具体描述
Presents fundamental mathematics, integers and real numbers, in a way that asks for student participation, while teaching how mathematics is done
Provides students with methods and ideas they can use in future courses
Primarily for: undergraduates who have studied calculus or linear algebra; mathematics teachers and teachers-in-training; scientists and social scientists who want to strengthen their command of mathematical methods
Extra topics in appendices give instructor flexibility
The Art of Proof is designed for a one-semester or two-quarter course. A typical student will have studied calculus (perhaps also linear algebra) with reasonable success. With an artful mixture of chatty style and interesting examples, the student's previous intuitive knowledge is placed on solid intellectual ground. The topics covered include: integers, induction, algorithms, real numbers, rational numbers, modular arithmetic, limits, and uncountable sets. Methods, such as axiom, theorem and proof, are taught while discussing the mathematics rather than in abstract isolation. Some of the proofs are presented in detail, while others (some with hints) may be assigned to the student or presented by the instructor. The authors recommend that the two parts of the book -- Discrete and Continuous -- be given equal attention. The book ends with short essays on further topics suitable for seminar-style presentation by small teams of students, either in class or in a mathematics club setting. These include: continuity, cryptography, groups, complex numbers, ordinal number, and generating functions.
作者简介
Matthias Beck received his initial training in mathematics in Würzburg, Germany, received his Ph.D. in mathematics from Temple University, and is now associate professor of mathematics at San Francisco State University. He is the author of a previously published Springer book, Computing the Continuous Discretely (with Sinai Robins).
Ross Geoghegan received his initial training in mathematics in Dublin, Ireland, received his Ph.D. in mathematics from Cornell University, and is now professor of mathematics at the State University of New York at Binghamton. He is the author of a previously published Springer book, Topological Methods in Group Theory.
目录信息
Notes for the Student.- Notes for Instructors.
Part I: The Discrete.
1 Integers.
2 Natural Numbers and Induction.
3 Some Points of Logic.
4 Recursion.
5 Underlying Notions in Set Theory.
