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出版者:World Scientific Pub Co Inc

作者:Wu Yi Hsiang

出品人:

页数:200

译者:

出版时间:1998-9-1

价格:USD 28.00

装帧:Paperback

isbn号码:9789810235291

丛书系列:

图书标签:

• 数学
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• Representation Theory
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广阔数学天地中的璀璨明珠：李群概览 在现代数学的宏伟图景中，李群（Lie Groups）无疑是一颗耀眼的明珠，以其深刻的结构洞察力，连接着代数、几何、分析乃至物理学的各个领域。本书《Lectures on Lie Groups》并非一本包罗万象的百科全书，而是一次精心设计的探索之旅，旨在带领读者深入浅出地领略李群这一数学对象的精髓与魅力。本书并非仅仅罗列定义和定理，而是力求通过清晰的阐释、巧妙的示例以及富有启发性的论证，为读者构建起对李群概念的直观理解和严谨把握。 本书的开篇，我们将从李群最基础的定义出发，逐步建立起对这一概念的初步认识。李群，顾名思义，它既是一个群（Group），又是一个光滑的流形（Smooth Manifold），并且群的运算（乘法和求逆）在这光滑结构上是连续且可微的。这种双重属性赋予了李群无与伦比的表达能力，使其成为描述连续对称性的强大工具。我们将详细解析“群”的代数结构，包括封闭性、结合律、单位元和逆元的存在性，并回顾其在不同数学分支中的应用。同时，我们将深入探讨“光滑流形”的概念，从欧几里得空间出发，理解局部坐标系、切空间以及光滑映射等基本概念，为后续理解李群上的微分结构打下坚实基础。 一旦我们对这两个基本概念有了扎实的理解，便可以自然地聚焦于李群本身的结构。本书将系统地介绍李群的几种典型构造方式。例如，我们将会探讨矩阵李群，这是李群最直观且应用最广泛的一类。从一般的可逆矩阵群 GL(n, R) 或 GL(n, C)，到更特殊的正交群 O(n)、酉群 U(n)、特殊线性群 SL(n, R) 或 SL(n, C) 以及特殊酉群 SU(n)，这些矩阵李群在几何、力学以及量子力学等领域扮演着核心角色。本书将通过具体的例子，展示这些矩阵群的群结构和流形结构是如何和谐统一的。 进一步地，本书将深入到李群的核心——李代数（Lie Algebra）。每个李群都对应着一个唯一的李代数，而李代数则以一种线性化的方式捕捉了李群在单位元附近的局部结构。我们将仔细介绍李代数的定义，特别是其上的李括号（Lie Bracket），并探讨李括号的性质，如反对称性、双线性性和雅可比恒等式。本书将重点关注李群与其李代数之间的密切联系，包括指数映射（Exponential Map）这一关键工具，它建立了李代数与李群局部之间的桥梁。指数映射不仅是理论上的重要工具，在实际计算和理解李群的结构时也发挥着不可替代的作用。 本书还将引导读者探索不同类型的李群及其李代数的具体例子。我们将详细分析经典的李代数，如 A 型、B 型、C 型和 D 型的简单李代数，它们构成了所有半单李代数的基本骨架。本书将通过分解、根系（Root System）和威伊群（Weyl Group）等概念，揭示这些简单李代数内部深刻的对称性和结构。对根系的深入理解，将为我们理解李群的表示论（Representation Theory）提供坚实的基础。 表示论是理解李群及其应用的重中之重。本书将专门辟出章节，系统介绍李群的表示理论。我们将定义李群表示、李代数表示，并探讨它们之间的关系。重点将放在有限维表示上，通过研究李群的李代数，我们可以有效地分类其有限维表示。本书将引入不可约表示（Irreducible Representations）的概念，并展示如何通过权（Weights）和链（Chains）来刻画和分类这些不可约表示。我们将利用根系理论来理解代数李代数的不可约表示，并强调其在量子力学、粒子物理等领域的关键作用，例如描述粒子的自旋和对称性。 此外，本书还将涉及一些更高级的主题，为读者打开进一步探索的道路。例如，我们将探讨李群的李群的子群（Subgroups），特别是那些具有特殊结构和性质的李子群，如共轭子群（Conjugate Subgroups）和极大李子群（Maximal Lie Subgroups）。这些子群的研究对于理解李群的整体结构以及其在几何和对称性分析中的作用至关重要。 本书还将简要介绍李群在几何中的应用，例如在微分几何中，李群可以作为模型的对称性群，刻画曲面的度量或向量丛的结构。我们将讨论李群在主丛（Principal Bundles）和纤维丛（Fiber Bundles）中的作用，以及它们如何与联络（Connections）等概念相结合。 虽然本书侧重于理论的严谨性，但同样重视概念的直观理解。我们将通过大量的例子，包括抽象的代数例子和具体的几何例子，来阐释抽象的定义和定理。从简单的旋转群 SO(2) 到复杂的李群 G2，我们将力求通过不同层面的分析，让读者领略李群的普适性和深刻性。 总而言之，《Lectures on Lie Groups》是一本旨在为读者提供扎实李群理论基础的著作。它不仅涵盖了李群的基本定义、李代数的概念、指数映射、根系分析，还深入探讨了表示论等关键主题。本书力求以清晰的逻辑、严谨的论证和丰富的示例，引导读者穿越李群的数学迷宫，最终抵达理解其深邃结构和广泛应用的彼岸。它是一扇窗，透过这扇窗，读者将看到数学中那片壮丽而充满活力的李群天地。

