概率区间。指数分布（Exponential Distribution）的无后效性（Memoryless Property）是其核心特征，在可靠性理论中有重要应用。最后，对正态分布（Normal Distribution）进行了深度剖析，强调了其在中心极限定理中的核心地位，并介绍了标准正态分布及其Z-表的使用方法。 第六章：多维随机变量与联合分布 本章将视角扩展到多个随机变量共存的场景。详细介绍了联合概率分布函数（Joint CDF）以及联合概率质量/密度函数。重点讲解了边缘分布的计算方法，以及如何通过联合分布函数来判定随机变量之间的相互独立性。协方差（Covariance）和相关系数（Correlation Coefficient）的引入，量化了随机变量之间的线性关系强度，区分了独立性与不相关性的区别。 第七章：随机变量的变换与期望的性质 本章探讨随机变量函数的分布问题。对于离散变量的函数，通常采用逐点求和；对于连续变量的函数，则需要使用雅可比（Jacobian）变换等方法来求解新的密度函数。此外，本章系统总结了期望（Expectation）和方差（Variance）的线性性质，特别是对于多个随机变量之和的期望，为后续的统计估计奠定了代数基础。 第二部分：数理统计推断——从数据到结论 本部分将概率论的理论知识应用于实际数据的分析和推断，这是数理统计的核心价值所在。 第八章：大数定律与中心极限定理 统计推断的理论基石在于大数定律和中心极限定理（CLT）。本章首先阐述了切比雪夫不等式，并基于此推导了强大数定律和弱大数定律，解释了样本均值是如何依概率收敛于总体均值的。随后，对CLT的直观理解和严格表述进行了详细阐述，说明了为什么在充分大样本下，样本总和或均值近似服从正态分布，这是进行参数估计和假设检验的理论保障。 第九章：统计量与抽样分布 本章引入了统计量（Statistic）的概念，将其定义为样本的函数。重点分析了样本均值 $ar{X}$ 和样本方差 $S^2$ 的性质。在此基础上，详细介绍了卡方分布 ($chi^2$)、t分布和F分布这三种在推断统计中至关重要的抽样分布的来源、定义及其在不同自由度下的曲线特征。 第十章：参数估计 参数估计是统计推断的第一步。本章分为点估计和区间估计两大部分。 1. 点估计： 详细介绍了矩估计法（Method of Moments, MM）和极大似然估计法（Maximum Likelihood Estimation, MLE）。MLE部分将推导二维正态分布参数的MLE，并分析其优良性（无偏性、有效性、一致性）。 2. 区间估计： 侧重于如何根据估计量构造置信区间。分别针对总体均值（大/小样本）、总体方差以及总体比例的置信区间的构建，详细展示了如何利用前述的 $chi^2$, $t$, $Z$ 分布来确定置信水平。 第十一章：假设检验基础 本章系统介绍了假设检验的基本框架，包括原假设 ($H_0$) 与备择假设 ($H_1$) 的设定、显著性水平 ($alpha$) 的选择、检验统计量的构建，以及犯第一类错误与第二类错误的权衡。本章重点讲解了基于Z检验和t检验的均值检验，以及基于 $chi^2$ 分布的方差检验。 第十二章：计数数据的拟合优度检验 本章将统计推断应用于分类数据分析。详细讲解了卡方拟合优度检验（Goodness-of-Fit Test），用于判断样本数据是否符合预期的理论分布（如二项分布、泊松分布或均匀分布）。随后，深入分析了列联表分析，包括对两个分类变量之间是否存在相关性的独立性检验。 第十三章：方差分析（ANOVA）简介 本章提供了一种对多个样本均值进行比较的系统方法。通过单因素方差分析（One-Way ANOVA），阐明了如何分解总变异为组间变异和组内变异。重点讲解了F检验在判断各组均值之间是否存在显著差异时的应用原理，为深入的回归分析奠定了多变量比较的初步认知。 本书的编写风格注重逻辑链条的完整性，通过大量的经典例题和计算步骤的示范，确保读者能够从“知其然”上升到“知其所以然”的层次，为后续学习更高级的统计建模（如回归分析、时间序列分析）打下坚实的基础。

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这部书的装帧设计，坦率地说，初见时并无太多惊艳之处，甚至带着一种老派的学院气息，封面色彩沉稳，字体选择也偏向于传统，初看之下，很容易让人联想到那些年代久远的经典教材。然而，正是这种朴实无华的风格，反而酝酿出一种沉甸甸的可靠感。内页的纸张质地处理得相当到位，纸张的白度适中，既保证了印刷的清晰度，又不会因为过于雪白而引起长时间阅读后的视觉疲劳。装订工艺也经得起推敲，书脊的平整度和翻页时的手感都表明了出版方在基础制作上的用心。我尤其欣赏它在细节上的考量，比如章节标题和公式编号的排版，那种严谨的层级感，让人在需要快速定位复杂概念时能迅速找到方向。它没有追求花哨的视觉效果，而是将所有的精力都投入到内容的呈现上，这种“重实质不重外表”的姿态，对于一本严肃的工具书而言，无疑是一种值得称赞的职业精神。尽管如此，如果能在扉页或前言部分增加一个简短的、关于本书核心理念的导读，或许能帮助初次接触的读者更快地建立起阅读的信心和方向感，这算是一个小小的期望，但瑕不掩瑜，整体的物理呈现效果是令人满意的。

