Gauge Theory and Symplectic Geometry pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Hurtubise, Jacques; LaLonde, Francois; LaLonde, Fran Ois

出品人:

页数:236

译者:

出版时间:2010-12

价格:$ 258.77

装帧:

isbn号码:9789048148301

丛书系列:

图书标签:

• 辛几何
• 数学
• Gauge Theory
• Symplectic Geometry
• Differential Geometry
• Topology
• Mathematical Physics
• Geometry and Topology
• Physics
• Mathematics
• Lie Groups
• Manifolds

《计量理论与辛几何》 这是一部深入探讨数学物理交叉领域——计量理论与辛几何——的著作。本书旨在为读者提供一个严谨而全面的框架，理解这两个强大数学工具如何相互启发、相互支撑，并在解决复杂物理问题中发挥核心作用。本书的内容围绕着这两个核心概念展开，既阐述其各自的理论精髓，更着重于它们之间深刻的联系以及由此产生的丰富应用。 第一部分：计量理论的基石 本部分将首先为读者打下坚实的计量理论基础。我们将从介绍群论的基本概念入手，例如群、子群、陪集、正规子群、同态与同构等，并强调这些概念在理解对称性中的重要性。接着，我们将转向李群和李代数，这是描述连续对称性的关键工具。我们将详细探讨李群的定义、性质，以及它们与李代数之间的对应关系（指数映射）。李代数的结构，如交换子、李括号，以及李代数的重要分类（如阿贝尔李代数、半单李代数、单李代数）将得到详尽的讲解。 在此基础上，我们将引入主丛的概念，这是描述全局几何结构和对称性展开的关键。我们将精确定义主丛，包括纤维丛、截面、联络等，并解释它们如何编码了空间的局部信息以及对称性的传递方式。联络在黎曼几何和微分几何中扮演着至关重要的角色，它允许我们在不同切空间之间进行平行移动，从而定义协变导数。我们将探讨不同的联络类型，例如Levi-Civita联络，以及它们与曲率张量的关系。 紧接着，本书将深入到微分流形的核心概念。我们将从拓扑空间的概念出发，逐渐过渡到流形的定义：局部欧几里得空间。我们将详细介绍流形的构造，如图册、坐标系、可微结构，以及张量场、微分形式等微分几何的基本对象。切空间、余切空间的概念及其代数结构将得到充分阐述。外微分、内微分、李导数等操作将在微分形式的框架下得到精确的定义和分析。我们将深入讨论积分流形、Frobenius定理，这对于理解微分方程组的可积性至关重要。 然后，我们将聚焦于纤维丛和向量丛，它们是描述物理场和几何结构的重要工具。向量丛作为纤维丛的一个特例，在物理学中扮演着不可或缺的角色，例如切丛、余切丛、张量丛等。我们将讨论向量丛上的联络，以及在向量丛上定义的协变导数，这对于理解规范场论中的场方程至关重要。我们将深入探讨特征示性类，特别是Chern类和Pontryagin类，它们是重要的拓扑不变量，能够捕捉到流形和向量丛的全局几何性质。 在计量理论部分，我们将着重介绍规范场论的思想。我们将从杨-米尔斯理论的建立出发，解释规范对称性在基本粒子物理中的核心地位。我们将讨论规范联络的定义，以及在纤维丛上作用的规范场。场强张量的定义、协变导数在规范场论中的应用，以及Yang-Mills方程的推导将是本部分的重要内容。我们还将介绍一些经典的规范理论模型，如U(1)电磁理论和SU(2)弱相互作用理论。 第二部分：辛几何的语言 本部分将转向辛几何，它为我们提供了一种描述和分析保守系统以及相空间的强大框架。我们将从简单的例子开始，逐步引入辛流形的概念。