6 Equivalence Relations and Modular Arithmetic.
7 Arithmetic in Base Ten.
Part II: The Continuous.
8 Real Numbers.
9 Embedding Z in R.
10 Limits and Other Consequences of Completeness.
11 Rational and Irrational Numbers.
12 Decimal Expansions.
13 Cardinality.
14 Final Remarks.
Further Topics.
A Continuity and Uniform Continuity.
B Public-Key Cryptography.
C Complex Numbers.
D Groups and Graphs.
E Generating Functions.
F Cardinal Number and Ordinal Number.
G Remarks on Euclidean Geometry.
List of Symbols.
Index.
· · · · · · (收起)
读后感
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用户评价
这本书的语言风格，说实话，初读时略显晦涩，但一旦适应了它的节奏，那种精准到毫厘的表达便展现出无与伦比的力量。作者在构建每一个论点时，那种步步为营、滴水不漏的推进方式，极大地挑战了我原有的思维定势。它不是那种倾向于用大量比喻或日常类比来“软化”复杂概念的科普读物，而是直截了当地抛出最核心的逻辑框架，然后围绕这个框架进行密集的、多角度的论证和深化。我记得有一段关于某个基本公理的阐述，作者用了整整三页的篇幅，从不同的逻辑起点进行反向推导和相互印证，那种层层剥开、直至洞察本质的叙事策略，简直令人拍案叫绝。这种文字的密度，要求读者必须时刻保持高度的警觉性，任何一个分心的瞬间都可能导致后续链条的断裂。但正是这种“高压”的阅读环境，迫使我的大脑以一种前所未有的效率运转起来，仿佛在进行一场高强度的智力训练。它更像是一位经验丰富的导师，不提供拐杖，只指引方向，让你必须亲手攀爬才能体会到山顶的开阔。
评分关于这本书在学术界的影响力，虽然我无法直接衡量，但可以从它所引用的参考文献和附录中窥见一斑。那些被引用的经典著作本身就构筑了一道坚实的学术长城，而这本书，则像是一座精心设计的桥梁，将这些分散的宏伟建筑连接起来，形成一个可以被后学者有效探索的知识网络。它没有选择炫耀性的去罗列最新的研究成果，而是花费大量篇幅去梳理和归纳那些奠定基础的理论脉络。在我看来，这是一种非常负责任的学术态度——先确保学习者掌握了“如何建造”的蓝图，而不是仅仅学会了“如何装饰”。对于任何想要在理论领域深耕的人来说，这本书就像是一份不可或缺的“工具箱地图”，它告诉你每件工具在哪里，以及它们最核心的用途是什么，尽管它不负责教你使用每件工具的具体技巧，但它提供了所有工具的完整架构视图。它的价值在于奠基，而非追新。
评分这本书对我个人的学习方法论产生了潜移默化的影响。在此之前，我习惯于在学习新知识时，优先寻找“应用场景”或“实用价值”，但这本书让我重新审视了“理解本身”的价值。它不承诺能让你马上解决某个实际问题，但它保证能让你在逻辑思维的底层架构上得到一次彻底的重塑。阅读它就像是在进行一次系统的“逻辑排毒”，滤清了那些在日常沟通中习以为常却在严谨推理中站不住脚的模糊概念。我发现自己看问题的角度变得更加审慎，不再轻易接受表象，而是习惯性地去追问“证据链条的起点在哪里？”、“这个推论是否能经受住最严苛的反驳？”。这种思维习惯的转变，是任何单一技术手册都无法给予的。它提供的是一种思维的“操作系统升级”，而非仅仅是某个应用程序的安装包。
评分在结构编排上，这本书体现出一种超越时间限制的永恒性。它似乎有意避开了当前最时髦、最前沿的研究热点，而是将重心放在了那些经过历史检验、构建了整个学科基石的经典范式上。这种“返璞归真”的选择，使得这本书的价值不易贬值。我尤其欣赏它对“证明”这一行为本身的哲学探讨。它不仅仅是在展示如何得到某个结论，更是在深刻剖析“为什么这样的推理方式才算是有效和可靠”。其中关于归纳法与演绎法边界的讨论，激发了我对科学哲学更深层次的思考。它没有提供速成的捷径，而是慢条斯理地铺陈了不同历史时期数学家们在面对同一类问题时所经历的思想转变过程。阅读过程中，我仿佛能听到那些伟大思想家们在羊皮纸上沙沙作响的笔触声，他们对严密性的执着，通过文字的传递，感染着当代的我。这种对基础的坚守，让全书散发出一种沉静而有力的定力。
评分这本书的封面设计初见端倪，那种沉稳的墨绿色调搭配烫金的字体，立刻给人一种严肃而经典的学术气息。我拿到手时，首先被它的装帧质量所吸引，厚实的纸张和精美的印刷工艺，让人感觉这不仅仅是一本书，更像是一件值得珍藏的工艺品。翻开扉页，扉页上那句引人深思的拉丁文引言，虽然我没有完全弄懂其深层含义，但它营造出的那种历史的厚重感和智慧的传承感，无疑为接下来的阅读设定了极高的期待值。内页的排版布局也十分讲究，清晰的章节划分和适中的行间距，即便是面对那些密密麻麻的数学符号和定理推导，也能保持相对舒适的阅读体验。我特别留意了字体选择，那种衬线体的运用，在很大程度上减弱了纯粹符号堆砌带来的枯燥感，反而增添了一种古典的美学韵味。它不像那些追求极简风格的现代教材那样冷峻，反而带着一种对知识体系的敬畏之心，让人在拿起它的时候，就明白自己将要进入的，是一个需要耐心和专注的知识殿堂。这本书的物理形态本身，就如同它所探讨的主题一样，充满了结构的美感与严谨的逻辑支撑。
评分公理化证明 贯串整本书 还是得学数分 集合论啊
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