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☆☆☆☆☆

出版者:Springer London Ltd

作者:Johnson, F.E.A.

出品人:

页数:320

译者:

出版时间:2011-11

价格:$ 111.87

装帧:

isbn号码:9781447122937

丛书系列:

图书标签:

数学
and
Theory
Syzygies
Springer
Homotopy
2011
代数拓扑
同伦论
Syzygies
交换代数
谱序列
范畴论
代数几何
模论
自由分解
Koszul 复形

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具体描述

The most important invariant of a topological space is its fundamental group. When this is trivial, the resulting homotopy theory is well researched and familiar. In the general case, however, homotopy theory over nontrivial fundamental groups is much more problematic and far less well understood. Syzygies and Homotopy Theory explores the problem of nonsimply connected homotopy in the first nontrivial cases and presents, for the first time, a systematic rehabilitation of Hilbert's method of syzygies in the context of non-simply connected homotopy theory. The first part of the book is theoretical, formulated to allow a general finitely presented group as a fundamental group. The innovation here is to regard syzygies as stable modules rather than minimal modules. Inevitably this forces a reconsideration of the problems of noncancellation; these are confronted in the second, practical, part of the book. In particular, the second part of the book considers how the theory works out in detail for the specific examples Fn 'F where Fn is a free group of rank n and F is finite. Another innovation is to parametrize the first syzygy in terms of the more familiar class of stably free modules. Furthermore, detailed description of these stably free modules is effected by a suitable modification of the method of Milnor squares. The theory developed within this book has potential applications in various branches of algebra, including homological algebra, ring theory and K-theory. Syzygies and Homotopy Theory will be of interest to researchers and also to graduate students with a background in algebra and algebraic topology.

Syzygies and Homotopy Theory 《Syzygies and Homotopy Theory》是一部深入探讨代数拓扑学和同调代数中两个核心概念——Syzygies（结式）和Homotopy Theory（同伦论）——之间深刻联系的学术著作。本书旨在为读者提供一个全面而严谨的视角，揭示这两个看似独立的数学分支如何通过精妙的理论框架相互交织，共同构建起现代代数几何和拓扑学研究的基石。本书的开篇，作者精心铺陈了Syzygies的基础理论。Syzygies，作为代数簇（algebraic varieties）和模（modules）的结构性质的一种内在度量，其重要性不言而喻。它们提供了关于理想（ideals）和模的生成元（generators）之间关系的详细信息，是理解代数对象复杂性的关键。本书系统地介绍了Syzygies的定义、计算方法（如Gröbner基的运用）以及它们在多项式环（polynomial rings）中的基本性质。读者将学习到如何通过Syzygies链（syzygy chains）来刻画模的自由分解（free resolutions），并理解自由分解在计算Ext和Tor群中的核心作用，这些工具对于深入分析代数对象至关重要。随后，本书将笔锋转向Homotopy Theory。Homotopy Theory，作为研究拓扑空间在连续形变下不变性质的学科，其核心在于“同伦”的概念。作者将详细阐释同伦的定义、同伦等价（homotopy equivalence）、路径（paths）以及同伦群（homotopy groups）的构造。重点在于介绍基本群（fundamental group）和高阶同伦群（higher homotopy groups）的性质，以及它们如何捕捉拓扑空间的“洞”和“连通性”等拓扑不变量。读者还将接触到Willard Van Orman Quine等数学家在这一领域的重要贡献，以及同伦论在分类拓扑空间、理解纤维丛（fiber bundles）等问题上的强大能力。《Syzygies and Homotopy Theory》的真正价值在于其对Syzygies和Homotopy Theory之间深刻内在联系的揭示。本书指出，许多在Homotopy Theory中出现的代数结构，例如Eilenberg-Mac Lane代数（Eilenberg-Mac Lane algebras），其Syzygies具有非常特殊的性质，与特定的拓扑空间（如阿贝尔群的分类空间，classifying spaces of abelian groups）的同伦不变量紧密相关。作者将详细探讨如何利用Syzygies的理论工具来计算和理解拓扑空间的同伦群。例如，通过对某个空间的Eilenberg-Mac Lane代数的Syzygies进行分析，可以获得关于该空间同伦群的精确信息，这是传统的同伦论方法难以直接获得的。本书的另一重要贡献在于将Syzygies理论应用于研究同伦论中的谱序列（spectral sequences）。谱序列是计算同伦群和上同调群（cohomology groups）的强大工具，其收敛过程往往与代数对象的Syzygies结构密切相关。本书将详细讲解Serre谱序列（Serre spectral sequence）和Adams谱序列（Adams spectral sequence）的构造原理，并阐述Syzygies在理解这些谱序列的收敛性和确定其E_2项（E_2-term）中的代数结构方面所扮演的关键角色。通过对Syzygies的深入理解，读者将能够更有效地运用谱序列来解决复杂的同伦论问题，例如计算球面的同伦群。此外，本书还探讨了Syzygies在同伦论中的一个重要应用：代数模型（algebraic models）。代数模型旨在用代数结构来“模拟”拓扑空间，从而通过代数的方法来研究拓扑性质。作者将介绍Koszul代数（Koszul algebras）和DG代数（DG algebras）等概念，并展示如何利用Syzygies的理论来构建拓扑空间的代数模型。这些模型不仅为理解同伦论提供了新的视角，也为计算代数几何和拓扑学中的各种不变量提供了强大的工具。本书的内容涵盖了从基础概念到前沿研究的广泛范围，适合于数学专业的研究生、博士后以及对代数几何、同伦论和相关领域有浓厚兴趣的研究人员。本书假定读者具备一定的代数几何、抽象代数和基础拓扑学的知识。通过对Syzygies和Homotopy Theory之间复杂而迷人的联系的深入解析，本书期望能激发读者在这些交叉领域进行进一步探索和创新的热情。