我们将定义辛形式，并探讨它的性质，例如非退化性和闭性。辛流形上的一般结构，例如辛向量场、Hamilton函数以及Hamilton方程的推导将是核心内容。我们将详细讨论泊松括号的定义及其与辛向量场之间的深刻联系。 辛几何在力学中有着极其重要的应用，我们将深入探讨Hamilton力学和Lagrange力学之间的关系，以及如何用辛几何的语言来重新审视这些力学框架。相空间的概念将得到强调，以及辛结构如何保证了系统相空间的体积守恒（Liouville定理）。我们将讨论辛映射，并探索其保持辛结构的关键性质。 我们将引入李群作用在辛流形上的概念，并讨论其产生的对称性。对于辛流形上的李群作用，我们将会介绍动量映射，它将李代数中的生成元与辛流形上的辛向量场联系起来，并且是辛流形上对称性分析的关键工具。动量映射在守恒量的确定中起着至关重要的作用，例如能量、动量等。 本书还将深入探讨辛流形上的某些特殊结构。我们将介绍正则辛流形，以及它们在经典力学和量子力学之间的联系中的作用。泊松流形和泊松代数将作为更一般的框架被引入，展示辛结构在更广泛的代数结构中的体现。 第三部分：计量理论与辛几何的交汇 本部分是本书的核心，我们将重点展示计量理论和辛几何如何相互融合，从而产生新的理论工具和解决物理问题的独特视角。我们将探讨在辛流形上定义的计量（即黎曼度量）以及它们与辛结构之间的关系。 我们将详细分析在辛流形上度量与辛形式兼容时的特殊情况，即Kähler流形。Kähler流形结合了辛结构和复结构，在数学物理的许多领域，尤其是在弦理论和量子场论中，扮演着至关重要的角色。我们将探讨Kähler联络、Kähler形式和Kähler-Einstein度量等概念。 我们还将深入研究规范场论中的辛几何应用。例如，在研究量子规范理论时，量子化过程通常需要在相空间中进行，而辛几何正是描述相空间的天然语言。路径积分的引入将联系到辛流形上的度量和辛结构，例如在经典极限下的行为。 此外，我们将探讨辛流形在研究可积系统中的作用，以及如何利用计量理论的工具来分析这些系统的动力学。例如，在研究量子可积系统时，辛结构的对称性往往与量子数和守恒量直接相关。 本书还将涉及一些前沿的研究方向，例如： 量子群与非交换几何： 探讨量子群作为李群的量子类比，以及非交换几何如何提供一种在“非交换空间”上进行几何分析的框架，这在量子信息和量子计算等领域有潜在应用。 代数几何在计量理论中的应用： 探索代数几何的工具（如代数簇、概形）如何被用来理解和构建更复杂的计量理论模型。 弦理论中的辛几何： 详细阐述弦理论中的D-膜、镜像对称性等概念如何与辛几何紧密联系。 量子场论中的几何化方法： 介绍如何使用微分几何和辛几何的工具来理解量子场论的重整化群流、拓扑性质以及相结构。 规范场论的几何量化： 探讨如何利用Boh-Moyal量子化等方法，在辛流形上进行系统的量子化。 本书的最后，将通过具体的物理模型和例子，来展示计量理论和辛几何的强大威力。我们将选取一些在理论物理研究中具有代表性的问题，例如： 黑洞物理中的度量和辛结构： 分析黑洞视界附近的度量性质，以及黑洞熵的辛几何解释。 量子引力理论的探索： 介绍辛几何在尝试构建量子引力理论中的作用，例如在环量子引力等框架下的应用。 凝聚态物理中的拓扑相： 探讨辛几何如何帮助理解和分类凝聚态物理中的拓扑相，例如量子霍尔效应。 高能物理中的规范场构型： 分析孤立子、瞬子等规范场构型在辛流形上的几何性质。 《计量理论与辛几何》旨在成为一本不可或缺的参考书，它将为物理学家、数学家以及对这些交叉领域感兴趣的研究生和高年级本科生提供一个深入理解和探索这些高级主题的坚实平台。本书的逻辑清晰，从基础概念到高级应用层层递进，注重理论的严谨性和应用的普适性。通过阅读本书，读者将能够掌握一套强大的数学工具，为进一步的理论研究和物理问题解决打下坚实基础。