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这本书的排版和符号系统给我留下了深刻的印象，它无疑是一部制作精良的学术著作。然而，正因为其深度和广度，我个人觉得它更像是一本参考手册，而非一本适合细读的教材。书中涉及到的所有经典结论几乎都被囊括其中，引用也非常详尽，似乎作者的目标是成为一个关于李群的“百科全书式”的总结。但问题在于，在面对如此密集的公式和定理时，读者很容易迷失方向，找不到“主线”。我花了好大力气才弄明白作者是如何处理非紧凑群的情况的，因为上下文的切换过于频繁，涉及到的拓扑工具从紧凑性假设到完备性假设的转换，没有足够的过渡性文字来提醒读者这些假设带来的关键性差异。一个好的数学书，应该像一位优秀的向导，在你踏入新的数学领地时为你指明方向，告诉你哪里是悬崖，哪里是坦途。而这本书，则更像是一份标记了所有已知地标的精确地图，需要读者自己去规划路线。对于希望快速掌握李群核心概念的人来说，这可能不是最佳选择。

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这部书的封面设计得颇为古典，深蓝色的封皮上用烫金字体印着书名，透着一股严谨的学术气息。拿到手里沉甸甸的，光是重量就让人感觉内容的分量十足。我本是希望找一本能系统梳理群论基础，尤其是在几何和拓扑背景下如何理解李群的入门读物。翻开前几页，发现作者似乎没有从最基础的代数概念讲起，而是直接切入了更抽象的流形和纤维丛的讨论，这对于我这样数学背景稍弱的读者来说，上手难度相当陡峭。感觉这本书更像是写给那些已经对微分几何和拓扑学有相当把握的同行人士看的，它期望读者能自然而然地将这些概念融会贯通，从而直接理解李群的构造。例如，书中对“齐性空间”的描述，虽然数学上精确无误，但缺乏足够的直观例子来帮助理解这些空间是如何在李群作用下形成的。如果作者能增加一些关于李群在物理学中（比如对称性）应用的实例，或者在讲解核心定理时提供更细致的推导步骤，哪怕只是对关键步骤给出几何直觉上的解释，相信会大大降低阅读的门槛，让更多渴望了解李群的初学者也能从中受益良多。总而言之，它像是一篇为专家准备的深度讲义，而非面向广泛读者的教科书。

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这本书的写作风格异常的简洁和精确，每一个句子都似乎经过了反复的打磨，力求信息密度最大化。在某些章节，比如关于表示论的部分，作者对 Schur 引理的证明简直是教科书级别的典范——逻辑清晰，毫无冗余。然而，正是这种极端的简洁，在处理一些需要细致辨析的概念时，反而成了障碍。例如，区分“李群的拓扑性质如何影响其复化李代数的结构”时，书中对紧致性在伴随表示上的作用分析得过于简略，仅用了一小段话带过，但这一小段话背后涉及到的分析工具和拓扑工具的相互作用非常微妙。我希望作者能更耐心地阐述为什么在某些情况下必须依赖于紧致性才能保证某些分解的成立，而不是仅仅陈述结果。总而言之，它是一本值得拥有并时不时翻阅来核对概念的权威著作，但它似乎不鼓励读者去犯错、去探索弯路——而数学学习的精髓往往就在于那些被修正的错误和绕过的弯路之中。

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我对这本书的结构感到有些困惑，它似乎更注重于构建一个庞大而严密的理论框架，而不是引导读者逐步建立对李群的直观感受。章节之间的衔接略显生硬，很多重要的定义和引理被放在了比较靠后的部分才被充分解释，这使得在阅读早期章节时，读者必须不断地在不同部分之间来回翻阅，试图拼凑出完整的理解蓝图。例如，在介绍“李代数”的部分，作者迅速地从抽象的向量空间过渡到了其伴随表示和张量积，缺乏对这些操作在李群结构下具体含义的深入探讨。我期待能看到更多关于基础李群，如 $SU(2)$ 或 $GL(n, mathbb{R})$ 的具体例子是如何在这些抽象工具下被分析和理解的。这样的具体案例分析，往往是连接抽象理论与实际应用的桥梁。目前来看，这本书的叙述风格非常“欧式”，即强调逻辑的绝对连贯性，却牺牲了教学上的流畅性。如果作者能在每个主要概念介绍后，紧接着用一两个详尽的例子来固化读者的理解，这本书的实用价值和可读性将会得到极大的提升。

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我尝试将这本书用于自学，但很快发现它对读者的预备知识要求极高。书中对“根空间分解”的阐述非常迅速，似乎默认读者已经熟悉了半单李代数的所有性质。在引入Cartan子代和Weyl群概念时，作者几乎没有提及如何从具体的矩阵群中“提取”出这些结构，这使得初学者很难将抽象的定义与他们可能在其他地方接触到的具体矩阵联系起来。我个人更偏爱那些先通过具体的例子（比如 $SO(3)$ 的李代数 $mathfrak{so}(3)$）来建立起对 Cartan 子代、正交性和根向量的直观认识，然后再将这些经验推广到一般情况的教学方法。这本书显然采用了相反的策略，即先建立最一般的理论框架，再期待读者自己去实例化。这种方式的好处是理论的普适性极强，但对于吸收知识的效率而言，我认为是打折扣的。对于一个资深研究者来说，这也许是精炼和高效的；但对于一个想深入理解其几何内涵的学习者，则略显冰冷和疏离。

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和其中文版本区别很大，中文的讲述版本，而英文的则是标准课本

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先把这一本结束掉

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