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从整体的使用体验来看，这本书在“自洽性”和“知识覆盖的完整性”方面做得极为出色，几乎形成了一个封闭的、高度自洽的学习系统。我发现，当你跟随本书的引导学习某个特定主题时，你很少需要频繁地跳出去查阅其他资料来补充基础定义或某个推导环节的上下文。书中对关键公式的推导过程进行了彻底的、无遗漏的展示，这保证了读者在构建知识体系时不会留下任何薄弱的环节。特别是在处理那些横跨不同数学分支的综合性问题时，作者展现了卓越的整合能力，他们能够巧妙地在看似分离的领域之间架起桥梁，揭示隐藏在背后的统一结构。这种高度的系统性和完备性，意味着这本书不仅是一本可以用来“刷题”的工具，更是一部可以用来系统性巩固和提升整个高等数学理解水平的“百科全书”。它强迫读者去理解知识的全貌，而不是仅仅掌握孤立的技巧，这对于未来向更深层次的数学研究迈进的读者来说，是提供了一种无价的视野和扎实的底层基础。

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我花了相当长的时间研究这本书的逻辑脉络和章节编排，发现其内部结构的设计简直就是一场精妙的数学思维导览。它并非简单地将知识点罗列出来，而是遵循着一种由浅入深、层层递进的教学哲学。开篇部分对基础概念的回顾和铺垫做到了恰到好处的衔接，它懂得如何巧妙地将高阶内容与读者已有的知识储备联系起来，避免了突兀的跳跃感。尤其是在处理那些相互关联性极强的核心定理时，作者展现了惊人的洞察力，他们没有将证明过程写成一堵密不透风的墙，而是像剥洋葱一样，一步步展示推理的每一步是如何自然而然地从前置条件中生长出来的。这种结构上的清晰度，使得原本晦涩难懂的抽象概念变得触手可及。我观察到，某些章节的过渡部分，作者会特意插入一些“思想启示”或者“历史背景”的小注脚，这些看似枝节的内容，实则极大地丰富了对该理论体系的理解深度，让学习过程不再枯燥，而是充满探索的乐趣。可以说，这本书的章节安排，本身就是一门关于如何高效学习高等数学的隐形课程。

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关于书中例题的选取和解析深度，这本书展现出了远超一般参考书的专业水准。它收录的例题并非仅仅是课本习题的简单重复或换汤不换药的变种，而是精心挑选出来的、能够代表特定知识点核心难点和常见思维误区的典范。例如，在涉及多变量微积分的部分，它提供了一些涉及高维空间几何直觉的构造性例子，这些例子在其他资料中是很难觅得的。更令人称道的是，解析部分的处理方式，它几乎是在进行一场透明化的思维演练。作者不仅给出了最终答案，更重要的是，他们详尽地剖析了抵达这个答案的“路径选择”过程。对于那些涉及到多重判定或需要复杂变量替换的题目，解析中会清晰地列出几种可能的尝试方向，并评价每种方向的优劣，这对于培养读者的数学直觉和解决问题的策略思维具有不可估量的价值。它教会你的不是如何解开一个特定的锁，而是如何识别不同类型的锁，并思考应该使用哪种工具去尝试开启。这种对解题思维的深挖，是区分一本优秀教辅和一本平庸习题集的关键所在。

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这本书的语言风格是极其鲜明且具有高度辨识度的，它巧妙地在学术的严谨性与教学的亲和力之间找到了一个绝佳的平衡点。在阐述那些依赖于精确定义的术语时，它毫不含糊，措辞精准到几乎可以作为官方参考标准，每一个限定词、每一个量词都经过了审慎的斟酌，这对于需要准确把握数学语言的读者来说至关重要。然而，一旦进入到对复杂推导过程的解释环节，它的笔锋便立刻柔和下来。作者似乎有一种天赋，能够将那些充斥着希腊字母和复杂符号的运算，用一种近乎口语化的、充满逻辑引导的叙述方式重新包装。我发现，那些我以往需要反复阅读好几遍才能勉强领会的证明步骤，在这本书的阐述下，清晰度大大提高，仿佛有一位耐心的导师站在身边，边写边为你指点迷津：“请注意这里，我们下一步的想法是……” 这种叙事策略极大地降低了阅读的认知负荷。它没有使用那些故作高深的晦涩词汇来炫耀学识，而是专注于如何用最简洁、最清晰的文字来传递数学的“美感”和“力量”，这使得阅读体验成了一种享受，而非单纯的苦役。

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