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这本书的排版和符号使用都体现了极高的专业水准，这对于阅读复杂的数学文本至关重要。清晰的符号约定和一致的术语是保证有效沟通的基础，而这本书在这方面做得无可挑剔。我特别留意了作者如何处理那些需要大量预备知识的证明，他们没有将所有基础内容塞入正文，而是非常得体地引用了经典文献，同时在需要时也给出了核心引理的简要回顾，确保了叙述的连贯性。在阅读到关于某些空间范畴的构造部分时，我清晰地感受到作者对所讨论对象的内在结构有着深刻的洞察力，这种洞察力通过精准的数学语言得以完美传达。它要求读者保持高度的专注，因为任何一个遗漏都可能导致对后续复杂论证的误解，但正是这种挑战性，使得每一次攻克难关后的满足感都格外强烈。它无疑是一部需要反复研读的经典之作。

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坦率地说，这本书的难度设置是偏高的，它面向的是已经具备扎实分析和代数基础的读者。它不是一本入门读物，而更像是一部精炼的、直击核心问题的研究专著。书中对某些关键定理的证明，常常采用一种高度浓缩的“几何证明”风格，这种风格极具美感，但要求读者必须对底层公理体系有非常深入的理解才能完全领会其精髓。我尤其赞赏作者在讨论极限过程时，对于非标准分析工具的谨慎引入和精确界定，这使得论证的严密性更上一层楼。与市面上其他同类书籍相比，这部作品在处理某些边缘性、尚未完全统一的理论观点时，表现出了罕见的批判性和审慎态度。它不是急于给出一个“终极答案”，而是引导读者思考当前理论的局限性，激发进一步探索的欲望，无疑是该领域内一部重量级的、具有长期参考价值的学术精品。

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拿起这本书，我立刻感受到了一种强烈的、试图打破学科壁垒的野心。作者在论述过程中，不断地在纯粹的数学语言和更具操作性的分析工具之间进行切换，这种灵活的处理方式极大地丰富了读者的理解层次。书中对于某些复杂积分的收敛性分析部分，处理得非常稳健且全面，没有留下任何可疑的跳跃点。此外，章节间的过渡设计得极其流畅，仿佛在阅读一部连贯的史诗，而不是一系列孤立的定理证明。其中对特定情形下对称性如何决定某些全局性质的探讨，尤其引人入胜，它展示了高度的抽象如何服务于对具体问题的精确解答。对于那些需要将理论应用于实际问题的研究者而言，这本书提供的概念框架具有极强的实用价值，它不仅仅告诉你“是什么”，更细致地解释了“为什么是这样”以及“如何用它”。

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我发现这本书的叙述方式非常具有启发性，它不像某些教科书那样仅仅是公式的堆砌，而更像是一场精心编排的数学对话。作者似乎总是站在读者的角度思考，预判可能出现的困惑，并提前给出必要的铺垫。特别是关于某些经典几何结构如何自然地嵌入到更宏大的框架中时，那种“豁然开朗”的感觉频繁出现。这种写作风格的优点在于，它培养了读者的主动思考能力，而不是被动接受。书中对例子和反例的选用也极为精妙，它们不是随意的点缀，而是用来巩固核心概念的关键支点。我特别欣赏其中关于某个特定代数结构如何与某个拓扑空间上的横截面产生深刻联系的章节，这种跨领域的联结令人振奋。总的来说，这本书为严肃的数学研究者提供了一个坚实的理论基石，但其清晰的逻辑脉络也使得有一定背景知识的爱好者能够从中获益良多，它成功地平衡了深度和可读性。

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这部作品初读起来，感觉像是在迷雾中探索一条曲折的小径，但每一步都充满了数学上的严谨与美感。作者显然对基础概念的把握炉火纯青，使得那些通常被认为晦涩难懂的抽象结构，在这里展现出一种清晰的几何直观。例如，在处理一些高维流形上的结构时，作者不仅仅停留在代数推导，而是巧妙地引入了物理学的洞察力，让读者能够“看到”这些数学对象的相互作用。尤其令人印象深刻的是，书中对拓扑不变量的构建过程描述得极为细致，每一步的动机和必然性都交代得清清楚楚。对于那些渴望深入理解微分几何和拓扑学交叉领域的读者来说，这本书无疑是一份宝贵的财富，它不提供捷径，而是耐心引导你走过理论构建的每一步。阅读过程虽然需要高度集中注意力，但最终收获的洞察力是难以用言语衡量的，它真正做到了将深奥的理论“可视化”。

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