作者简介

目录信息

读后感

评分☆☆☆☆☆

用户评价

评分☆☆☆☆☆

与其他侧重于计算或应用导向的数学书籍相比，这本书无疑更偏向于纯粹的理论美学。它探讨的问题往往是基础性的、关乎结构本质的，它探讨的“为什么存在这样的限制”远比“如何绕过这个限制”重要得多。我对其中关于同伦群与纤维丛之间关系的一个对比论述印象尤为深刻，作者巧妙地利用了一个极具启发性的类比，帮助读者理解了为什么某些拓扑空间可以被完全由其基本群所描述，而另一些则需要更高级的代数不变量。这种对数学内部联系的深刻洞察力，是区分优秀教材和传世经典的标志。这本书的排版和印刷质量也相当出色，纸张的质感很好，长时间阅读也不会感到眼睛疲劳，这对于一本需要花费大量时间研读的书来说，是极其重要的细节。总而言之，这不是一本可以轻松拿来消遣的书，它要求你投入心神，回报你的则是对现代几何和拓扑学核心思想的透彻理解，其价值难以用简单的星级评分来衡量。

评分☆☆☆☆☆

这本书的阅读体验，与其说是“阅读”，不如说是一种“沉浸式的训练”。它不仅仅传授知识，更重要的是训练你的数学思维方式。作者似乎在有意识地挑战读者的直觉，迫使我们放弃对欧几里得空间或简单流形的依赖，转而接受更抽象、更具弹性的数学模型。书中关于流形上的上同调理论的构建部分，尤其引人入胜，作者在处理截面、层和上商等复杂概念时，处理得游刃有余，将原本晦涩难懂的结构描绘得层次分明。但这种清晰度是以极高的智力投入为代价的。我发现自己常常需要停下来，对着黑板或草稿纸，尝试用不同的角度去重构作者的论证逻辑，以确保我理解的不是表面的步骤，而是背后的深刻内涵。这本书的价值在于它提供的不是一套现成的结论，而是一套强大的工具箱，教会你如何去解决那些尚未被命名的问题。对于那些渴望成为研究人员，或者对数学的“骨架”充满好奇心的人来说，这绝对是案头必备的参考书。

评分☆☆☆☆☆

作为一名长期在数学领域摸索的爱好者，我一直渴望找到一本能够真正连接不同数学分支的著作，而这本书似乎就是那座桥梁。它没有将代数、几何和分析割裂开来，而是展示了它们是如何在更抽象的层面上相互渗透和依存的。书中对“不动点定理”的某种推广形式的讨论，让我对这些看似陈旧的定理焕发了新的认识，它揭示了在更广阔的代数框架下，这些经典结果所蕴含的深刻结构性限制。不过，我必须指出，这本书的专业性极高，书中涉及的预备知识量是相当可观的，如果读者的基础不够扎实，很容易在中途感到迷失方向。作者在处理涉及高阶张量积和导出范畴的部分时，其论证的简洁性令人称奇，但同时也要求读者对这些概念已经有非常成熟的掌握。我特别喜欢它在章节末尾提供的“展望性思考”部分，它们虽然没有给出具体的答案，却为读者指明了未来研究的方向和潜在的难题，极大地激发了我继续探索的欲望。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计实在太引人注目了，深邃的蓝色背景上点缀着闪烁的星辰和复杂的几何图形，仿佛在邀请读者进入一个超越寻常的数学宇宙。我最初被它的名字吸引，那种既古老又充满未来感的词汇组合——“对齐”与“形变理论”，本身就预示着一场深刻的智力探索。然而，当我翻开第一页，我立刻意识到这不是一本轻松的读物。作者的行文风格极其严谨，充满了精确的符号和定义，仿佛在搭建一座由逻辑构成的宏伟建筑。对于初学者来说，理解前几章的概念需要极大的耐心和毅力，每一个定理的证明都像解开一个精妙的迷题，每一步逻辑的推导都必须被仔细审视。我特别欣赏它对基础概念的扎实构建，它没有急于展示那些令人眼花缭乱的最新成果，而是耐心地铺陈了代数拓扑学的根基，这种对“为什么”的追问，远比单纯罗列“是什么”要高明得多。这本书的排版清晰，图示虽然不多，但每一个图都恰到好处地揭示了抽象概念的可视化侧面，帮助我们在脑海中构建那些高维空间的直觉。毫无疑问，这是一部需要反复阅读、时常停下来沉思的严肃学术著作。

评分☆☆☆☆☆

这本书的叙事节奏，对于习惯了线性叙事结构的人来说，无疑是一种挑战。它更像是一部交响乐的乐谱，各个声部——比如纤维丛、K理论和同调理论——在不同的章节中交织、呼应，最终汇聚成一个宏大的主题。我发现自己不得不经常回溯前面的章节，因为作者在引入新概念时，往往会巧妙地引用早期建立的工具，这使得阅读过程充满了发现的乐趣，但也要求读者保持高度的专注力。有一段关于范畴论在拓扑学中应用的论述尤其精妙，作者用了一种近乎诗意的语言，将那些冰冷的数学结构描绘成了活生生的数学实体之间的“对话”。这种文笔上的对比——严谨的推导与偶发的灵光乍现——是本书魅力的一部分。当然，这本书的深度也意味着它不太可能被当作快速入门的工具书。它更像是一张详尽的地图，标注了广袤大陆上的每一个山脉和河流，你需要亲自去攀登和涉足，才能真正体会到这片领域的美丽与广阔。对于那些寻求深入理解数学结构本质的读者来说，这种挑战是令人振奋的。

评分☆☆☆☆☆